极限知识拓展

极限知识拓展【知识拓展】1若某个数列an 存在极限,即该数列为收敛数列, 那么该收敛数列有哪些性质呢?收敛数列有几个重要性质， 它们可表现为下面几个定理：定理 1 : 惟一性 若数列an 收敛 , 则它的极限是惟一的.证明：假设数列an 有两个极限a 与 b，即lim ana 与 l im anb ，根据数列极限定义，对于任意的nn0 分别有：存在自然数 N 1 , 当 n N 1 时，有 | an a |；存在自然数 N 2 ，当 n N 2时，有 | an b |取Nmax N 1, N 2 ，当 nN时，同时有 | ana | 与 | an b |，于是当 nN时，有 | a b | a a n an b | | aa n | | an b |2 .因为 a 与 b 是常数， 2是任意小的正数，所以只有 a=b，上述不等式才能成立，即数列 an 的极限是惟一的定理 2：（有界性）若数列an 收敛，则an 有界，即存在正数M，对任意自然数 n 有 | an | M .证明：设 xna，根据数列极限的定义，取lim a定 01（可以根据需要任意选取） ，存在自然数N，当 nN 时，有 | an a | 1. 因为 | an | a | | an a | ，所以当 nN 时 ， 有 | a n | | a | | an a | 1或 | a n | | a | 1, 即| a N 1 | | a| 1, | aN 2 | | a| 1, | aN 3 | | a | 1, 在数列 an 中不满足不等式| an | | a | 1的项充其量不过是前 N项：1 2, , aN . 令M1|,| a2N|,| a | 1于a , amax | a|, ,| a是，对任意自然数n，有 | a n | M .定理 2 指出收敛的数列必有界 反之，有界数列不一定收敛 例如，已知数列 1 n 是有界的，但它却是发散的 换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件2什么是有界数列 ?定义：若存在两个数 A，B(设 A0) 都是 x n 的上界这表明上界并不是惟一的，下界也是如此(2) 对于数列 x n ，如果存在正整数 N，当 nN 时，总有 A x n B , 我们就说数列 x n 往后有界要注意，往后有界一定是有界的， 这是因为在 N项之前只有有限多个数 x1 , x 2 , , x n , 在这有限个数中必有 最大 的数 和 最小 的数 ，设min x 1 , x 2 , x n，max x 1 , x 2 , , x n , 那么 min(A ，) 和 max(B，) 就是整个数列 x n 的下界和上界(3) 有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数 M，使得 | x n | M n1,2, ，就称 x n 是有界数列或者也可以这么说， 若存在原点的一个 M邻域(O，M)，使得所有 x nO O, M ，就称 x n 是有界数列，这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的3什么是单调有界数列?设 x n 是一个数列，如果x 1x 2 x 3 x n , 我们就说这个数列是单调增加( 上升 ) 的如果x1x 2 x 3x n, 我们就说这个数列是单调减少( 下降 ) 的例如 1 就是一个单调减少的数列 如n果在上面数列中等号都不成立， 就称它是严格单调增加或严格单调减少的4数列的收敛判别法有哪法?方法1若存在自然数 N，当 nN，总有an b n cn，且 nn，则 nlim a nl im c n llim bn l . 注：方法 1被称为夹挤定理 例 1计算lim111.n 21n 2n 2n2n思路启迪设 cn1, 只要找到两个数列n 21n 22n 2nan与b n，使 nnl,则 nl.l im a nlim bnl im c n规范解法设 cn111,n21n 22n 2n有 cn111n,n 2nn2nn 2nn2nn项cn111n,n21n 21n 21n 21n项于是ncnn.n 2nn 21由 n2nn22n 1 n 1, n21n2n,有 n1ncnn1n1,nn 2nn 2n因已知limn1,n n 1故 lim111221.nn1n22n n方法 2单调有界数列存在极限例 2 证明数列 a, a a , , a a aa , a 0 收敛，并求它的极限思路启迪 首先对于这种随 n 的增大，数列的项有规律变化的情况可以用数学归纳法证明该数列单调并且有界这样该数列必存在极限可以设极限为 l ，则根据第 n+1 项与第 n 项的关系列出关于 l 的等式就可以求出 l 规范证法设 Snaaaa ,有 Sn 1a Sn ，用归纳法证明数列 Sn是单调增加的，又是有上界的显然S1 S2， 设 SkSk 1(k 是 自 然 数 ) 有a Ska Sk 1 , aSkaSk1，即 Sk1Sk 2 ，则数列 Sn 是单调增加的显然，当n=1 时，有 S1aa 1 设n=k时 ， 有 Ska1 当 n=k+1时，也有Sk 1a Skaa1a2 a1a 1，即数列 Sn 是有上界的由于数 Sn是单调增加的并且有上界， 所以数 则 Sn收敛设lim Snl， 已 知 Sn21a Sn , 有nnn 1nn即l 2al，得 l1114a ，由 Sk0 可知，lim S2a lim S ,2l 不能是负数，则数列Sn的极限是 l11 4a .125函数极限有哪些性质和数列极限性质完全相仿， 函数极限也具有以下几个性质：性质 1若 l im f xA , lim g xB, ，且 AB，则存在xx 0xx 00，使当 0 | x x 0 |时，f(x)g(x)证明：取A2B , 那么存在10,当0| xx 0|1 时，有 f xAA2B ；同时又存在20，当0| xx 0|2 时，有 g xBA2B，现在，令min 1 ,2，那么当0| xx 0|时，就有 g xABfx .2性质 2若 xx 0xx0B,且存在 0，使当l im f xA , lim g x0| xx 0|时， f(x)B(A0，lim f使当 0| x x 0 |时,f(x)B(f(x)B，由性质1 知道，存在 0，当 0 | xx 0 |时，有f(x)f(x)矛盾，这就证明了 A=B性质 5若存在 0，使当 0| xx 0|时，f(x)g(x) h(x)，并且 x x0f x A ,limlim h xA , 则 limg x A.xx0x x0，则存在着性质 6( 局部有界性 ) 若 x x0f xAlim0，使得 f(x)在区间 x 0, x 0和 x 0 , x 0内有界，亦即在不等式0| xx 0 |所表示的区间内有界 注：若函数 f(x) 在某个区间 Z 内满足Af(x) B，其中 A，B 是两个常数，我们称 f(x) 在 Z 内有界，并称 A 是 f(x) 在 Z 内的下界， B 是f(x) 在 Z 内的上界显然，对任何 0，A-都是 f(x) 的下界，同样对任何 0，B+都是 f(x) 的上界这个定义也可以这样叙述： 设函数 f(x)在某个区间 Z 内满足 |f(x)| M，其中 M是一个正实数，我们就称 f(x) 在 Z 内有界以上两种说法显然是等价的 证明：取个固定的 ，譬如说取 =1，由lim f xA 知 道，存在 0，当 0| xx 0 |时 ，有xx0A-1f(x)0，在(1- ，x 1 x11) 和(1 ，1+) 内， x 3 1 有界但是这个函数在它x 1的定义域内有 yx 31x 2x 1 x 1 ，它的图形是一条x1抛物线，但除去 x=1，可见在 (- ， 1) 和(1 ， + ) 内是无界的6连续函数有哪些性质?若函数 f(x) 和 g(x) 均在点 x 0 处连续，则函数 f(x) g(x) ，f(x) g(x) ，f(x)/g(x)g x 0 0 在点 x 0 处也连续若函数 y=f(u) 在点 u 0 处连续， ux 在点 x 0 连续，且 x 0 u 0 ，则复合函数 y f x 在点 x 0 连续若函数 y=f(x) 在区间 a ，b 上单调、连续，且 f(a)=，f(b)= ，则其反函数 y f 1x 在区间 ， 或 ， 上单调、连续基本初等函数 ( 包括幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数与对数函数) 在它们各自的定义域上皆连续 .由函数在一点x 0处连续的定义及 x x0x x 0，有limlim f xf x 0 f lim x 这就是说，对于连续函数，极x x0x x 0限符号与函数符号可以交换，例求 lim sin x.x2思路启迪 由于函数 y=sinx 是初等函数，所以它在其定义域 (- ，+) 上是连续函数， 这样就可以利用 limf xf x 0f l im x 这个等式x x 0x x 0规范解法因已知 y=sinx 在实数域上的任意一点都连续，所以有lim sin x sin( l im x )sin1.xx222有时我们只讨论函数 f(x) 在 x 0 的左侧或右侧的连续情况，有下面的左、右连续的概念：定义：若 limf x f x 0 ，称函数f(x) 在 x 0 左连x x 0续若 l im f x f x0，称函数 f(x)在 x 0 右连续显x x0然，函数 f(x) 在 x 0 连续的充分必要条件是， 函数 f(x) 在 x 0 既左连续又右连续