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高 三 数 学 -数列复习【教学内容】等差、等比数列的定义，性质，通项及求和公式，并能运用它们去解决数列中基本的运算问题。【教学目标】 1、等差数列、等比数列的概念及通项公式，前n项和的计算公式是学习好数列的基础。首先我们要熟练掌握数列的概念，理解通项及求和公式推导的思想方法，在掌握公式的基础上，熟练掌握由已知n、an、d(q)、a1、sn中的某三个量，如何去计算另二个量的问题。2、能灵活地运用等差、等比数列的性质，如在等差数列中：（1）当m+n=p+q时，am+an=ap+aq（2）等差数列中任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项（3）等差数列中每k项的和仍为等差数列，公差为k2d等性质及等比数列中的相关性质，来解决具体问题。3、由于等差数列中sn是n的二次函数（其中d0）且常数项为零，因此当a10、d0时sn有最大值，当a10时sn有最小值，求sn的最值时，可以讨论数列中项的符号或利用二次函数求最值的方法来解决。4、等差等比数列的知识还常运用于函数、方程、不等式、三角及几何等问题，我们要能灵活运用数列的概念及性质来解决这些数学问题。【知识讲解】 例1、等差数列an中，a2+a4+a6+a12+a20+a32=18，求a8+a13+a17 分析：由等差数列性质可知，等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项，则a2+a32=2a17，a4+a12=2a8，a6+a20=2a13 2(a8+a13+a17)=18 a8+a13+a17=9 例2、在等比数列an中，a1+an=66, a2an1=128, sn=126，求n、q。分析：因为an为等比数列，所以由等比数列的性质：若m+n=p+q, 则aman=apaq可知a2an1=a1an，代入已知条件可求出a1、an，知道了a1、an、sn用通项及求和公式就可以求出n与q了。解：数列an为等比数列，a2an1=a1an, a1+an=66 a1、an是方程 a1an=128x266x+128=0的两根， a1=2 a1=64 或 an=64 an=2当a1=2, an=64时，由可得，q=2, n=6同理，当a1=64, an=2时可及q=, n=6 例3、四个正数，前三个成等差数列，其和为48，后三个成等比数列，最后一数为25，求这四个数。解：设此四个数为ad、a、a+d、25，(ad)+a+(a+b)=48, a=16,又后三个数成等比数列，（a+b）2=25a，即(16+d)2=2516, d2+32d144=0, d=4或d=36（舍去），所以四个正数为：12、16、20、25。说明：当几个数成等或等比数列时，我们可以利用对称性质性设出这n个数。如三个数成等差数列时，可设为ad、a、a+d，当四个数成等差数列时，可设为a3d, ad, a+d, a+2d等比数列也是类似的，这样设出来的n个数具有对称性，往往会给计算带来方便。例4、已知两个等差数列，它们的前n项和之比为，求这两个数列的第9项之比。解：设这两个等差数列分别为an、 bn它们的前n项和分别为sn,sn,由等差数列的性质可知a9= 说明：这里灵活地运用了等差数列的性质：等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项及等差数列的求和分式一般地，若an、bn均为等差数列，前n项和分别为Sn、Sn，且，则 例5、若两个方程x2-x+a=0，x2-x+b=0的四个根构成以为首项的等差数列ab，试求a、b的值。 解：设四个根以，+d，+2d，+3d，因为每个方程的两根之和均为1，+(+3d)=(+d)+(+2d)=1 d=,b= d=例6、已知ABC中，三内角A、B、C的度数依次成等差数列，三边长a、b、c依次成等比数列，试判断ABC的形状。 证法一、A、B、C成等差数列,2B=A+C，又A+B+C=180，B=60A+C=120 a、b、c成等比数列， b2= ac, 由正弦定理知sin2B=sinAsinC, sinAsinC=,积化和差得：cos(A+C)cos(AC)=， cos(AC)=1, 在ABC中，AC(,)， AC=0，A=C=60，ABC为等边三角形。 证法二：A、B、C成等差数列， B=60，b2=ac, a2+c22accos60= ac, 即a22ac+c2=0, (ac)2=0, a=c,所以ABC为等边三角形。例7、在等差数列an中，若sp=q, sq=p, 求：Sp+q（其中pq）分析：sp+q=（p+q）a1+,因此要求sp+q, 关键要根据条件，计算出的值，而由等差数列的求和公式可知，只要把sp=q, sq=p两式相减即可。解：sp=q, sq=p ， (1) (1)(2)得： (2)（p-q）a1+又pq, pq0，=1，sp+q=（p+q）a1+=（p+q）(1)=(p+q)例8、等比数列的前n项和为sn，前2n项和为s2n，前3n项和为s3n，且sn=48,s2n=60，求s3n。分析：根据等比数列的性质：等比数列中每k项的和仍成等比数列，公比为qk,则sn、s2nsn、s3nsn为等比数列，那么由sn、s2n的值就可以计算s3n了。解： 数列an为等比数列，sn、s2nsn、s3nsn也成等比数列，即48、6048、s3n60成等比数列， （6048）2=48（s3n60），s3n=63例9、某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值。分析：这里是实际问题的运用，对于这类应用问题，我们首先要读懂题目，理解题意，在此基础上再把实际问题转化为数学问题来解决。如该题中主要问题是要分清楚原计划三年的产值成等差数列，变化后三年的产值成等比数列。解：由题意可知，原计划三年的产值成等差数列，变化后三年的产值成等比数列，设原计划三年的产值为xd、x、x+d ，则3x=300, x=100, 又变化后三年的产值分别为：x+10d、x+10、x+11+d，它们成等比数列。（110d）(111+d)=1102，d2+d110=0，d=10或d=11（舍去），原计划每年的产值分别为90、100、110（万元）。例10、一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32:27，求公差d。解法一： a1+a2+a12=354 又 a2+a4+a6+a12=a1+a3+a5+a11+6d 2(a1+a3+a11)+6d=354, a1+a3+a11=1773d又 解法二：由条件可知： 又在等差数列中，因为项数12为偶数，所以 ，d=5说明：解法二中运用了等差数列奇数项与偶数项的有关性质。若项数为偶数2n，则有，若项数为奇数，则有这里的an为中间项。 例11、已知数列 为等差数列，公差d0，的部分项组成下列数列 恰为等比数列，其中 求。 解：成等比数列，即，设等差数列的首项为a1，公差d，则(a1+4d)2=a1(a1+16d)，d0，a1=2d, 设等比数列的公比为q，则 是等比数列中的第n项，又是等差数列an的第kn项 ， .例12、 数列为等差数列，为公差，数列是等比数列，q为公比，求和q.分析：此题已知条件为成等差数列，成等比数列，若根据等差、等比数列的性质，去讨论注意连续三项的关系较复杂，注意到此题仅要求公差及公比q，我们可以通过讨论前三项的关系即可，这样就可以化一般为特殊，达到简化运算的目的。解：数列为等比数列，、也成等比数列， 又数列成等差数列，则，kZ， 例13、已知f(x)=bx+1为x的一次函数,b为不等于1的常量,且g(n)= 1 n=0 fg(n1) n1 若an=g(n)g(n1),nN，求证：an为等比数列.设Sn=a1+a2+an，求Sn. 解：当n=1时，a1=g(1)g(0)=fg(0)g(0)=f(1)1=b+11= b,当n时，an=g(n)g(n1)=f g(n)f g(n2)=bg(n1)+1bg(n2)1=b g(n1)g(n2)=ban-1,所以对于一切自然数n，均有的数列an为公比是b的等比数列。（2）sn=b+b2+bn=说明：解题的关键是要在理解复合函数抛念的基础上，充分运用已知条件中，首先把g(n)的表达式求出，然后再计算an。【每周一练】 一、选择题： 1、在等差数列an中，a2+a5=19,s5=40,则a10是（ ） A、80 B、38 C、29 D、49 2、数列an中，a1=60, a n+1= a n+3, nN则该数列前30项的绝对值的和是（ ） A、495 B、765 C、3105 D、以上均不正确 3、若互不相等的三个实数a、b、c成等差数列，且a、c、b成等比数列，则a:b:c等于（ ） A、1:2:3 B、3:1:2 C、4:1:2 D、4:1:(-2)4、公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（ ） A、1 B、2 C、3 D、45、凸n边形的各内角度数成等差数列，最小角为120，公差为5，则边数n等于（ ） A、9 B、16 C、9或16 D、12 6、在等差数列中，Sn表示n项和，已知S5=28，S10=36，则S15等于（ ） A、44 B、80 C、-48 D、247、在等差数列an中，若前4项和s4=1,前8项和s8=4，则a17+a18+a19+a20等于（ ） A、7 B、8 C、9 D、10 8、数列an、bn的通项公式分别是an=an+b (a0，a、bR)，bn=qn-1(q1)，则数列an、bn中，使an=bn的n值的个数是（ ） A、2 B、1 C、0 D、可能为0，可能为1，可能为29、设某工厂生产总值月平均增长率为P，则年平均增长率为（ ） A、P B、12P C、（1+P）12 D、（1+P）121 10、已知等差数列an的公差为1，且a1+a2+a99=99，则a3+a6+a9+a99的值是（ ） A、99 B、66 C、33 D、0 11、一个等差数列的前10项和为100，前100项之和为10，则前110项之和为（ ） A、-90 B、90 C、-110 D、110 12、设等差数列5、，第n项到第n+6项的和为T，那么|T|取最小值时，n等于（ ） A、6 B、5 C、4 D、3二、填空题：13、已知等差数列an中，a3=10，a3、a7、a10是一个等比数列中相邻的三项，则公比q为_14、已知等差数列an的公差d0,且a1、a3、a9成等比数列，则=_15、数列an的前n项和Sn=3n+a，要使an是等比数列，则a的取值为_16、等比数列an中，公比q=2，log2a1+log2a2+log2a10=25, 则a1+a2+a10=_17、等差数列an中，已知a5+a10+a15+a20=2，则S24=_18、已知等差数列an中，a1=-2, 且S3=S7，则使Sn取最小值的自然数n等于_19、数列2、5、8、11和数列3、7、11、15前100项中相同项的个数是_20、设两个方程x2-ax+1=0，x2-bx+1=0的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab=_三、解答题：21、若数列an的前n项和Sn=pnan(nN)且a1a2,求常数p的值，并证明数列an为等差数列。22、四个数，前三个数成等比数列，它们的和是19，后三个数成等差数列，它们的和为12，求这四个数.23、在等比数列an中设前n项和、前2n项和、前3n和分别为A、B、C试比较A2+B2与A(B+C)的大小，并证明。24、已知a1、a2an是各项为正数的等比数列，公比q1，求证：25、若a、b、c分别是一个等差数列的第p、q、r项，同时又是一个等比数列中的第p、q、r项，求ab-cbc-a ca-b的值.26、设数列an与bn的通项分别为an=2n、bn=3n+2，由它们的公共项由小到大排成数列Cn，求数列Cn的前n项之和.【每周一练答案】一、选择题：1、C 2、B 3、A 4、C 5、A 6、D 7、C 8、D 9、D 10、B 11、C 12、B二、填空题：13、或1 14、 15、-1 16、 17、12 18、5 19、25 20、三、解答题：21、证明略 22、25 -10 4 8或9 6 4 223、A2+B2=A(B+C) 证明略 24、证明略25、1 26、Sn=(4n-1)
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