斐波那契数列算法分析报告

Word 格式斐波那契数列算法分析背景：假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1 对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有 2 对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3 对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；如此这般计算下去，兔子对数分别是： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89,144,. 看出规律了吗？从第3 个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。这就是著名的斐波那契（Fibonacci ）数列。有趣问题：1，有一段楼梯有10 级台阶 ,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10 级台阶有几种不同的走法 ?答：这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种方法所以，1， 2， 3， 5 ， 8， 13登上十级，有89 种。2，数列中相邻两项的前项比后项的极限是多少，就是问，当n 趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？答： 这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+ 5)/2 ，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。数学表示：Fibonacci 数列的数学表达式就是：F(n) =F(n-1) + F(n-2)F(1) =1F(2) =1递归程序 1：Fibonacci 数列可以用很直观的二叉递归程序来写，用C+ 语言的描述如下：longfib1(intn)if (n =2)return1;完美整理Word 格式elsereturn fib1(n-1) +fib1(n-2);看上去程序的递归使用很恰当，可是在用 VC2005 的环境下测试 n=37 的时候用了大约3s，而 n=45的时候基本下楼打完饭也看不到结果 显然这种递归的效率太低了！递归效率分析：例如，用下面一个测试函数：longfib1(intn, int*arr)arrn+;if (n =2的时候我们分析可知：T(N)=T(N-1) + T(N-2)+ 2而 fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) ，所以有 T(N) = fib(n) ，归纳法证明可得：fib(N)4时， fib （N ）=(3/2)N标准写法：显然这个 O（(3/2)N） 是以指数增长的算法，基本上是最坏的情况。完美整理Word 格式其实，这违反了递归的一个规则：合成效益法则。合成效益法则（ Compoundinterest rule ）：在求解一个问题的同一实例的时候，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。所以在上面的代码中调用fib(N-1) 的时候实际上同时计算了fib(N-2) 。这种小的重复计算在递归过程中就会产生巨大的运行时间。递归程序 2：用一叉递归程序就可以得到近似线性的效率，用C+ 语言的描述如下：longfib(intn, longa, longb, intcount)if (count=n)returnb;returnfib(n,b, a+b,+count);longfib2(intn)returnfib(n,0,1, 1);这种方法虽然是递归了，但是并不直观，而且效率上相比下面的迭代循环并没有优势。迭代解法：Fibonacci 数列用迭代程序来写也很容易，用C+ 语言的描述如下：/ 也可以用数组将每次计算的f(n) 存储下来，用来下次计算用（空间换时间）longfib3(intn)longx =0,y =1;for(intj =1; j n; j+)y =x + y;x =y - x;returny;这时程序的效率显然为O（N）， N = 45 的时候 =2)可以将它写成矩阵乘法形式：将右边连续的展开就得到：下面就是要用O(log(n)的算法计算：显然用二分法来求，结合一些面向对象的概念，C+ 代码如下：class Matrixpublic :longmatr22;Matrix( const Matrix&rhs);Matrix( longa, longb, longc, longd);Matrix&operator =( const Matrix&);friendMatrixoperator *( const Matrix&lhs, const Matrix&rhs)Matrixret(0,0,0,0);ret.matr00=lhs.matr00*rhs.matr00+lhs.matr01*rhs.matr10;ret.matr01=lhs.matr00*rhs.matr01+ lhs.matr01*rhs.matr11;ret.matr10=lhs.matr10*rhs.matr00+ lhs.matr11*rhs.matr10;ret.matr11=lhs.matr10*rhs.matr01+lhs.matr11*rhs.matr11;returnret;Matrix:Matrix(longa,long b, long c, long d)this-matr00=a;this-matr01=b;this-matr10=c;this-matr11=d;完美整理Word 格式Matrix:Matrix(constMatrix &rhs)this-matr00=rhs.matr00;this-matr01=rhs.matr01;this-matr10=rhs.matr10;this-matr11=rhs.matr11;Matrix&Matrix:operator=( constMatrix&rhs)this-matr00=rhs.matr00;this-matr01=rhs.matr01;this-matr10=rhs.matr10;this-matr11=rhs.matr11;return * this;Matrixpower( const Matrix&m,intn)if (n =1)returnm;if (n%2=0)returnpower(m*m,n/2);elsereturnpower(m*m,n/2)* m;longfib4(intn)Matrixmatrix0(1,1, 1, 0);matrix0=power(matrix0,n-1);returnmatrix0.matr00;这时程序的效率为O （log(N) ） 。完美整理Word 格式公式解法：在 O（1）的时间就能求得到F(n) 了：注意：其中 x 表示取距离x 最近的整数。用 C+ 写的代码如下：longfib5(intn)doublez =sqrt(5.0);doublex =(1 +z)/2;doubley =(1 - z)/2;return(pow(x,n) - pow(y,n)/z+0.5;这个与数学库实现开方和乘方本身效率有关的，我想应该还是在O(log(n)的效率。总结：上面给出了5 中求解斐波那契数列的方法，用测试程序主函数如下：intmain()coutfib1(45)endl;coutfib2(45)endl;coutfib3(45)endl;coutfib4(45)endl;coutfib5(45)endl;return0;函数 fib1 会等待好久，其它的都能很快得出结果，并且相同为：1134903170 。而后面两种只有在n =1000000000的时候会显示出优势。由于我的程序都没有涉及到高精度，所以要是求大数据的话，可以通过取模来获得结果的后4 位来测试效率与正确性。另外斐波那契数列在实际工作中应该用的很少，尤其是当数据n 很大的时候（例如：1000000000 ），所以综合考虑基本普通的非递归O(n) 方法就很好了，没有必要用矩阵乘法。完美整理Word 格式1、 N 皇后问题算法设计ALGORITHMprocedure PLACE(k)/ 如果一个皇后能放在第k 行的 X(k) 列，则返回 true ；否则返回false。 X 是一个全程数组，进入此过程时已置了k 个值。 /global X(1 ：k) ； integer i ， ki 1while i0 do/ 对所有的行执行以下语句/X(k) X(k)+1/ 移到下一列 /While X(k) n and not PLACE(k)doX(k) X(k) 十 l; /如果第 k 个皇后的列X(k) 不合理，就看下一列/if X(k) n/ 找到一个位置/then if k=n/ 是一个完整的解吗/then print(X)/ 是，打印这个数组/elsek k+1； X(k) 0 ； endif/ 扩展，搜索下一个皇后/else kk 1/ 回溯 /endifend NQUEENSProgram :#include完美整理Word 格式#includeint k=0,a20,j=1,flag,n,c=0;/k为解的个数 ,n 为皇后的个数 ,flag 标记有没有放置皇后void lycQueen()/递归求解函数int i,h;/i为行号 ,h 为列号for(h=1;h=n;h+)aj=h;for(i=1;ij;i+)/将第 j 个皇后的位置依次跟前面j-1 个皇后比较if(ai=aj|abs(aj-ai)=abs(j-i) flag=0;break;/两个皇后在同一行或者同一对角线上,冲突else flag=1;/ 没冲突 , 放置一个皇后/forif(flag=0&aj!=n) continue;/没试探完 ,继续试探if(flag=1&j=n)/放置完 n 个皇后 ,得到一个解k=k+1;c=1;/解的个数加1for(i=1;i=n;i+)printf(%d ,ai);/输出第 i 个皇后放置的行号printf(n);if(aj = n)flag = 0;/ifif(flag=1&j!=n)j+;lycQueen();/递归调用if(flag=0&aj=n)j-;/回溯 , 退回去重新试探/for/lycQueenvoid main()int i;printf( 请输入皇后的个数:);scanf(%d,&n);/输入皇后的个数nj=1;for(i=1;i=n;i+)aj=i;j=j+1;lycQueen();/调用 lycQueen 函数if(c=1) j=1;/forprintf( 解的个数为 %d 个n,k);/main欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！让我们共同学习共同进步！学无止境. 更上一层楼。完美整理