专题二 三角函数、平面向量与解三角形

专题二三角函数、平面向量与解三角形 第6讲 三角恒等变换与三角函数云览高考考点统计题型(频率)考例(难度)考点1三角恒等变换选择(5)填空(1)2012辽宁卷7(A)，2012广东卷16(B)，2012江西卷4(A)考点2三角函数的图象与解析式 选择(4)填空(1)解答(1)2012北京卷15(B)，2012安徽卷16(B)，2012浙江卷4(B)考点3三角函数性质及综合问题选择(2)解答(8)2012课程标准卷9(B)，2012四川卷18(B)说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题频率为分析2012各省市课标卷情况二轮复习建议命题角度：该部分的命题主要围绕三个点展开第一个点是围绕三角恒等变换展开，考查使用和、差角公式，倍角公式，诱导公式，同角三角函数关系等进行变换求值问题，试题难度不大；第二个点是围绕三角函数的图象展开，考查根据三角函数图象求函数解析式、根据函数解析式判断函数图象、三角函数图象与性质的综合等问题；第三个点是围绕三角函数性质展开，考查根据三角函数解析式研究函数性质，根据三角函数性质推断函数解析式中的参数等问题预计2013年的考查会延续近几年的命题方向，主要考查简单的三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用复习建议：根据课标区五年来对该部分的考查情况，该部分无论在考查难度还是在考查量(分值)上都与其地区有较大的差异，五年来没有出现一道解答题，即使是选择题、填空题其大多数的难度也都在A，B两个层级，安徽、广东、陕西等其他新课标省份每年都单独考查一个三角恒等变形、三角函数图象及性质的解答题，难度不大，因此复习该部分时主要以基础为主，注重小题为主，兼顾大题，不要过分展开主干知识整合1.三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则siny，cosx，tan.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)同角关系：sin2cos21，tan.(3)诱导公式：在360，180，90，270的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(1)图象的记忆：根据正弦函数图象过(0,0)、余弦函数图象过(0,1)、正切函数图象过(0,0)及在各象限的符号记忆；(2)性质的记忆：由正弦函数、余弦函数、正切函数的图象理解各函数的性质，包括：定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性3yAsin(x)的图象与性质yAsin(x)，yAcos(x)的最小正周期是，yAtan(x)的最小正周期是.其定义域、值域、单调性等性质结合ysinx，ycosx，ytanx的性质理解4.恒等变换公式sin()sincoscossin， cos()coscossinsin，tan()，sin22sincos，cos2cos2sin22cos2112sin2.要点热点探究探究点一三角恒等变换例1 (1)设tan，tan是方程x23x20的两根，则tan()的值为(A)A3 B1 C1 D3(2)2012山东卷 若，sin2，则sin(D)A. B. C. D.规范评析 三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可本例(1)从整体上求解，实际上也可以直接求出tan，tan的值，再代入和角正切公式求解；本例(2)的主要问题是使用同角三角函数关系和降幂公式，在开方时符号的选取，其基本原则是依据角所在的象限确定三角函数值的符号变式题 (1)若tan()，则的值为(D)A. B. C D.(2)设，都是锐角，且cos，sin()，则cos(D)A. B. C.或 D.或探究点二三角函数的图象与解析式例2 (1)2012浙江卷 把函数ycos2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(A)图261(2)函数的部分图象如图262所示，则将yf(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为(D)图262Aysin2x Bycos2x Cysin Dysin规范评析 根据函数解析式得出函数图象时要注意对已知的函数解析式进行恒等变换，把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后再根据函数图象的变换法则找出符合要求的函数图象；根据函数图象得出函数解析式时，要善于根据函数图象上反映出的函数性质、特殊点的坐标确定函数解析式中的待定系数变式题 (1)函数f(x)Asin(x)0，|0，0,00，函数f(x)sin在单调递减，则的取值范围是(A)A. B. C. D(0,2规范评析 三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式变换函数解析式三角函数的值域、三角函数的单调性也可以使用导数的方法进行研究规律技巧提炼规律解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究技巧1.角的变换技巧，如2()()(2)4等，基本原则是化未知为已知2当已知sincos时，可以与同角三角函数关系联合使用，同时注意(sincos)21sin2，利用这个关系可进行换元，如求ysinxcosxsin2x的值域，只要令tsinxcosx，则sin2xt21，即化为求yt2t1，t，的值域易错1.求三角函数值域时，在自变量的范围内存在函数最值时容易出错，如求ysin在上的值域，此时2x，此时函数值是从增大到1，再减小到，其值域是，不是.2图象均是由点构成，图象变换也就是点的变换，而点是由横、纵坐标组成，图象变换的本质就是横、纵坐标作相应的变化，所以从改变横坐标x、纵坐标y的角度看，有平移变换与伸缩变换：平移变换分为水平方向上的平移(y不变，x都改变相同的量)和垂直方向上的平移(x不变，y都改变相同的量)；伸缩变换分水平方向上的伸缩(y不变，x都改变相同的率)和垂直方向上的伸缩(x不变，y都改变相同的率)，如函数ysin2x的图象向右平移个单位应是ysin，而不是ysin.命题立意追溯运算求解能力三角变换的方法技巧示例 已知为第二象限角，sincos，则cos2(A)A B C. D.命题阐释 本题的立意是考查使用三角恒等变换公式进行运算的能力通过灵活选用公式、不同方位变换已知和求解目标，考查运算的合理性和灵活性 跟踪练1已知sincos，则sincos的值为(B)A. B C. D2如果为第二象限角且sin，则(B)A. B C. D教师备用例题选题理由：例1说明角的变换方法，具有较高的技巧性，可在探究点一中使用；例2是由函数性质推断函数解析式，可在探究点二中使用；例3说明三角函数综合解答题的模式例12012江苏卷 设为锐角，若c，则的值为_ 例2函数ysin(x)0，|，sinAcosB，cosAc2.类比三角形ABC为钝角三角形可得相应结论.要点热点探究探究点一正弦定理与余弦定理的应用例1 (1)2012天津卷 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cosC(A)A. B C D.(2)2012陕西卷 在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cosC的最小值为(C)A. B. C. D规范评析 解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值，本例第一题就是在这种思想指导下求解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法变式题 (1)在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_(2)在ABC中，已知sinBsinCsinA(cosBcosC)，则ABC的形状为_答案 (1)2(2)直角三角形探究点二三角形的面积问题例2 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m(cosA，cosB)，n(2cb，a)，且mn.(1)求角A的大小；(2)若a4，求ABC面积的最大值规范评析 在含有边角混合等式的问题中，如何进行转化是问题的关键当等式中含有角的余弦、正弦时首先要考虑使用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系，以便于问题的解决在解三角形问题中要注意方程思想的应用，正弦定理、余弦定理本身就是一个方程，当已知三角形面积时得边角的一个方程，就把求解的元素纳入到方程中，通过方程解三角形探究点三解三角形的实际应用例3 如图271，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1 km.(1)求CDE的面积；(2)求A，B之间的距离如图271规范评析 解三角形的实际应用问题就是把求解的量纳入到一个可以使用正弦定理、余弦定理求解的三角形中，这个三角形的一些元素如果不完全具备就要借助于其他的三角形求解，如本题中就是先根据两个可解三角形求出了我们需要求解的三角形的两边长度规律技巧提炼规律当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理，也可以使用余弦定理使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角，在这类试题中要注意方程思想的运用技巧在与三角形面积SabsinC有关的问题中，注意使用不等式ab.易错当已知两边及一边的对角，而使用正弦定理解三角形时，可能有一解、两解，注意讨论；在求与三角形内角有关的三角函数取值范围、最值时忽视角的范围.命题立意追溯 应用意识通过解三角形进行数学建模 示例2012安徽卷 设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)答案 若abc2，则C2c，则C；若a3b3c3，则C；若(ab)c；若(a2b2)c2.命题阐释 本题考查三角形、正余弦定理以及基本不等式，考查转化化归思想及运算能力，难度较大逐一判断，结合三角形的性质、正余弦定理、不等式性质以及基本不等式，恰当运用不等式变形的方法和技巧 跟踪练在ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边长，且a2b2c22absinC，则ABC的形状是_(填写直角、锐角、钝角或正三角形).教师备用例题选题理由：例1较为全面地考查了解三角形的知识和三角函数的知识在处理平面图形问题中的应用，可作探究点二的补充；例2主要考查三角恒等变换在解三角形中的应用，正弦定理只是辅助作用，这也是三角函数解答题的命题方式之一，可作探究点二的补充例1 在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c2，且.(1)求证：ABC是直角三角形；(2)如图，设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，求PAC面积的最大值 例22012江西卷 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积第8讲 平面向量及向量的应用 云览高考考点统计题型(频率)考例(难度)考点1平面向量的概念与线性运算选择(6)2012广东卷3(A)，2012安徽卷8(B)考点2平面向量的数量积选择(2)填空(3)2012课程标准卷13(A)，2012广东卷8(C)，2012安徽卷14(B)考点3向量的平行与垂直选择(5)2012四川卷7(A)，2012浙江卷5(A)，2012重庆卷6(A)说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题频率为分析2012各省市课标卷情况二轮复习建议命题角度：该部分的命题主要围绕三个点展开第一个点是围绕平面向量本身的重点内容展开，考查平面向量的线性运算、数量积运算、向量的平行与垂直关系的应用等，目的是考查平面向量的核心内容，试题一般是选择题或者填空题，难度也不大；第二点是与三角函数、解三角形、平面解析几何等交汇考查，平面向量的知识起到表达三角函数关系、三角形中的边角关系、解析几何中的几何关系的作用，这里考查的向量的知识是基础性的，目的是考查平面向量的工具性功能；第三点是向量与不等式的性质、基本不等式结合，这主要考查在不同形式下对代数式变形，转化的能力预计2013年对该部分的考查仍然会以基础考查为主，考查平面向量的核心内容，在解析几何、三角函数、解三角形中考查平面向量的平行、垂直、数量积以及向量和不等式结合等问题复习建议：平面向量既是高中数学的基础知识也是工具性知识，从全国课标近五年高考考查的情况看，单纯平面向量的考查均为选择题或者填空题，其中两次使用平面向量表达解析几何试题，因此在本讲中以平面向量本身的核心内容为主，适度涉及平面向量与三角函数、解三角形、平面解析几何以及不等式的综合主干知识整合1.向量的概念(1)概念：既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模长度为0，方向任意的向量为零向量，0与任一非零向量共线(2)向量夹角：a，b的夹角记为a，b，范围是.(3)投影：a，b，cos叫做b在a方向上的投影投影是数量2向量的运算与重要法则(1)加法、减法运算：ab为平行四边形法则，ab为三角形法则；(2)数乘运算：(a)()a，()aaa，(ab)ab；(3)数量积运算：abba，(ab)cacbc，(a)ba(b)(ab)3两非零向量平行、垂直的充要条件(1)共线条件：a，b(b0)共线存在，ab，坐标表示为(x1，y1)(x2，y2)x1y2x2y1；(2)垂直条件：abab0，坐标表示为x1x2y1y20.要点热点探究例1 (1)2012广东卷 若向量(2,3)，(4,7)，则(A)A(2，4) B(2,4) C(6,10) D(6，10)(2)在ABC所在的平面内有一点P，如果2，那么PBC的面积与ABC的面积之比是(A)A. B. C. D.点评 向量的线性运算是指加减运算和数乘运算，它们具有明确的几何运算方法，解题时只要按照运算法则进行即可要特别注意对向量按照减法法则进行分解时，对任意一点，分解的结果是“终点向量减去起点向量”，这是极容易出错的地方探究点二平面向量的数量积问题例2 (1)2012课程标准卷 已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2)2012天津卷 已知ABC为等边三角形，AB2，设点P，Q满足，(1)，R.若，则()A. B. C. D.答案 (1)3(2)A点评 平面向量的数量积运算是平面向量的核心内容，是高考考查的重点本例第一题中使用的是2(ab)(ab)22ab2，这是根据数量积运算律得出的结果，在求解向量的模中起重要作用；本例第二题采用的基向量的方法，即把问题涉及的向量都用两个已知长度和夹角的不共线向量表示(平面向量基本定理)，这是解决平面向量问题的一个基本技能本例的两个题目都可以建立平面直角坐标系使用坐标方法解决，如第一题，把向量a，b起点放在坐标原点，向量a的终点放在x轴正半轴上，则a(1,0)，向量b的终点放在第一象限，设r，根据三角函数定义，b，此时2ab，由于，所以，即r22r60，解之即得r3.变式题 平面上O，A，B三点不共线，设a，b，则OAB的面积等于(C)A. B. C. D.探究点三有关向量的平行、垂直问题例3 (1)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|(B)A. B. C2 D10(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(C)Aab Bab Ca2b Dab且|a|b|点评 根据平行关系、垂直关系求解待定系数是高考中经常考查的问题，其基本思想是根据两向量平行、垂直的充要条件得出方程，通过解方程求得结果；本例第二题中，都是单位向量，两个单位向量相等的充要条件是其方向相同，因此对非零向量a，b，ab(0)变式题 (1)在ABC中，若，则ABC是(D)A等边三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形(2)如图281，已知|3，|1，0，AOP，若t，则实数t等于(B)图281A. B. C. D3探究点三平面向量的综合应用例4 2012安徽卷 若平面向量a，b满足|2ab|3，则ab的最小值是_.点评 本题考查平面向量的运算和函数最值的分析，考查分析能力和转化化归的数学思想随着新课标高考内容的变化，向量与平面几何结合已经不可能考查得很深入，有一个热点要引起我们的重视，那就是向量与不等式规律技巧提炼规律1.对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立 2点O不在直线AB上，A，B，C三点共线的充要条件是(1)技巧向量的问题可以根据向量的坐标运算公式进行纯粹的代数运算，实现向量问题的代数化在试题中不含有向量的坐标时，要善于根据问题的实际情况，在不改变问题本质的情况下建立适当的坐标系，把向量问题代数化易错减法法则很容易使用错误，向量(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时，要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.命题立意追溯运算求解能力建立平面直角坐标系解决向量数量积问题示例 2012北京卷 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_1_.的最大值为_1_命题阐释 本题立意是通过平面向量的数量积考查运算求解能力，题目在正方形中考查向量的数量积，一个明显的意图就是引导考生使用坐标方法解决问题，实际上坐标方法求解本题非常方便，这体现了运算合理性、简捷性的要求 跟踪练1在直角梯形ABCD中，ABAD，ADDC1，AB3，动点P在梯形ABCD内运动(含边界)，设，则的最大值是(A)A. B. C1 D.2在ABC中，BAC120，|2，|1，点P满足(01)，则2的取值范围是(D)A.B.C.D.教师备用例题选题理由：例1把三角函数与平面向量交汇，重点是思考问题的方法，可供学生开阔思路；例2是从另一个角度说明了三角函数定义域和平面向量的旋转之间的关系，也可从向量的数量积出发求解，这个题目蕴含的基本思想是复数乘法的几何意义，也可供开阔学生思路使用；例3是一个新定义试题，有利于提高学生的理解能力这三个例题可在本讲适当位置插入例12012山东卷 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_答案 (2sin2,1cos2)例22012安徽卷 在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(A)A(7，) B(7，)C(4，2) D(4，2) 例32012广东卷 对任意两个非零的平面向量和，定义.若平面向量a，b满足|a|b|0，a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab(C)A. B1 C. D.13