“直线的方程”教学之我见

“直线的方程教学之我见 打造开启“解析几何大门的金钥匙 “直线的方程教学之我见 广州市花都区教育局教学研究室 高宏伟 解析几何就学习内容而言是高中数学的三大板块函数、立几、解几 之一，在初等数学中占据着举足轻重的地位。同时我们知道，解析几何思 想主要是用代数方法来研究几何问题，有时也利用几何图象性质去解 决代数问题如方程的根的个数问题等，是联系代数与几何的紧密纽带， 是进行数学学习的有力工具，是化归、变换等数学根本思想方法的良好体 现。掌握好解析几何，不仅仅是完成 了对自身这局部内容的学习，同时也 是对中学阶段代数与几何内容的回忆、综合与应用，更是对数学学习的基 本方法 数学根本思想方法的全面认识。 然而在以往的教学过程中，不少教师往往过于强调了解析几何在知识 内容方面的重要性，而忽略了其工具性。在教学中将解析几何作为全新的 内容来介绍，要求学生去记忆、去掌握，却没有看到解析几何中的许多载 体都是学生之前学习过的内容。致使学生们的学习负担过重，不利于培养 学生形成良好的数学学习习惯。许多学生都觉得解析几何太难学了，对解 析几何形成了心理恐惧感。 如何才能降低学生对解析几何的心理恐惧，引领学生找到轻松学习解 析几何的方法呢？笔者认为抓住数学根本思想方法进行教学设计与教学实 施是关键。高中数学新课程标准对解析几何的教学作了如下的要求：“在平 面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何 问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化 为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问 题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会数 形结合的思想方法。就是告诉我们，在解析几何的教学中，不能一如既 往的只看重“结果，更要强调其“过程，即在教学过程中要突出解析几 何的工具性和相关的数学根本思想方法。 “直线的方程是学生接触解析几何的第一课，是学生明确认识、 形成方法的最正确时机。我们应把握住这一时机，引导学生在接触解析几何 伊始就对“数形结合等数学根本思想有所认识和理解，并逐渐形成良好 的数学思维习惯，为今后进行解析几何的学习奠定扎实的根底。换句话说， “直线的方程就是 “解析几何殿堂的大门，在此我们一定要指导学生 打造好“数学根本思想方法这一开启解析几何大门的金钥匙，才能使学 生们轻松自如地游历于解析几何殿堂。 传统的教学习惯于将直线方程的五种形式分开进行教学，而且几乎都 是直接从“方程这一代数形式着手研究，没有突出“直线的几何性质， 更没有揭示 “直线与“方程几何性质与代数形式之间的内在联系。 这样处理就是过分强调了结果，使直线的方程变成了一个全新的教学内容， 学生之前关于直线的认识在此毫无作用。学生对这些“新知识只能靠记 忆来加深印象，而不能有效地形成方法。不少学生都会产生：“直线为什么 非要用代数形式来表达？一条直线为什么要学习那么多种形式？ 等等的 疑问。这是因为他们体会不到学习解析几何的必要性，感受不到利用解析 134 几何思想解决问题的好处。于是学生容易形成解析几何就是“化简为繁、 就是“强加于人等的错误认识，而难 以对其产生学习的兴趣与动力。 如果我们抓住数形结合这一数学根本思想方法，从直线的几何要素出 发，不人为的将直线方程的几种形式分开进行教学，而是结合之前学习的 直线的倾斜角和斜率进行整体的研究，那么即抓住了问题的本质，将学生的 既有知识作为珍贵的教学资源而充分地加以利用，又调动了学生的求知欲 和学习兴趣，使学生能够“温故而知新，取得良好的教学效果。 具体的处理方法如下。 一、提出问题： 1、想想看我们平时是怎样画直线的？也就是说怎样可以确定一条直 线呢？ 2 、在平面直角坐标系中上述的条件怎样表示？ 3 、直线上的点具备怎样的几何意义呢？也就是说怎样判断一个点是 否在直线上？难点，教师可引导学生观察图像进行思考 4 、你所找到的直线的几何意义可以怎样表达？ 上述问题可以给一节课的时间让学生自主讨论研究，教师不随便打 扰，只是巡堂个别给予引导。 二、分析问题： 1、对于问题 1 就是让学生从几何性质的角度去思考问题。 许多学生可以想到初中就已经知道的公理：两点确定一条直线。这时 我们进一步引导学生，如果只有一个点能够确定直线吗？学生答复：不 能。那么一个点再增加一个什么条件也可以确定直线呢？引导学生得 到“一个点再加上一个方向也可以确定一条直线。 这样就得到了确定直线的两个方法： 两点确定一条直线；一个点和一个方向确定一条直线。 2 、对于问题 2 就是使学生经历将几何问题代数化，用代数的语言描 述几何要素。浅层次的，几乎不需要转换 即两点的坐标；一个点的坐标及斜率倾 斜角。都能够确定一条直线。 P(x,y) 3 、对于问题 3 就是让学生更深入的寻找问题中隐藏的 P(x,y) 几何意义与几何性质，并将他们代数化。深层次的，需要 B(x ,y ) 2 2 转换 A(x ,y ) 1 1 利用几何图像如图 1引导学生找到问题 3 的答案： 直线所具备的几何性质就是直线上任意两点的方向都不变， 图 1 即斜率为定值相等。 然后引导学生习惯在解析几何中对动点如： ( , ) P x y 和定点如： A(x , y ) 的描述，加深对方程本质含有未知数的等式的 1 1 理解，从而掌握确定曲线方程的一般步骤与根本思想方法。 4 、，用代数的语言描述几何要素。 教师可提示学生思考上两节课学习的直线的倾斜角与斜率，有学生自 主思考如何将刚刚得到的相等关系转化为方程。具体过程如下。 三、解决问题： 135 设点 P x ，y 是所求直线上的任意一点： 当两个点的坐标时，如 A x 1 ，y 1 ，B x2 ，y 2 ，由直线的几 何意义可知： kPA kAB k 为斜率，由之前学过的斜率的知识可得： y ?y 1 y 2 ?y 1 ，满足这个条件的点都在所求的直线上。那么我们可不 x ?x x ?x 1 2 1 可以说直线上的所有点都满足这个方程吗 ？对思维的严密性进行培 养。为什么不能表示直线上的所有点呢？那么我们将方程怎样变化一 下就可以使方程表示直线上所有 的点呢？学生应该不难得出方程 y ?y 1 x ?x1 ，于是直线方程的两点式就得到了。 y 2 ?y 1 x 2 ?x1 当一个点 A x 1 ，y 1 及斜率 k 时，由直线的几何意义可知： y ?y 1 k ， 经 过 的 锻 炼 ， 学 生 很 容 易 可 以 将 方 程 变 形 为 x ?x 1 y ?y k (x ?x ) ，以满足直线上的所有的点。于是直线方程的点斜式也 1 1 得到了。 以上第二、三点占一课时如学生根底扎实、思维敏捷，那么可以 将第一、二、三点整合为一课时 四、拓展问题： 对于上面的两种情况，通过教师简单的提问，可以进一步拓展出直线 方程的“截距式和“斜截式。 教师提问：点有时比拟特殊，如落在坐标轴上，那么其中有一个坐标 值为 0 ，那么直线的两点式和点斜式可不可以简化，变得更漂亮些呢？ 学生不难得到，如果两点式中的两个点分别为a ，0 、0 ，b ，那 y ?0 x ?a x y 么代入两点式可得 ，整理得： + 1 。又如将点a ，0 代 b ?0 0 ?a a b 入点斜式，得 0 ( ) y ? k x ?a ，整理得：y kx ?ka ，将点0 ，b 代入点斜 y b k x ，整理得y kx +b 。让学生观察哪些方程比拟简化，然后 式 ? ( ?0) 给出“截距式与“斜截式的概念。 让学生自己动手化简方程，即可稳固刚刚所学习的直线方程的“两点 式和“点斜式，在化简的过程中对公式的记忆更加深刻，感受到了数学 中的美，而且体验到了在数学学习过程中自己得出结论的喜悦，增加他们 的自信心和满足感。 至于直线的一般方程，我们可以根据一般的代数方程的习惯将方程 的右边化成 0 让学生自己解决即可。 五、归纳总结： 引导学生利用化归的思想总结出解析几何思想解决问题的根本思路： 1、寻找几何性质； 136 2 、利用某些根本关系，找到几何性质与代数式子之间的联系，用代 数式子表示出几何性质； 3 、简化整理代数式，通过解决代数式来反映出相应的几何结果。 六、稳固、应用： 给出具体练习，加深学