直线与抛物线的位置关系复习

2021/3/111X2021/3/112复习回顾复习回顾直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系2021/3/113直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断判断方法：方法：1、对于封闭图形（圆、椭圆），可根据几何对于封闭图形（圆、椭圆），可根据几何 图形直接判断图形直接判断2、直线与圆直线与圆锥曲线的公锥曲线的公共点的个数共点的个数 Ax+By+c=0f(x,y)=0(圆锥曲线圆锥曲线方程方程)解的个数解的个数几何法几何法代数法代数法复习回顾复习回顾2021/3/114探究：直线与抛物线的位置关系探究：直线与抛物线的位置关系xyO1、相离；、相离；2、相切；、相切；3、相交（、相交（一个交点，一个交点，两个交点两个交点）思考：只有一个交点一定是相切吗？思考：只有一个交点一定是相切吗？2021/3/115题型一：交点个数问题题型一：交点个数问题2021/3/116这时，直线这时，直线 与抛物线只有一个公共点与抛物线只有一个公共点.l2021/3/117由 即,02210,kk 解得.211k 于是，当 且 时，方程（）有2个解，从而，方程组（）有两个解，这时，直线 与抛物线有2个公共点.11,2k 0kl由 即,0,0122kk由 即,02210,kk 解得.211k 于是，当 且 时，方程（）有2个解，从而，方程组（）有两个解，这时，直线 与抛物线有2个公共点.11,2k 0kl由 即,0,0122kk2021/3/118解得.211kk或 于是，当 时，方程没有实数解，从而方程组（）没有解，这时，直线 与抛物线没有公共点.211kk，或l综上可得：当 时，直线 与抛物线只有一个公共点;0,21,1kkk或或l 当 时，直线 与抛物线有两个公共点;0,211kk且l 当 时，直线 与抛物线没有公共点.21,1kk或l你能通过作图你能通过作图验证这些结论验证这些结论吗？吗？2021/3/119 几何画板演示几何画板演示2021/3/1110判断直线与抛物线位置关系的操作程序：判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离总结：总结：2021/3/1111k 点评：本题用了分类讨论的方法点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。造成漏解。2021/3/1112题型二：弦长问题题型二：弦长问题2021/3/1113xyOFABBA224,(1)4,yxxx 代代入入方方程程得得.0162xx化简得84)(24)(116212212122122121xxxxxxxxkABxxxx例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x解法二解法二:由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点为为F(1,0),所以直线所以直线AB的方程为的方程为y=x-12021/3/1114AABBFOxy432.图图.0162 xx化简得,621 xx由韦达定理得解法解法 三三例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x.82)2()2(|2121xxpxpxBBAABFAFAB于是2021/3/1115方法方法2：焦点弦的弦长公式：焦点弦的弦长公式小结：求解抛物线与小结：求解抛物线与过焦点的直线过焦点的直线相交的弦长相交的弦长pxxpxpxAB2121)2()2(方法方法1：利用弦长公式：利用弦长公式 4)(1(212212xxxxkABxyO FABBA2021/3/1116练习：练习：（1)抛物线的抛物线的通径长通径长是是 .（2）过抛物线）过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_16y2=8x0452.已知抛物线已知抛物线y2=8x81 1、过抛物线过抛物线x2=4y的焦点作直线交于的焦点作直线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点两点,如果如果y1+y2=5,求求|AB|的值的值721pyyAB2021/3/1117例例3 3、在抛物线在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线上求一点，使它到直线：4x+3y+46=04x+3y+46=0的距离最短，并求此距离的距离最短，并求此距离.FxOy00(.)P x y解：直线与抛物线无交点设抛物线上一点，02064xy则|9164634|00yxd5463400yx代入得：将64200yx 546316020yyd)(,804616480020Ryyy2,24min0dy时当另解：与抛物线相切设直线034myx)24,9(P此时03160346422myymyxxy36:0m得由253646mind题型三：最值问题题型三：最值问题2021/3/1118222(3)1yxxy4、抛物线和圆上最近两点间的距离为？.FxOyPCQAQP与圆上任意一点抛物线上任意一点分析：如图，|PAPQ 圆心最小值时，连线必经过|PQ)0,3(),(CyxP设22)3(|yxPC)0(952xxx211|25minPCx时，当1211|min PQ思考：思考：2021/3/1119例例4、已知抛物线已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线，设直线与抛物线两交点为两交点为A、B，且线段，且线段AB中点为中点为M（2，1），），求直线求直线l的方程的方程.说明：说明：中点弦问题中点弦问题的解决方法：的解决方法：联立直线方程与曲线方程，利用韦达定理求解联立直线方程与曲线方程，利用韦达定理求解点差法点差法题型四：中点弦问题题型四：中点弦问题2021/3/1120例例4、已知抛物线、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段，且线段AB中点为中点为M（2，1），求直线），求直线l的方程的方程.2yy4,xx),y,B(x),y,A(x ,0k2)-k(x1-yll21212211则坐标设直线与抛物线的交点）（的方程为斜率一定存在，故可设解：由题意可知，直线）（得消而由1 08k-44y-kyx)2(14xy22xky22k4yy 21k由韦达定理可得01128k)-k(44161）的判别式此时，方程（03-y-x22),-2(x1-y即的方程为所以直线l2021/3/1121例例4、已知抛物线、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段，且线段AB中点为中点为M（2，1），求直线），求直线l的方程的方程.2yy4,xx ,xx)y,B(x),y,A(xl2121212211则）（斜率一定存在，故可设直线解法二：由题意可知，2444y212121222121yyxxyyxyx由2kAB即03-y-x22),-2(x1-y即的方程为此时直线l0 06-2y-yx 03-y-x24xy22得消由03-y-x22),-2(x1-y即的方程为所以直线l2021/3/11221122(.),(,),AB:A x yB xyykxb另解 设xybkxy22联立0)22(222bxkbxk2221kbxxkbyy221同理02121yyxxOBOA由kbkbkb20222即:2ABykxk)0,2(轴交点与x.FxOyBA22,yxOA OBABx 练习1、过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线与 轴的交点为定点.,(2,0)AByAB当 轴时与x轴相交于点 综综上上所所述述,直直线线A AB B与与x x轴轴的的交交点点为为定定点点(2 2,0 0).例例52021/3/1123练习练习1:1:已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐中点纵坐标的最小值。标的最小值。FABM解：),(),(),(002211yxMAByxByxA中点设bkxylAB:设2xybkxy02bkxx241|22bkkAB由弦长bxxkyyy)2(221210bk2241122kkb220114kky41114122kk43411)1(时，取等号当k43min0y41:xylAB此时xoy2021/3/1124解法二：),(),(),(002211yxMAByxByxA中点设xoyFABMCND,2BCADMN,41200yypMNBFBCAFAD,)41(20yBFAF2,ABBFAFABF中)41(20yBCAD2|)|(|minBFAF43min0y即练习练习1:1:已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐中点纵坐标的最小值。标的最小值。2021/3/11252021/3/1126归纳总结归纳总结怎样求弦长？若弦过焦点，有什么简单怎样求弦长？若弦过焦点，有什么简单方法？方法？怎样判断直线与抛物线的位置关系？怎样判断直线与抛物线的位置关系？用什么方法求中点弦所在的直线方程？用什么方法求中点弦所在的直线方程？怎样求直线与抛物线的最小距离？怎样求直线与抛物线的最小距离？2、弦长：、弦长：3、中点弦：、中点弦：1、位置关系：、位置关系：4、最小距离：、最小距离：5.类比、数形结合、转化、分类讨论的思想。类比、数形结合、转化、分类讨论的思想。