逻辑代数基础

逻辑代数基础第一章 数字电路基础随着信息时代的到来，“数字”这两个字正以越来越高的频率出现在各个领域，数字手 表、数字电视、数字通信、数字控制数字化已成为当今电子技术的发展潮流。数字电路 是数字电子技术的核心，是计算机和数字通信的硬件基础。本章首先介绍数字电路的一些基 本概念及数字电路中常用的数制与码；然后讨论数字电路中二极管、三极管的工作方式；最 后介绍数字逻辑中的基本逻辑运算、逻辑函数及其表示方法。从现在开始，你将跨入数字电 子技术这一神奇的世界，去探索它的奥秘，认识它的精彩。1.1 数字电路的基本概念一 模拟信号和数字信号 电子电路中的信号可以分为两大类：模拟信号和数字信号。 模拟信号时间连续、数值也连续的信号。 数字信号时间上和数值上均是离散的信号。(如电子表的秒信号、生产流水线上记 录零件个数的计数信号等。这些信号的变化发生在一系列离散的瞬间，其值也是离散的。) 数字信号只有两个离散值，常用数字0和 1来表示，注意，这里的0 和1 没有大小之分， 只代表两种对立的状态，称为逻辑 0 和逻辑1，也称为二值数字逻辑。数字信号在电路中往往表现为突变的电压或电流，如图 1.1.1所示。该信号有两个特点：图1.1.1 典型的数字信号t (ms)(1) 信号只有两个电压值，5V和0V。我们可以用5V来表示逻辑1,用0V来表示逻 辑0；当然也可以用0V来表示逻辑1,用5V 来表示逻辑 0。因此这两个电压值又常被称为 逻辑电平。5V为高电平，0V为低电平。(2) 信号从高电平变为低电平，或者从 低电平变为高电平是一个突然变化的过程， 这种信号又称为脉冲信号。二.正逻辑与负逻辑 如上所述,数字信号是一种二值信号,用两个电平(高电平和低电平)分别来表示两个 逻辑值(逻辑 1 和逻辑 0)。那么究竟是用哪个电平来表示哪个逻辑值呢？两种逻辑体制：(1) 正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。(2) 负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。如果采用正逻辑,图1.1.1 所示的数字电压信号就成为如图1.1.2 所示逻辑信号。逻辑0逻辑0逻辑1逻辑1逻辑0图 1.1.2 逻辑信号三 数字信号的主要参数 一个理想的周期性数字信号，可用以下几个参数来描绘，见图1.1.3。Vm信号幅度。它表示电压波形变化的最大值。T信号的重复周期。信号的重复频率f=l/T。tW脉冲宽度。它表示脉冲的作用时间。q占空比。它表示脉冲宽度tW占整个周期T的百分比，其定义为:q(%) = tWx 100%T图 1.1.3 理想的周期性数字信号图1.1.4所示为三个周期相同(T=20ms),但幅度、脉冲宽度及占空比各不相同的数字 信号。(a)t (ms)(b)t (ms)(c)t (ms)图 1.1.4 周期相同的三个数字信号。四 数字电路 传递与处理数字信号的电子电路称为数字电路。数字电路与模拟电路相比主要有下列优 点：八、(1)由于数字电路是以二值数字逻辑为基础的，只有0和 1两个基本数字，易于用电 路来实现，比如可用二极管、三极管的导通与截止这两个对立的状态来表示数字信号的逻辑 0 和逻辑 1。(2)由数字电路组成的数字系统工作可靠，精度较高，抗干扰能力强。它可以通过整 形很方便地去除叠加于传输信号上的噪声与干扰，还可利用差错控制技术对传输信号进行查 错和纠错。(3) 数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻辑判断和运算，这在控制系统中是 不可缺少的。(4) 数字信息便于长期保存，比如可将数字信息存入磁盘、光盘等长期保存。(5) 数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。由于具有一系列优点，数字电路在电子设备或电子系统中得到了越来越广泛的应用，计 算机、计算器、电视机、音响系统、视频记录设备、光碟、长途电信及卫星系统等，无一不 采用了数字系统。1.2 数 制一 几种常用的计数体制1 .十进制(Decimal)2 .二进制(Binary)3.十六进制(Hexadecimal)与八进制(Octal)二. 不同数制之间的相互转换1. 二进制转换成十进制例1.2.1 将二进制数 10011.101 转换成十进制数。解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得(10011.101)b = 1 X24+0X23+0X22+1 X2i + 1X2o+1X2-i + 0X2-2+1X2-3B= (19.625) D2. 十进制转换成二进制可用“除2取余”法将十进制的整数部分转换成二进制。例1.2.2 将十进制数23转换成二进制数。解： 根据“除2取余”法的原理，按如下步骤转换:2I23余1b2I11 余1b1读25余1b2取 次22 余0b3序21 余1b40则 (23) D =(10111)B 可用“乘2取整”的方法将任何十进制数的纯小数部分转换成二进制数 例1.2.3将十进制数(0.562) D转换成误差&不大于2-6的二进制数。 解： 用“乘2取整”法，按如下步骤转换取整0.562X2 = 1.124 1 b-10.124X2 = 0.248 0 b-20.248X2 = 0.496 0 b-30.496X2 = 0.992 0 b-40.992X2 = 1.984 1 b-5由于最后的小数0.9840.5，根据“四舍五入”的原则，b应为1。因此-6(0. 562) =(0. 100011)DB其误差 IBS进入饱和状态后，IB增加时IC会略有增加，Vce0.7V，集电结变为正向偏置。所以也 常把集电结和发射结均正偏作为三极管工作在饱和状态的条件。饱和时的vce电压称为饱和 压降VCES，其典型值为：VCEs0.3V。三极管工作在饱和区的特点就是VCES很小，集电极回路中的c、e之间近似短路，相当 于开关闭合。表 1.4.1 NPN 型三极管三种工作状态的特点工作状态饱和放大截 止条件00IBIBS工作 特 点偏置情况发射结电压0.5V集电结反偏发射结正偏且vbe0.5V集电结正偏集电极电流/产0I =BiCBIC=ICS aVCC/RC管压降VCEVCCV =V I RCECCC CVCE=VCESa0.3V近似的等效电4* c路b1ec、e间等很大，约为数百千效内阻欧，相当于开关断开B_*_ b0.7VBb0.7V TC可变很小，约为数百欧, 相当于开关闭合例1.4.1电路及参数如图1.4.6所示，设输入电压V=3V,三极管的Vbe=0.7V。(1) 若B=60，试判断三极管是否饱和，并求出IC和VO的值。(2) 将RC改为6.8kQ，重复以上计算。(3)将R改为6.8kQ，再将R改为60kQ，重复Cb以上计算。4)将RC改为6. 8kQ,再将B改为100,重复以0+ V(+12V)CC上计算。解：rhRCLJ 10kQ1)根据饱和条件IBIBs解题。3-0.7B 1000.023(mA)12RbH 卜100kQ-k TVo.=BS =0R 60 x 10C0.020(mA)VI IB三极管饱和。C CSVo = VcesBSV 12=cc =1.2(mA)R 10C0.3V。图1.4.6 例1.4.1电路(2) IB 不变，仍为 0.023mABSVCC0 RC1260 x 6.8-0.029(mA)，IB抵三极管饱和。VR628 176(mA)CVO = VCES - 3V。100 x 6.8 0.0176(mA)I 5.023mAB三极管饱和。VIBIBSV 12 cc =1.76(mA)C CS R 6.8CVO = VCES 0.3V。由上例可见，Rb、RC、B等参数都能决定三极管是否饱和。将式（1.4.3）、（1.4.5） 代入式（1.4.6），则饱和条件变为：VVRPRCbC即在V定（要保证发射结正偏）和V 定的条件下，R越小，B越大，R越大，三I CC b C极管越容易饱和。在数字电路中总是合理地选择这几个参数，使三极管在导通时为饱和导通。2三极管开关的动态特性 同二极管一样，给三极管加上脉冲信号，三极管时而截止，时而饱和导通。三极管在两 种状态之间相互转换时，其内部电荷也有一个“消散”和“建立”的过程，也需要一定的时 间。这就是我们要研究的动态特性。为描述其动态过程，引入如下4个开关参数：延迟时间t从输入信号v正跳变的瞬间开始，到集电极电流i上升到0.1 I所需 diCCS的时间。是给发射结的结电容充电。使空间电荷区逐渐由宽变窄所需要的时间。上升时间t集电极电流从0.11上升到0.91所需的时间。是给发射结的扩散电容 r CS CS 充电，即在基区逐渐积累电子，形成一定的浓度梯度所需的时间。存储时间t从输入信号v下跳变的瞬间开始，到集电极电流i下降到0.91所需 siCCS的时间。是消散超量存储电荷所需的时间。饱和越深，超量存储电荷越多，存贮时间tS越 长；而反向基极电流越大，超量存贮电和消散得越快，tS越短。下降时间t集电极电流从0.91下降到0.11所需的时间。是继续消散临界饱和状 f CS CS 态时为建立浓度梯度而在基区中积累的电荷，即给发射结的扩散电容放电所需的时间。其中：td和t之和称为开通时间t，即t二td+tr；d ronon d rt和t之和称为关闭时间t，即t ff= t+tf。s foffoff s f三极管的开启时间和关闭时间总称为三极管的开关时间，一般为几个纳秒到几十纳秒。三极管的开关时间对电路的开关速度影响很大，开关时间越小，电路的开关速度越高。1.5 基本逻辑运算数字电路实现的是逻辑关系。逻辑关系是指某事物的条件（或原因）与结果之间的关系。 逻辑关系常用逻辑函数来描述。一 基本逻辑运算逻辑代数中只有三种基本运算：与、或、非。1与运算VLAB灯L不闭合不闭合不亮不闭合闭合不亮闭合不闭合不亮闭合 闭合亮(b)(a)A&L=AB(d)与运算只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。我们把这种 因果关系称为与逻辑。（1）可以用列表的方式表示上述逻辑关系，称为真值表。（2）如果用二值逻辑0和1来表示，并设1表示开关闭合或灯亮；0 表示开关不闭合 或灯不亮，则得到如图1.5.1 （c）所示的表格，称为逻辑真值表。（3）若用逻辑表达式来描述，则可写为 L = A-B与运算的规则为： “输入有 0，输出为 0；输入全 1，输出为 1”。（4）在数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路，其逻辑符号如图（d）所示。与运算可以推广到多变量：L = A - B - C -2或运算或运算当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情 就会发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。B开关A开关B灯L不闭合不闭合不亮不闭合闭合亮闭合不闭合亮闭合 闭合亮(b)ABL=A+B000011101111(a)(c)L=A+B(d)图1.5.2或逻辑运算 (a)电路图 (b)真值表 (c)逻辑真值表 (d)逻辑符号 或运算的真值表如图1.5.2 (b)所示，逻辑真值表如图1.5.2 (c)所示。若用逻辑表 达式来描述，则可写为L=A+B或运算的规则为：“输入有 1，输出为1；输入全0，输出为 0”。在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路，其逻辑符号如图(d)所示。或运算 也可以推广到多变量：L = A + B + C + 3非运算 非运算某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备 时事情不发生；条件不具备时事情才发生。例如图1.5.3 (a)所示的电路，当开关A闭合时，灯不亮；而当A不闭合时，灯亮。 其真值表如图1.5.3 (b)所示，逻辑真值表如图1.5.3 (c)所示。若用逻辑表达式来描述,则可写为：L = A非运算的规则为：0 = 1 ； 1 = o。在数字电路中实现非运算的电路称为非门电路，其逻辑符号如图1.5.3 (d)所示。AL开关A灯L不闭合亮闭合不亮(b)(a)(c)AL=AL=A(d)图 1.5.3 非逻辑运算 （ a ）电路图 （ b ）真值表 （ c ）逻辑真值表 （ d ）逻辑符号二 其他常用逻辑运算 任何复杂的逻辑运算都可以由这三种基本逻辑运算组合而成。在实际应用中为了减少逻 辑门的数目，使数字电路的设计更方便，还常常使用其他几种常用逻辑运算。1与非 与非是由与运算和非运算组合而成，如图1.5.4 所示。图 1.5.4 与非逻辑运算 （ a）AL=ABB(b)逻辑真值表（b）逻辑符号2或非ABL二A+B001010100110(a)ABL=A+B(b)图 1.5.5 或非逻辑运算（a）逻辑真值表 （b）逻辑符号或非是由或运算和非运算组合而成，如图1.5.5 所示。3异或 异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取 值不同时，逻辑函数值为1。异或的逻辑真值表和相应逻辑门的符号如图1.5.6 所示。图 1.5.6 异或逻辑运算A =1 L=A + B(b)（a）逻辑真值表 （b）逻辑符号1.6 逻辑函数及其表示方法描述逻辑关系的函数称为逻辑函数，前面讨论的与、或、非、与非、或非、异或都是逻 辑函数。逻辑函数是从生活和生产实践中抽象出来的，但是只有那些能明确地用“是”或“否” 作出回答的事物，才能定义为逻辑函数。一逻辑函数的建立例 1.6.1 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑 函数。解：第一步：设置自变量和因变量。将三人的意见设置为自变量A、B、C,并规定只 能有同意或不同意两种意见。将表决结果设置为因变量L显然也只有两个情况。第二步：状态赋值。对于自变量 A、B、C 设：同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。 对于因变量L设：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。第三步：根据题义及上述规定列出函数的真值表如表1.6.1所示。由真值表可以看出，当自变量A、B、C取确定值后，因变量L的值就完全确定了。所 以，L就是A、B、C的函数。A、B、C常称为输入逻辑变量，L称为输出逻辑变量。一般地说，若输入逻辑变量A、B、C的取值确定以后，输出逻辑变量L的值也唯一地 确定了，就称L是A、B、C的逻辑函数，写作：L=f（A，B，C）逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。（2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。二逻辑函数的表示方法 一个逻辑函数有四种表示方法，即真值表、函数表达式、逻辑图和卡诺图。这里先介绍 前三种。1真值表 真值表是将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。为 避免遗漏，各变量的取值组合应按照二进制递增的次序排列。真值表的特点：（1）直观明了。输入变量取值一旦确定后，即可在真值表中查出相应的函数值。 （2）把一个实际的逻辑问题抽象成一个逻辑函数时，使用真值表是最方便的。所以， 在设计逻辑电路时，总是先根据设计要求列出真值表。（3）真值表的缺点是，当变量比较多时，表比较大，显得过于繁琐。 2函数表达式 函数表达式就是由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。由真值表可以转换为函数表达式，方法为：在真值表中依次找出函数值等于1的变量组 合，变量值为1的写成原变量，变量值为0的写成反变量，把组合中各个变量相乘。这样， 对应于函数值为1的每一个变量组合就可以写成一个乘积项。然后，把这些乘积项相加，就 得到相应的函数表达式了。例如，用此方法可以直接由表1.6.1写出“三人表决”函数的逻 辑表达式：L = ABC + ABC + ABC + ABC反之，由表达式也可以转换成真值表，方法为：画出真值表的表格，将变量及变量的所 有取值组合按照二进制递增的次序列入表格左边，然后按照表达式，依次对变量的各种取值 组合进行运算，求出相应的函数值，填入表格右边对应的位置，即得真值表。例1.6.2列出函数L = A-B + A-B的真值表。解：该函数有两个变量，有4种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表， 如表1.6.2所示。3逻辑图逻辑图就是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。例1.6.3画出逻辑函数L = A-B + A-B的逻辑图。 解：如图 1.6.1 所示。由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。例1.6.4 写出如图1.6.2所示逻辑图的函数表达式。AB图 1.6.1 例 1.6.3 的逻辑图L图 1.6.2 例 1.6.4 的逻辑图解：该逻辑图是由基本的“与”、“或”逻辑符号组成的，可由输入至输出逐步写出逻辑 表达式：L = AB + BC + AC本章小结1数字信号在时间上和数值上均是离散的。对数字信号进行传送、加工和处理的电路 称为数字电路。由于数字电路是以二值数字逻辑为基础的，即利用数字1和0来表示信息， 因此数字信息的存储、分析和传输要比模拟信息容易。2数字电路中用高电平和低电平分别来表示逻辑1和逻辑0，它和二进制数中的0和 1正好对应。因此，数字系统中常用二进制数来表示数据。在二进制位数较多时，常用十六 进制或八进制作为二进制的简写。各种计数体制之间可以相互转换。3. 常用BCD码有8421码、242丨码、542丨码、余3码等，其中842丨码使用最广泛。 另外，格雷码(Gray)由于可靠性高，也是一种常用码。4. 在数字电路中，半导体二极管、三极管一般都工作在开关状态，即工作于导通(饱 和)和截止两个对立的状态，来表示逻辑1和逻辑0。影响它们开关特性的主要因素是管子 内部电荷存储和消散的时间。5. 逻辑运算中的三种基本运算是与、或、非运算。分析数字电路或数字系统的数学工 具是逻辑代数。6. 描述逻辑关系的函数称为逻辑函数，逻辑函数是从生活和生产实践中抽象出来的， 只有那些能明确地用“是”或“否”作出回答的事物，才能定义为逻辑函数。逻辑函数中的 变量和函值都只能取0或1两个值。7. 常用的逻辑函数表示方法有真值表、函数表达式、逻辑图等，它们之间可以任意地相互 转换。