函数的定义及性质专题复习

高中数学必修1知识点总结【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集或把看成一个整体，化成，型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根（其中无实根的解集或的解集1.2函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么叫做集合到的一个函数，记作函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：是整式时，定义域是全体实数是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1中，零（负）指数幂的底数不能为零若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数yxo对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减（2）打“”函数的图象与性质分别在、上为增函数，分别在、上为减函数（3）最大（小）值定义 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有； （2）存在，使得那么，我们称是函数的最大值，记作【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）若函数为奇函数，且在处有定义，则奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域； 化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； 画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换伸缩变换 对称变换 函数的定义及性质专题复习一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域： （4）； （5）.2、设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数的定义域为_； 3、若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。二、求函数的值域5、求下列函数的值域： 三、求函数的解析式1、 已知函数，求函数，的解析式。2、已知函数满足，则= 。3、设是R上的奇函数，且当时，则当时=_ _ 在R上的解析式为 四、求函数的单调区间7.已知函数，.（1）求，的单调区间； （2）求，的最小值.五、判断函数的奇偶性（1）； （2） （3）； （4）.六、综合题一、选择题：1、若，则 （ ）A、2 B、4 C、 D、102、函数的定义域是（ ）3、下列各组函数是同一函数的是（ ）（1）与(2)与（3）与A、 B、 C、 D、4、函数是（ ） A、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B、奇函数，且在(0，1)上是减函数C、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D、偶函数，且在(0，1)上是减函数5、下列函数是奇函数的是（ ） A B C D4、二次函数的对称轴为，则当时，的值为 （ ）A、 B、1 C、17 D、256、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ）（1）（2）（3）（4）A、（1） B、（1）、（3）、（4） C、（1）、（2）、（3） D、（3）、（4）7、已知f（x）=g（x）+2，且g(x)为奇函数，若f（2）=3，则f（-2）= 。A 0 B-3 C1 D38、是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A、 B、 C、 D、9、如果函数在区间上是减少的，那么实数的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、 10、设函数是上的减函数，则有 （ ）A、 B、 C、 D、11、定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立，则必有（ ）A、函数是先增加后减少 B、函数是先减少后增加C、在上是增函数 D、在上是减函数12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。（1）（2）（3）（4）时间时间时间时间离开家的距离离开家的距离离开家的距离离开家的距离A、（1）（2）（4） B、（4）（2）（3） C、（4）（1）（3） D、（4）（1）（2）13、已知f（x）=，则f f (-3)等于 A、0 B、 C、2 D、9来源:学+科+网14、已知函数是上的增函数，是其图像上的两点，那么的解集是（ ）AB C D15、已知函数在区间上不具有单调性，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、源:学+科+网二、填空题：1、已知，则 .2、已知，则 .3、函数 ，若，则= 4、函数在上的最大值是 ，最小值是 5已知函数，则的值域为 6、若函数在上是单调增函数，则的取值范围是 7、若函数是奇函数，则 8、已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围 9、偶函数的图像关于对称，则 10、已知函数是定义在上的奇函数，当时，则 11、已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则 12、已知函数定义在上的减函数，且函数图像经过点，则该函数的值域是 三、解答题：1已知函数， （1）求的值； （2）求的值2、已知函数.求，的值.3、已知在定义域上是减函数，且，求的取值范围。4、画出函数的图象5、求下列函数的定义域：（1）； （2）；（3）； （4）6若，且，求的值7、证明：函数是偶函数，且在上是增函数。8、设与的定义域是， 是偶函数，是奇函数，且，求与 的解析表达式。9、对于二次函数，（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；（2）求函数的最大值或最小值；（3）分析函数的单调性。10、设函数是定义在上的减函数，并且满足，（1）求的值， （2）如果，求的取值范围。答案一、选择题：ABCDA BCDAB CD二、填空题：13、24 14、15、 16、17、18、三、解答题：19、在作用下的像是；在作用下的原像是20、略21、（1）开口向下；对称轴为；顶点坐标为；（2）其图像由的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到；（3）函数的最大值为1；（4）函数在上是增加的，在上是减少的。22、解：（1）令，则，（2） ，又由是定义在R上的减函数，得： 解之得：。9