46.菱形提高知识讲解

菱形（提高）【学习目标】1.理解菱形的概念.2.掌握菱形的性质定理及判定定理【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释： 菱形的定义的两个要素：是平行四边形. 有一组邻边相等. 即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1. 菱形的四条边都相等；2. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3. 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心 .要点诠释：（ 1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（ 2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半 .（ 3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题 .要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形 .要点诠释： 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质后一种方1、如图所示，菱形 ABCD中， E、F 分别是 BC、CD上的点， B EAF 60， BAE 18求 CEF的度数【思路点拨】 由已知 B 60， BAE 18，则 AEC 78欲求 CEF 的度数，只要求出 AEF 的度数即可，由 EAF 60，结合已知条件易证 AEF 为等边三角形，从而 AEF 60【答案与解析】解：连接AC四边形 ABCD是菱形， AB BC， ACB ACF又 B 60， ABC是等边三角形 BAC ACB 60， AB AC ACF B 60又 EAF BAC 60BAE CAFABE ACF AE AF AEF为等边三角形 AEF 60又 AEF CEF B BAE， BAE 18，CEF 18【总结升华】 当菱形有一个内角为 60时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB 的中点 E 作 AC的垂线 EF，交 AD于点 M，交 CD的延长线于点 F(1) 求证： AM DM；(2) 若 DF 2，求菱形 ABCD的周长【答案与解析】证明： (1) 连接 DB，则由菱形性质得BD AC又因为 EF AC，所以 EFBD，即 ME BD又因为点E 是 AB的中点，所以点M是 AD的中点所以 AM DM(2) 由 (1) 得 DBEF又 BE DF，所以四边形EFDB是平行四边形所以BE DF 2又因为 BE1AB ，即 AB 2BE2 2 42所以菱形ABCD的周长为4 4 16【总结升华】菱形四边相等，对角线互相垂直平分.举一反三：【变式】（2015 春 ?潍坊期中）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O，E 是 AB 的中点，如果 EO=2 ，求四边形 ABCD 的周长【答案】解：四边形ABCD 为菱形，BO=DO ，即 O 为 BD 的中点，又 E 是 AB 的中点，EO 是 ABD 的中位线， AD=2EO=2 2=4，菱形 ABCD 的周长 =4AD=4 4=16类型二、菱形的判定3、（ 2014 春?郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC 中， BC=6cm ，射线 AG BC，点 E 从点 A 出发沿射线AG 以 lcm/s 的速度运动，同时点F 从点 B 出发沿线射BC 以 2cm/s的速度运动，设运动时间为t（ s）（1）连接 EF，当 EF 经过 AC 边的中点D 时，求证： ADE CDF ；（2）当 t 为多少时，四边形ACFE 是菱形【思路点拨】 （1）由题意得到AD=CD ，再由 AG 与 BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证；（2）若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6【答案与解析】（1）证明： AG BC ，由E 的速度求出E 运动的时间即可 EAD= DCF ， AED= DFC ，D 为 AC 的中点，AD=CD ，在 ADE 和 CDF 中， ADE CDF（ AAS ）；（ 2）解： 若四边形 ACFE 是菱形，则有 CF=AC=AE=6 ，则此时的时间t=6 1=6（ s）故答案为： 6s【总结升华】 此题考查了菱形的判定， 全等三角形的判定与性质等知识， 弄清题意是解本题的关键 .举一反三：【变式】已知，在 ABC中， AB AC a ， M为底边 BC上任意一点，过点 M分别作 AB、 AC 的平行线交 AC于 P，交 AB 于 Q.求四边形AQMP的周长；M位于 BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（ 1） MQ AP，MP AQ，四边形AQMP是平行四边形QM AP又 AB AC， MP AQ， 2 C， PMC是等腰三角形，PMPCQM PMAP PCAC a四边形AQMP的周长为2 a（ 2） M位于 BC的中点时，四边形AQMP为菱形 .M位于 BC的中点时 , 易证 QBM与 PCM全等 ,QM PM,四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中， AB 4， ABC 60， EAF 60， EAF的两边分别交 BC、 CD于 E、 F(1) 当点 E、 F 分别在边 BC、 CD上时，求 CECF 的值(2) 当点 E、F 分别在 CB、DC的延长线时， CE、CF 又存在怎样的关系， 并证明你的结论【思路点拨】 ( 1) 由菱形的性质可知 AB BC ，而 ABC 60，即联想到 ABC 为等边三角形， BAC 60，又 EAF 60，所以 BAE CAF ，可证 BAE CAF ，得到BE CF，所以 CE+CF BC ( 2) 思路基本与 ( 1) 相同但结果有些变化【答案与解析】解： (1) 连接 AC在菱形 ABCD中， BC AB 4， ABCDABC 60，AB ACBC， BAC ACB 60ACF 60，即 ACF BEAF 60， BAC 60，BAE CAFABE ACF(ASA)， BE CF CE CF CE BE BC4(2)CE CF 4连接 AC如图所示BAC EAF 60，EAB FACABC ACD 60，ABE ACF 120 AB AC， ABE ACF(ASA)， BE CF CE CF CE BE BC4【总结升华】(1) 菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等 (2) 注意菱形中的 60角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系