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习题一:1.1 写出下列随机试验的样本空间:(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解:连续5 次都命中,至少要投5次以上,故;(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解:;(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以;(4) 从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故: (5) 检查两件产品是否合格; 解:用0 表示合格, 1 表示不合格,则;(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解:用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故: ;(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解:;(8) 在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解:;1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; ;(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;;(3) A,B,C 中至少有一个发生; ;(4) A,B,C 中恰有一个发生;;(5) A,B,C 中至少有两个发生; ;(6) A,B,C 中至多有一个发生;;(7) A;B;C 中至多有两个发生;(8) A,B,C 中恰有两个发生. ;注意:此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式。1.3 设样本空间, 事件=, 具体写出下列各事件:(1) ; (2) ; (3) ; (4) (1) ; (2) =; (3) =; (4) = 1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由. 解:由于故,而由加法公式,有:1.7 解:(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为:(2) 由于事件可以分解为互斥事件,昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为:(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为:.1.8 解:(1) 由于,故显然当时P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6.(2) 由于。显然当时P(AB) 取到最小值,最小值是0.4.1.9 解:因为 P(AB) = 0,故 P(ABC) = 0.至少有一个发生的概率为:1.10 解(1) 通过作图,可以知道,(2) 1.11 解:用表示事件“杯中球的最大个数为个” =1,2,3。三只球放入四只杯中,放法有种,每种放法等可能。对事件:必须三球放入三杯中,每杯只放一球。放法432种,故 (选排列:好比3个球在4个位置做排列)。对事件:必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种),故。1.12 解:此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件(1,2),(2,1)。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5 的概率各是。(1) 1.13 解:从10个数中任取三个数,共有种取法,亦即基本事件总数为120。(1) 若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有种,故所求概率为。(2) 若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个,取法有种,故所求概率为。1.14 解:分别用表示事件:(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。1.15 解:由于,故1.16(1) (2)解:(1) (2)注意:因为,所以。1.17 解:用表示事件“第次取到的是正品”(),则表示事件“第次取到的是次品”()。(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为:。(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为:(3) 事件“第三次取到次品”的概率为:此题要注意区分事件(1)、(2)的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概率。再例如,设有两个产品,一个为正品,一个为次品。用表示事件“第次取到的是正品”(),则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为:;而事件“第二次才取到次品”的概率为:。区别是显然的。1.18。解:用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则,根据全概率公式,有:1.19解:设表示事件“所用小麦种子为等种子”,表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。则,根据全概率公式,有:1.20 解:用表示色盲,表示男性,则表示女性,由已知条件,显然有:因此:根据贝叶斯公式,所求概率为:1.21 解:用表示对试验呈阳性反应,表示癌症患者,则表示非癌症患者,显然有:因此根据贝叶斯公式,所求概率为:1.22 (1) 求该批产品的合格率;(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少?解:设,则(1) 根据全概率公式,该批产品的合格率为0.94.(2) 根据贝叶斯公式,同理可以求得,因此,从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为:。1.23解:记=目标被击中,则1.24 解:记=四次独立试验,事件A 至少发生一次,=四次独立试验,事件A 一次也不发生。而,因此。所以三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为:。二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充:(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时,P()=1- P(B)(12)条件概率定义 设A、B是两个事件,且P(A)0,则称为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为。(16)贝叶斯公式,i=1,2,n。此公式即为贝叶斯公式。第二章 随机变量2.1 X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解:根据,得,即。 故 2.3解:用X表示甲在两次投篮中所投中的次数,XB(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, YB(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2=(2)甲比乙投中的次数多PXY= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1=2.4解:(1)P1X3= PX=1+ PX=2+ PX=3=(2) P0.5X2.5=PX=1+ PX=2=2.5解:(1)PX=2,4,6,=(2)PX3=1PX3=1PX=1- PX=2=2.6解:设表示第i次取出的是次品,X的所有可能取值为0,1,2=2.6解:(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数,则XB(4,0.4)(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数,则YB(5,0.4)2.7 (1)XP()=P(0.53)= P(1.5) =(2)XP()=P(0.54)= P(2)2.8解:设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X,则。依题意,设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即,也即因为n=180较大,p=0.01较小,所以X近似服从参数为的泊松分布。查泊松分布表,得,当m+1=7时上式成立,得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。2.9解:一个元件使用1500小时失效的概率为 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y,则。所求的概率为2.10(1)假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时,则该地区每天供电量不足的概率为:(2)假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时,则该地区每天供电量不足的概率为:2.11解:要使方程有实根则使解得K的取值范围为,又随机变量KU(-2,4)则有实根的概率为2.12解:XP()= P()(1) (2)(3)2.13解:设每人每次打电话的时间为X,XE(0.5),则一个人打电话超过10分钟的概率为又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y,则。因为n=282较大,p较小,所以Y近似服从参数为的泊松分布。所求的概率为2.14解:(1)(2)2.15解:设车门的最低高度应为a厘米,XN(170,62)厘米2.19解:X的可能取值为1,2,3。因为; ;所以X的分布律为X123P0.60.30.1X的分布函数为 2.20(1)Y040.20.70.1(2)Y-110.70.32.21(1)当时,当时,当时,X-112P0.30.50.2(2)Y120.80.22.22(1)设FY(y),分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数,则对求关于y的导数,得 (2)设FY(y),分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数,则当时,当时,有对求关于y的导数,得 (3)设FY(y),分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数,则当时,当时,对求关于y的导数,得 2.23 (1)对求关于y的导数,得到 (2),,对求关于y的导数,得到 (3), 对求关于y的导数,得到 第三章 随机向量3.1 P1X2,3Y5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)= 3.2YX1220=3=03.4(1)a=(2)(3) 3.5解:(1)(2)3.6解:3.7参见课本后面P227的答案3.8 3.9解:X的边缘概率密度函数为:当时,当时,Y的边缘概率密度函数为: 当时, 当时,3.10 (1)参见课本后面P227的答案(2) 3.11参见课本后面P228的答案3.12参见课本后面P228的答案3.13(1) 对于时,所以 对于时,所以 3.14X Y025X的边缘分布10.150.250.350.7530.050.180.020.25Y的边缘分布0.20.430.371由表格可知 PX=1;Y=2=0.25PX=1PY=2=0.3225故所以X与Y不独立3.15X Y123X的边缘分布12ab+a+bY的边缘分布a+b+1由独立的条件则可以列出方程解得 3.16 解(1)在3.8中 当, 时,当或时,当或时,所以,X与Y之间相互独立。 (2)在3.9中, 当,时, ,所以X与Y之间不相互独立。3.17解:故X 与Y相互独立3.18参见课本后面P228的答案第四章 数字特征4.1 解:甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数,又两台机床的总的产量相同乙机床生产的零件的质量较好。4.2 解:X的所有可能取值为:3,4,54.3参见课本230页参考答案4.4解:4.6参考课本230页参考答案4.7解:设途中遇到红灯次数为X,则 4.8解 500+1000 1500 4.9参见课本后面230页参考答案4.10参见课本后面231页参考答案4.11 解:设均值为,方差为,则XN(,)根据题意有: ,解得t=2即=12所以成绩在60到84的概率为 4.124.13解:4.14解:设球的直径为X,则: 4.15参看课本后面231页答案4.16解: 4.17解X与Y相互独立,4.18,4.19,4.20参看课本后面231,232页答案4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和,表示第颗骰子出现的点数,则,且是独立同分布的,又所以4.22参看课本后面232页答案4.234.244.25 4.26因为XN(0,4),YU(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)= 故:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+=Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 4.27参看课本后面232页答案4.28后面4题不作详解第五章 极限理5.3解:用表示每包大米的重量,则, 5.4解:因为 服从区间0,10上的均匀分布, 5.5解:方法1:用表示每个部件的情况,则,,方法2:用X表示100个部件中正常工作的部件数,则5.6略 第六章样本与统计6.16.3.1证明:由=+b可得,对等式两边求和再除以n有 由于 所以由 可得=6.3.2因为 所以有6.2 证明:6.3(1)(2)由于所以有两边同时除以(n-1)可得 即 6.4 同例6.3.3可知得 查表可知=1.96 又 根据题意可知n=436.5解(1)记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆,标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有:(2)根据题意有6.6 解:(1)记一个月(30天)中每天的停机时间分别为,它们是来自均值为=4小时,标准差为=0.8小时的总体的样本。根据题意有:(注:当时,的值趋近于1,相反当时,其值趋近于0)(2)根据题意有:6.7证明:因为T ,则,随机变量的密度函数为 显然,则为偶函数,则6.8 解:记,则XN(,),n=25故6.9 解:记这100人的年均收入为,它们是来自均值为万元,标准差为万元的总体的样本,n=100则根据题意有:(1)(2)(3)6.10 解:根据题意可知此样本是来自均值为,标准差为的总体,样本容量为n=5 (1)依题意有(2)要求样本的最小值小于10概率,即5个数中至少有一个小于10的概率,首先计算每个样本小于10的概率:设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有即样本的最小值小于10的概率是0.5785.(3)同(2)要求样本的最大值大于15的概率,即5个数中至少有一个大于15的概率,首先计算每个样本大于15的概率:设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有即样本的最大值大于15的概率是0.2923第七章参数估计7.1解因为:是抽自二项分布B(m,p)的样本,故都独立同分布所以有用样本均值代替总体均值,则p的矩估计为7.2解: 用样本均值代替总体均值,则的矩估计为由概率密度函数可知联合密度分布函数为: 对它们两边求对数可得 对求导并令其为0得 即可得的似然估计值为7.3解:记随机变量x服从总体为0,上的均匀分布,则 故的矩估计为X的密度函数为故它的是似然函数为要使达到最大,首先一点是示性函数的取值应该为1,其次是尽可能大。由于是的单调减函数,所以的取值应该尽可能小,但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计(示性函数I= ,=min =max)7.4解:记随机变量x服从总体为,上的均匀分布,则 所以的矩估计为X的密度函数为故它的是似然函数为要使达到最大,首先一点是示性函数的取值应该为1,其次是尽可能大。由于是的单调减函数,所以的取值应该尽可能小,但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计7.5 解:似然函数为:它的对数为:对求偏导并令它等于零有 解得的似然估计值为 7.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知 (1) 故这四个估计都是的无偏估计.(2)故有 7.7证明(1)因为X服从上的均匀分布,故 故样本均值不是的无偏估计(2)由(1)可知的矩估计为 又 故它是无偏估计.7.8解;因为要使最小则对关于c求一阶导并令其等于零可得解得 因为对关于c求二阶导可得 故当时达到最小。7.9 解(1)根据题意和所给的数据可得,所以的置信区间为(2) 即所以的置信区间为7.10解:根据所给的数据计算: , 则X 和Y构成的总体的方差为 所以置信系数的置信区间为=-0.002,0.0067.11 解: 则比例p的区间估计为:=7.12 解:根据题意有, 则的置信区间为:
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