初一数学下 第二章《相交线与平行线》

_初一数学下第二章 相交线与平行线一 开心一刻车流太密了几个同学在上学的路上玩，迟到了。甲：“不能说在路上玩了。”乙：“那要怎么说？”甲：“就说车流太密，过不了马路。”二 大脑扫描1、两条直线的位置关系（1) 相交线、平行线的概念相交线定义：_平行线定义：_两条直线的位置关系：_两条直线是指不重合的两条直线。（2） 关于对顶角的定义与性质定义：_掌握对顶角的概念要注意三点：_ ：_ :_性质：_（3） 互为余角和互为补角的有关概念与性质余角定义：_ 补角定义:_性质：_（4） 垂直的概念与性质定义：_判断两条直线垂直：_（5） 垂线的画法利用三角板的两条直角边与其所在边的垂直关系画；利用量角器画；利用折叠法；利用方格纸。利用直尺和三角板画垂直的基本要点是：“一靠、二过、三画”。 一靠：靠已知直线 二过：过顶点 三画：画垂线（6） 垂线的性质_ 2、探索直线平行的条件（1）同位角、内错角和同旁内角概念：同位角：_ _内错角：_ _同旁内角：_ _温馨提示：同位角、内错角、同旁内角的关系：这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。三线八角：_ _识别“三线八角”的简法：_ _ _ _（2） 平行线的表示和画法表示：两直线平行，用符号“/”表示，如，直线AB与直线CD平行，记作AB/CD。平行线的画法：用直尺和三角尺画平行线：先画一条直线，用一个三角尺的一边与这条直线重合，然后把第二个三角尺紧靠第一个三角尺，第二个三角尺不动，移动第一个三角尺，到另一个位置，沿边缘画直线。利用方格纸画平行线：在方格纸上所有横线互相平行，所有竖线也互相平行，可用“描线法”来画。经过任意相邻方格组成的长方形的对角顶点画一条线，再按相同方式在形状、大小相同的长方形区域内画出另一条直线，就可以得到一组平行线。（3） 两条直线互相平行的条件判断两条直线是否平行的5种方法：_ _ _ _3、平行线的特征（1） 关于平行线的性质_ _ _ _（2） 平行线的判定和性质的区别与应用平行线的判定叙述的是两条直线满足什么条件时它们互相平行；而平行线的性质是已知两条直线平行，那么它会有哪些结论。归纳平行线的三个性质及三个判定：（前提：两条直线被第三条直线所截） _三个性质：两直线平行_ _ _ 三个判定：_ 两直线平行 _ 在应用平行四边形的判定与性质解题时，关键是要看清题目中的平行关系是在条件中还是在结论中，以便选择适当的方法来解题。4、用尺规作角（1） 尺规作图（了解）定义：尺规作图是指只用圆规和没有刻度尺的直尺来作图。尺规的功能直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长 度为半径画一段弧。（2） 作一个角等于已知角作一个角等于已知角：先用直尺画射线，再用圆规截取线段。常用的作图步骤有：_三 知识刷新专题一：两条直线的位置关系知识点一：相交线、平行线例1：下列说法正确的是（ ）A 如果同一平面内的两条线段不相交，那么这这两条线段所在的直线互相平行B 不相交的两条直线一定是平行线C 同一平面内两条射线不相交，则这两条线段所在直线互相平行D 同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线挑战自我，勇攀高分1. 下列说法正确的是（ ）A 同一个平面内，不相交的两条线段是平行线B 同一个平面内，两条直线不相交就重合C 同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线D 不相交的两条直线是平行线2.下列说法中正确的是()A在同一平面内，两条不平行的线段必相交B在同一平面内，不相交的两条线段是平行线C两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行D一条直线有可能同时与两条相交直线平行知识点二：对顶角的定义与性质例1：判断题，对的打“”，错的打“”。 1.顶点相对的角是对顶角 （ ） 2.由公共顶点并且相等的两个教师对顶角。 （ ） 3.两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角。（ ） 4. 两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。（ ）5.判断下列图中，1，2是否是对顶角： 例2：如图，AB，CD相交于O，且 1=2，问3=4吗？为什么？ 挑战自我，勇攀高分1.如图，直线AB，CD，EF相交，则图中共有_对对顶角。 2.已知：ABCD于O点，直线EF过O点，EOC=15，求BOF的度数。 3.如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象若1=42，2=28，则光的传播方向改变了_度。 知识点三：互为余角和补角的有关概念与性质例1：如图所示，直线AB，CD相交于点O，OEAB，那么下列结论错误的是（ ） AAOC与COE互为余角 BBOD与COE互为余角 CCOE与BOE互为补角 DAOC与BOD是对顶角例2：下列说法错误的是（ ）A、同角或等角的余角相等 B、同角或等角的补角相等C、两个锐角的余角相等 D、两个直角的补角相等例3：如图所示，直线AB，CD相交于点O，BOE=90，若COE=55，求BOD的度数。 挑战自我，勇攀高分1.如图所示，ABCD于点C，CECF，则图中共有 对互余的角。 2.如图，O是直线AB上的一点，OM是AOC的角平分线，ON是BOC的角平分线，（1）图中互余的角有几对？（2）图中互补的角有几对？3下列说法正确的是（ ） A锐角一定等于它的余角 B钝角大于它的补角 C锐角不小于它的补角 D直角小于它的补角4.如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，AOF=3FOB，AOC=90，求EOC的度数。 5.如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋。如果一个球按图中所示的方向被击出（假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程。 知识点四：垂直的概念及表示例1：直线AB与直线BD相交成90，交点为O，请用几何语言表示直线AB与BD的关系，并指示垂足。例2：如图，已知直线AB、CD都经过点O，OE为射线，若，则OE与AB的位置关系是_。 知识点五：垂线的画法例1：如图，用三角板分别过点C画线段AB的垂线。 知识点六：垂线的性质例1：下列说法（1）一条直线只有一条垂线； （2）过一点有且只有一点与已知直线垂直； （3）两条直线相交就是垂直； （4）线段和射线也有垂线。其中正确的有_。例2：如图，107国道上有一出口M，现想在附近公路旁建一个加油站，欲使通道长最短，应沿怎样的线路施工? 例3： 如图，ADBC于点D，DEAC于点E，DFAB于点F，小明、小颖、小涵三人各抒己见，你认为哪个说法正确?小明说:BD、DC、AD分别表示点A到BC、点D到AC、AB的距离。小颖说:DA、DE、DF分别表示点A到BC、点D到AC、AB的距离。小涵说:DA、DE、DF的长度分别表示点A到BC，点D到AC、AB的距离。 挑战自我，勇攀高分1.下列说法正确的有( ) 在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线； 在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线； 在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线； 在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.计划把池中的水引到C处，可过点C作CDAB于D，然后沿CD开渠，可使所开的渠道最短。这种设计的依据是_。 3.如图，ODBC，垂足为D，BD=6 cm，OD=8 cm，OB=10 cm，那么点B到OD的距离是_，点O到BC的距离是_。O、B两点之间的距离是_。 4.如图，点P是直线l外一点，过点P画直线PA、PB、PC、交l于点A、B、C、，请你用量角器量1，2，3的度数，并量PA，PB，PC的长度.你发现的规律是:_。 5.如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置。专题二：探索直线平行的条件知识点一：同位角、内错角和同旁内角认识同位角、内错角和同旁内角例1：根据图形填空（1）1与B是直线_和直线_被第三条直线_所截而成的_角；（2）2与A是直线_和直线_被第三条直线_所截而成的_角；（3）B与3是直线_和直线_被第三条直线_所截而成的_角；（4）B与BCE是直线_和直线_被第三条直线_所截而成的_角。例2：如图，和1互为同位角的是( )(A) 2 (B)3 (C)4 (D)5 例3：如右图(1)说出1与2互为什么角？(2)写出与1成同位角的角；(3)写出与1成同旁内角的角。 挑战自我，勇攀高分1.观察右图并填空： 1 与 是同位角，5 与 是同旁内角；1 与 是内错角。2.如图，已知1与2是内错角，则下列表达正确的是( )(A)由直线AD、AC被CE所截而得到的(B)由直线AD、AC被BD所截而得到的 (C)由直线DA、DB被CE所截而得到的(D)由直线DA、DB被AC所截而得到的3.在下图中1和2是同位角的有( )(A)(1)、(2) (B)(2)、(3) (C)(1)、(3) (D)(2)、(4)4.如右图(1)说出1与2互为什么角？(2)写出与2成同位角的角；(3)写出与2成内错角的角。5.如右图，指出同位角、内错角、同旁内角。三线八角例1：如图4-55,直线截直线所得的同位角有_对,它是_内错角有_对,它们是_；同旁内角有_对,它们是_；对顶角有_对,它们是_。挑战自我，勇攀高分1.如图,1的同位角是_,1的内错角是_,1的同旁内角是_。2.如下图，2和10是内错角吗？知识点二：平行线的表示和画法例1：任画一条直线CD，使CD/AB。 例2：如图，在方格纸中仅用直尺过点P画线段PQ，使PQ/AB。知识点三：两条直线互相平行的条件例1：判断正误1两条直线被第三条直线所截，只要同旁内角相等，则两条直线一定平行（ ）2如图，如果直线OB，直线OA，那么与 一定相交（ ）3如图，GMB=HND（已知）ABCD（同位角相等，两直线平行）（ ）例2：填空（1） 如图 1=2，_（ ） 2=3，_（ ）（2） 如图 1=2， _（ ） 3=4，_（ ） （3）如图 B=D=E，那么图形中的平行线有_。（4）如图 ABBD，CDBD（已知） ABCD ( ) 又 1+2 =（已知） ABEF ( ) CDEF ( ）例3：已知：如图，CE平分ACD，1=B，求证：ABCE。例4：如图：1=，2=，3=，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系。例5：如图：已知A=D，B=FCB，能否确定ED与CF的位置关系，请说明理由。例6：已知：如图，且。求证：ECDF。 132AECDBF例7：如图，123 = 234， AFE = 60，BDE =120，写出图中平行的直线，并说明理由。 挑战自我，勇攀高分1.如图，D=EFC，那么（ ）AADBC BABCD CEFBC DADEF2.如图，判定ABCE的理由是（ ）AB=ACE BA=ECD CB=ACB DA=ACE3.如图，下列推理错误的是（ ）A1=3， B1=2， C1=2， D1=2， 4. 如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，12，36，47180，58180其中能判断ab的是（ ）A B C D 5.完成推理，填写推理依据：（1） 如图 B=_， ABCD（ ） BGC=_， CDEF（ ） ABCD ，CDEF， AB_（ ）（2）如图 填空： 2=3（已知） AB_（ ） 1=A（已知） _（ ） 1=D（已知） _（ ） _=F（已知） ACDF（ ）（3）如图，ACAB，BDAB（已知）CAB90，_90（ ）CAB_（ ）CAEDBF（已知）BAE_（ ） 6.如图，直线AB、CD被EF所截，1 =2，CNF =BME。求证：ABCD，MPNQ。F2ABCDQE1PMN 7.已知：如图：AHFFMD180，GH平分AHM，MN平分DMH。求证：GHMN。 8.如图，已知：AOEBEF180，AOECDE180，求证：CDBE。 9.如图，已知：A1，C2。求证：求证：ABCD。 专题三：平行线的性质知识点一：平行线的性质例1：已知：如图所示，直线，求的度数。 例2：如图，DHEGBC，DCEF，则与1相等的角有_个。 例3：若两条平行线被第三条直线所截，则一对同位角的平分线的位置关系是（ ） A相交 B平行 C垂直 D不能确定 例4：如下图，DHEGBC，且DCEF，那么图中与BFE相等的角（不包括BFE本身）的个数应是（ ）A2个 B4个 C5个 D6个 例5：如下图，已知CD平分ACB，DEBC，AED50，求EDC的度数。 挑战自我，勇攀高分CABD11.如图所示，ABCD，ACBD。分别找出与1相等或互补的角。2.如图，ABCD，则1+A+B=_。 3.若两条平行线与第三条直线相交，那么一组内错角的平分线互相（）A平行 B相交 C垂直 D重合4. 如下图，已知ABCD，ADBC，B50，EDA60，则CDO_。 5.如下图，已知ABDF、DEBC，B65，求BOE、D的度数。 知识点二：平行的判定和性质的区别和应用例1：如图所示，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D。若，求的度数。 挑战自我，勇攀高分1.如图所示，已知直线MN分别与直线AB、CD相交于E、F，ABCD，EG平分BEF，FH平分CFE。求证：EGFH。 知识点三：巧用平行线的性质解决实际问题例1：如图所示，A，B为两个港口，甲船从A港沿北偏东的方向航行，乙船从B港出发（B港不在A港的北偏东的方向上），乙船应沿什么方向航行才能使其航线与甲船的航线平行？你能画出乙船的航线吗？北北 例2：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120，第二次拐的角B是150，第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问C是多少度？说明你的理由。 挑战自我，勇攀高分1. 如图所示，修建高速公路需要开山洞，为节省时间，要在山两面A，B同时开工，在A处测得山洞的走向是北偏东，那么在B处应按什么方向开口，才能使山洞准确接通，请说明其中的道理。 知识点四：平行线的性质与平行线的条件的综合运用例1：如图所示，已知，说明。 知识点五：添加辅助线解决图形问题例1:如图，ABCD，求证：EAC。 例2：如图，已知ABCD，BAE40，ECD62，EF平分AEC求AEF的度数。 挑战自我，勇攀高分1.如图所示，已知,求的度数。 2.（1）如图，若ABDE，B=135，D=145，你能求出C的度数吗？ （2）在ABDE的条件下，你能得出B、C、D之间的数量关系吗？并说明理由。 知识点六：巧解探究性问题例1：如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若,，试判断与的关系，并说明理由。 挑战自我，勇攀高分1.如图，在折线ABCDEFG中，已知1=2=3=4=5，延长AB、GF交于点M试探索AMG与3的关系，并说明理由。专题四：用尺规作角知识点一：尺规作图例1：下列作图语句中，不准确的是（ ）A 过点A、B作直线AB B 以O为圆心作弧C 在射线AM上截取AB= D 延长线段AB到D，使DB=AB挑战自我，勇攀高分1. 下列作图语句中，错误的是（ )A 过点A、点B作直线AB B 在线段AB上截取AC=C 以点O为圆心作弧D 以O为圆心，OA为半径作弧2. 下列尺规作图的语句错误的是（ )A 作，使B 以点O为圆心作弧C 以点A为圆心，线段的长为半径作弧D 作，使知识点二：作一个角等于已知角例1：已知：AOB，求作：AOB，使AOB=AOB。例2：如图所示，已知锐角，求作，使得。挑战自我，勇攀高分1.已知：，求作：AOB，使AOB=。2.如图，已知，求作，使。知识点三：基本作图的应用例1：如图（1）、（2），过已知直线AB外的已知点P作一直线，使这条直线与AB的夹角等于已知角。已知：直线AB和直线AB外一点P、。求作：直线EF，使直线EF与AB的夹角等于。 挑战自我，勇攀高分1.尺规作图：请在下图上作一个，使其是已知的倍（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论）。 知识点四：实际应用问题例1：如图所示，光线CO照射到镜面AB上的O点，请你用尺规作出CO经过镜面反射后的光线。 挑战自我，勇攀高分1. 如图，EFGH是以长方形的台球桌面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置，试问：怎样使白球B先碰到台边EF反弹再击中黑球，作出白球的入射点O（用尺规作图，不写作法，保留痕迹）。 四 中考体验一、 选择题1下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 2如右图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断（ ） A. B. C. D. 3.一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐，第二次向右拐 B. 第一次向右拐，第二次向左拐 C. 第一次向右拐，第二次向右拐 D. 第一次向左拐，第二次向左拐4两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确的是（ ） A. 同位角相等，但内错角不相等 B. 同位角不相等，但同旁内角互补 C. 内错角相等，且同旁内角不互补 D. 同位角相等，且同旁内角互补5 下列说法中错误的个数是（ ）（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。（4）不相交的两条直线叫做平行线。（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6如右图，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7如右图所示，已知 ，垂足分别是、，那 么以下线段大小的比较必定成立的是（ ） A. B. C. D. 8在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ ）A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个9. 如右图所示，平分，图中相等的角共有（ ）A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对二、 填空题10.用吸管吸易拉罐内的饮料时，如图，则 （拉罐的上下底面互相平行） 11有一个与地面成30角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的 时，电线杆与地面垂直。12.如图，按角的位置关系填空：与是 ；与是 ；与是 。13如图，若 ，则 。14如图，已知，若，则 ； 若，则 。15三条直线、相交于点，如图所示，的对顶角是 ，的对顶角是 ，的邻补角是 。三、解答题16如图，已知，,求和的度数。17如图，已知：，求的度数。18如图，已知，求证：。19如图，平分，与相交于,。求证：。20如图，已知，是的平分线，求的度数。五 竞赛体验例1：下列说法正确的有( ) 对顶角相等相等的角是对顶角;若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; 若两个角不是对顶角,则这两个角不相等。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个例2：如图所示,下列说法不正确的是( )毛A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段例3：一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐30第二次向右拐30 B. 第一次向右拐50第二次向左拐130 C. 第一次向右拐50第二次向右拐130 D. 第一次向左拐50第二次向左拐130例4：如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，1=43，2=27，试问光的传播方向改变了多少度？ 例5：如图所示，BOD=45，那么不大于90的角有个，它们的度数之和是 例6：如图是山西省某古宅大院窗棂图案：图形构成1021的长方形，空格与实木的宽度均为1，那么，这种窗户的透光率（即空格面积与全部面积之比）是多少？ 例7：如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草试求出种植花草的面积是多少？例8：如图，若AB/EF，C= 90，求x+y-z 度数。 挑战自我，勇攀高分1如图,已知ABCD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分BEF,若1=72,则2=_。2.下列说法正确的有( )在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; 在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; 在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角若已知1=35，3=75，则2=（ ）A50 B55 C66D654.如图，把长方形纸片沿折叠，使，分别落在，的位置，若，则等于（） 5.如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？6.如图所示,L1,L2,L3交于点O,1=2,3:1=8:1,求4的度数。 7.已知：如图，求证：8.已知：如图，DGBC ，ACBC，EFAB，1=2 ，求证：CDAB9.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等。(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且1=50,则2= ，3= 。(2)在(1)中,若1=55,则3= ;若1=40,则3= 。(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角3= 时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行。你能说明理由吗?六 家庭作业一、选择题1. 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A同位角必相等 B内错角必相等C同旁内角必互补 D同位角不一定相等2.如图， 与 是对顶角的为（ ）3.如图，直线a,b都与c相交，由下列条件能推出 的是（ ） A B C D 4.如图，下列条件中能判定 的是（ ）A B C D 5.如图， ，则下列结论中，错误的是（ ） A B C D 6.如图，下列推理中正确的是（ ） A B C D 7.如图，由已知条件推出的结论，正确的是（ ） A由 ，可推出 B由 ，可推出 C由 ，可推出 D由 ，可推出 8.下列角的平分线中，互相垂直的是（ ）A平行线的同旁内角的平分线 B平行线的同位角的平分线C平行线的内错角的平分线 D 对顶角的平分线二、填空题9.若 ，则它的余角是_，它的补角是_