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“直线的方程教学之我见 打造开启“解析几何大门的金钥匙 “直线的方程教学之我见 广州市花都区教育局教学研究室 高宏伟 解析几何就学习内容而言是高中数学的三大板块函数、立几、解几 之一,在初等数学中占据着举足轻重的地位。同时我们知道,解析几何思 想主要是用代数方法来研究几何问题,有时也利用几何图象性质去解 决代数问题如方程的根的个数问题等,是联系代数与几何的紧密纽带, 是进行数学学习的有力工具,是化归、变换等数学根本思想方法的良好体 现。掌握好解析几何,不仅仅是完成 了对自身这局部内容的学习,同时也 是对中学阶段代数与几何内容的回忆、综合与应用,更是对数学学习的基 本方法 数学根本思想方法的全面认识。 然而在以往的教学过程中,不少教师往往过于强调了解析几何在知识 内容方面的重要性,而忽略了其工具性。在教学中将解析几何作为全新的 内容来介绍,要求学生去记忆、去掌握,却没有看到解析几何中的许多载 体都是学生之前学习过的内容。致使学生们的学习负担过重,不利于培养 学生形成良好的数学学习习惯。许多学生都觉得解析几何太难学了,对解 析几何形成了心理恐惧感。 如何才能降低学生对解析几何的心理恐惧,引领学生找到轻松学习解 析几何的方法呢?笔者认为抓住数学根本思想方法进行教学设计与教学实 施是关键。高中数学新课程标准对解析几何的教学作了如下的要求:“在平 面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生经历如下的过程:首先将几何 问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化 为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问 题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会数 形结合的思想方法。就是告诉我们,在解析几何的教学中,不能一如既 往的只看重“结果,更要强调其“过程,即在教学过程中要突出解析几 何的工具性和相关的数学根本思想方法。 “直线的方程是学生接触解析几何的第一课,是学生明确认识、 形成方法的最正确时机。我们应把握住这一时机,引导学生在接触解析几何 伊始就对“数形结合等数学根本思想有所认识和理解,并逐渐形成良好 的数学思维习惯,为今后进行解析几何的学习奠定扎实的根底。换句话说, “直线的方程就是 “解析几何殿堂的大门,在此我们一定要指导学生 打造好“数学根本思想方法这一开启解析几何大门的金钥匙,才能使学 生们轻松自如地游历于解析几何殿堂。 传统的教学习惯于将直线方程的五种形式分开进行教学,而且几乎都 是直接从“方程这一代数形式着手研究,没有突出“直线的几何性质, 更没有揭示 “直线与“方程几何性质与代数形式之间的内在联系。 这样处理就是过分强调了结果,使直线的方程变成了一个全新的教学内容, 学生之前关于直线的认识在此毫无作用。学生对这些“新知识只能靠记 忆来加深印象,而不能有效地形成方法。不少学生都会产生:“直线为什么 非要用代数形式来表达?一条直线为什么要学习那么多种形式? 等等的 疑问。这是因为他们体会不到学习解析几何的必要性,感受不到利用解析 134 几何思想解决问题的好处。于是学生容易形成解析几何就是“化简为繁、 就是“强加于人等的错误认识,而难 以对其产生学习的兴趣与动力。 如果我们抓住数形结合这一数学根本思想方法,从直线的几何要素出 发,不人为的将直线方程的几种形式分开进行教学,而是结合之前学习的 直线的倾斜角和斜率进行整体的研究,那么即抓住了问题的本质,将学生的 既有知识作为珍贵的教学资源而充分地加以利用,又调动了学生的求知欲 和学习兴趣,使学生能够“温故而知新,取得良好的教学效果。 具体的处理方法如下。 一、提出问题: 1、想想看我们平时是怎样画直线的?也就是说怎样可以确定一条直 线呢? 2 、在平面直角坐标系中上述的条件怎样表示? 3 、直线上的点具备怎样的几何意义呢?也就是说怎样判断一个点是 否在直线上?难点,教师可引导学生观察图像进行思考 4 、你所找到的直线的几何意义可以怎样表达? 上述问题可以给一节课的时间让学生自主讨论研究,教师不随便打 扰,只是巡堂个别给予引导。 二、分析问题: 1、对于问题 1 就是让学生从几何性质的角度去思考问题。 许多学生可以想到初中就已经知道的公理:两点确定一条直线。这时 我们进一步引导学生,如果只有一个点能够确定直线吗?学生答复:不 能。那么一个点再增加一个什么条件也可以确定直线呢?引导学生得 到“一个点再加上一个方向也可以确定一条直线。 这样就得到了确定直线的两个方法: 两点确定一条直线;一个点和一个方向确定一条直线。 2 、对于问题 2 就是使学生经历将几何问题代数化,用代数的语言描 述几何要素。浅层次的,几乎不需要转换 即两点的坐标;一个点的坐标及斜率倾 斜角。都能够确定一条直线。 P(x,y) 3 、对于问题 3 就是让学生更深入的寻找问题中隐藏的 P(x,y) 几何意义与几何性质,并将他们代数化。深层次的,需要 B(x ,y ) 2 2 转换 A(x ,y ) 1 1 利用几何图像如图 1引导学生找到问题 3 的答案: 直线所具备的几何性质就是直线上任意两点的方向都不变, 图 1 即斜率为定值相等。 然后引导学生习惯在解析几何中对动点如: ( , ) P x y 和定点如: A(x , y ) 的描述,加深对方程本质含有未知数的等式的 1 1 理解,从而掌握确定曲线方程的一般步骤与根本思想方法。 4 、,用代数的语言描述几何要素。 教师可提示学生思考上两节课学习的直线的倾斜角与斜率,有学生自 主思考如何将刚刚得到的相等关系转化为方程。具体过程如下。 三、解决问题: 135 设点 P x ,y 是所求直线上的任意一点: 当两个点的坐标时,如 A x 1 ,y 1 ,B x2 ,y 2 ,由直线的几 何意义可知: kPA kAB k 为斜率,由之前学过的斜率的知识可得: y ?y 1 y 2 ?y 1 ,满足这个条件的点都在所求的直线上。那么我们可不 x ?x x ?x 1 2 1 可以说直线上的所有点都满足这个方程吗 ?对思维的严密性进行培 养。为什么不能表示直线上的所有点呢?那么我们将方程怎样变化一 下就可以使方程表示直线上所有 的点呢?学生应该不难得出方程 y ?y 1 x ?x1 ,于是直线方程的两点式就得到了。 y 2 ?y 1 x 2 ?x1 当一个点 A x 1 ,y 1 及斜率 k 时,由直线的几何意义可知: y ?y 1 k , 经 过 的 锻 炼 , 学 生 很 容 易 可 以 将 方 程 变 形 为 x ?x 1 y ?y k (x ?x ) ,以满足直线上的所有的点。于是直线方程的点斜式也 1 1 得到了。 以上第二、三点占一课时如学生根底扎实、思维敏捷,那么可以 将第一、二、三点整合为一课时 四、拓展问题: 对于上面的两种情况,通过教师简单的提问,可以进一步拓展出直线 方程的“截距式和“斜截式。 教师提问:点有时比拟特殊,如落在坐标轴上,那么其中有一个坐标 值为 0 ,那么直线的两点式和点斜式可不可以简化,变得更漂亮些呢? 学生不难得到,如果两点式中的两个点分别为a ,0 、0 ,b ,那 y ?0 x ?a x y 么代入两点式可得 ,整理得: + 1 。又如将点a ,0 代 b ?0 0 ?a a b 入点斜式,得 0 ( ) y ? k x ?a ,整理得:y kx ?ka ,将点0 ,b 代入点斜 y b k x ,整理得y kx +b 。让学生观察哪些方程比拟简化,然后 式 ? ( ?0) 给出“截距式与“斜截式的概念。 让学生自己动手化简方程,即可稳固刚刚所学习的直线方程的“两点 式和“点斜式,在化简的过程中对公式的记忆更加深刻,感受到了数学 中的美,而且体验到了在数学学习过程中自己得出结论的喜悦,增加他们 的自信心和满足感。 至于直线的一般方程,我们可以根据一般的代数方程的习惯将方程 的右边化成 0 让学生自己解决即可。 五、归纳总结: 引导学生利用化归的思想总结出解析几何思想解决问题的根本思路: 1、寻找几何性质; 136 2 、利用某些根本关系,找到几何性质与代数式子之间的联系,用代 数式子表示出几何性质; 3 、简化整理代数式,通过解决代数式来反映出相应的几何结果。 六、稳固、应用: 给出具体练习,加深学
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