中考数学复习专题直线与圆锥曲线

知识结构图知识梳理1从几何的角度看，可以分：直线与圆锥曲线有两个不同公共点，仅有一个公共点，无公共点； 有两个公共点，就是相交，直线被圆锥曲线截得的线段称为曲线的弦； 仅有一个公共点，对于圆和椭圆来说，表示直线与其相切； 对于双曲线来说，表示直线与其相切或与渐近线平行； 对于抛物线来说，表示直线与其相切或平行于对称轴； 无公共点，就是相离；2从代数的角度看，将表示直线的方程代入到圆锥曲线的方程中，消去一个变元（或）后，得到方程； 若，当圆锥曲线是双曲线时，说明直线与其渐近线平行； 当圆锥曲线是抛物线时，说明直线与其对称轴平行； 若，记，则 ，说明直线与圆锥曲线相交； ，说明直线与圆锥曲线相切； ，说明直线与圆锥曲线相离；3斜率为的直线与圆锥曲线相交，将两者方程联立，消去，得到方程，则弦长公式为；4当过定点的直线斜率可能不存在时，为避免分类讨论，可以设斜率的倒数为，把直线方程写成；这种形式的方程能够表示斜率不存在的情形，但不能够表示斜率为的情形 此时同样代入圆锥曲线方程，消去，得到，弦长公式为5在计算圆锥曲线内接三角形面积时，我们常常用到下面这些计算公式：由三角形的面积容易推出圆锥曲线内接四边形的计算公式：（其中为对角线夹角）特别地，对角线互相垂直的四边形的面积为经典精讲直线与圆锥曲线的位置关系： 讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元（或），若消去得到，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注意的是： 二次项系数可能有或两种情况， （例外情形：当圆锥曲线为双曲线且直线平行于渐近线时，或者当圆锥曲线为抛物线且直线平行于对称轴时，二次项系数为）只有当，才能用判断根的个数； 直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切 在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍尖子班学案1【铺1】 若直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为_ 过定点且与双曲线的两支各有一个公共点的直线的斜率的取值范围_【解析】 且 考点：直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 过定点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有_条； 过点且与双曲线只有一个交点的直线有_条 已知两定点，若直线上存在点，使得，则该直线为“A型直线”给出下列直线，其中是“A型直线”的是 （2011年海淀一模文8）若直线被圆所截的弦长不小于2，则与下列曲线一定有公共点的是（ ）A B C D【解析】 ； B直线与圆锥曲线问题的基本方法：直线与圆锥曲线的问题尤其是相交问题，最基本的方法分为两种： 代入法； 即联立直线与圆锥曲线的方程，把直线的方程代入后者消去一个变元（通常是），得到关于的二次方程，二次方程的根即代表交点的横坐标，然后用韦达定理与坐标运算去求解交点的相关问题； 代入法的优点：适用性强，基本上对于任何问题都能适用； 代入法的缺点：通常计算量较大，当方程含参时，坐标运算比较复杂； 在与弦长有关的问题中，通常采用代入法 点差法： 以直线与椭圆相交为例，设出交点的坐标，由于这两者都满足椭圆方程，相减就得：，再利用平方差公式就得：若设的中点为，就得到了斜率与中点坐标的一个简单关系式：；这种方法称为点差法点差法的优点：计算量非常小；点差法的缺点：适用范围非常狭窄，通常只能用来解决中点弦问题，或者斜率与坐标和密切相关的问题；而且点差法的变换过程不是等价的，需要考虑是否有；在与中点弦有关而且不太需要交点坐标运算的问题中，可以考虑使用点差法考点：代入法与点差法【例2】 已知椭圆的右焦点为，过且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则弦长_ 直线与椭圆交于两点，的中点坐标为，则直线的方程是 的三个顶点都在抛物线上，点与原点重合，且三角形重心恰为抛物线的焦点，则三角形的周长是 经过抛物线上一点引两条直线和，与抛物线分别交于、两点，若与的斜率互为相反数，则直线的斜率为 【解析】 ； 考点：弦长问题【例3】 （2012石景山一模文19）已知椭圆（）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为 求椭圆的方程； 过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为，求直线的方程【解析】 椭圆方程为直线的方程为或目标班学案1【拓2】 （2012年东城二模文19）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是 求椭圆的方程； 过作两直线，交椭圆于，四点，若，求证：为定值【解析】 椭圆方程为 由知，当直线与轴重合时，此时，当直线不与轴重合时，设直线的方程为：由得： 由直线过椭圆内定点知一定有则有 在上式中用代换，同理可知 所以 综上，为定值 考点：面积问题【例4】 连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则的面积为（） 过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，则的面积为_ 已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于、两点则面积的最小值为_【解析】 B ； 【例5】 （2010丰台二模文20）已知椭圆经过点，过右焦点且不与轴重合的动直线交椭圆于、两点，当动直线的斜率为2时，坐标原点到的距离为 求椭圆的方程； 过的另一直线交椭圆于、两点，且，当四边形的面积时，求直线的方程【解析】 椭圆的方程为 直线的方程为或尖子班学案2【铺1】 若已知点，平行于的直线和椭圆交于、两个不同点，当面积取最大值时，求直线的方程【解析】 直线的方程为【例6】 （2012年西城二模文19）已知椭圆的离心率为，且经过点 求椭圆的方程； 过点的直线交椭圆于，两点，求（为原点）面积的最大值【解析】 椭圆的方程是 面积取得最大值【点评】本题求面积也可以用传统面积公式点到直线的距离，弦长，【备选】（2010年朝阳一模文19）已知椭圆的左右焦点分别为，在椭圆中有一内接三角形，其顶点的坐标，所在直线的斜率为 求椭圆的方程； 当的面积最大时，求直线的方程【解析】 椭圆的方程为 直线的方程为过定点的直线与抛物线相交所得的弦长为，求直线的方程【解析】 错解：设直线的斜率为，直线的方程可以写成，与抛物线方程联立消去，得：恒成立；然后得弦长化简得，即，；所以直线方程为，即【点评】 上面的误解中，设直线斜率时没有讨论斜率是否存在；若斜率不存在，则直线方程为，与抛物线的两个交点为，弦长正好也为，所以满足题意的直线有两条：或者在设直线方程时，如果是用点斜式或者斜截式，一定要讨论斜率是否存在真题再现（2011北京文19）已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点为 求椭圆的方程； 求的面积【解析】 椭圆的方程为 的面积实战演练【演练1】若直线和圆：仅有一个交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为_【解析】 或【演练2】已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点设，则与的比值等于 【解析】【演练3】已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段 的中点为，则的面积等于 【解析】【演练4】已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）A B C D【解析】 B【演练5】（2011西城一模文19）已知抛物线的焦点为，直线过点 若点到直线的距离为，求直线的斜率； 设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值【解析】 的斜率为 设线段中点的坐标为；因为不垂直于轴，则的斜率为，直线的斜率为；但另一方面，；，；即中点的横坐标恒为定值【演练6】已知椭圆的离心率为，、为左右焦点，点是椭圆上位于第一象限的点，且满足轴，直线交椭圆于点，若的面积为，求椭圆的方程【解析】 椭圆方程为大千世界（2007上海交大自主招生考试）已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的距离最短时点的坐标【解析】 如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为；过分别作准线的垂线，垂足为；则 等号成立当且仅当共线，即过焦点 设此时的方程为，与抛物线方程联立得， ，； 点的坐标为请关注掌上名师微信公众号，更多高中数学，物理免费视频课程和高考资讯23