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18.2.2 菱 形 第1课时,【基础梳理】 一、菱形的定义 有一组_相等的平行四边形是菱形.,邻边,二、菱形的性质 1.菱形的四条边_. 2.菱形的两条对角线_,并且每一条对角线平 分一组_. 3.菱形是轴对称图形,_所在的直线就是它的对 称轴.,都相等,互相垂直,对角,对角线,【自我诊断】 (1)菱形的对角线互相垂直且相等. ( ) (2)菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形. ( ) (3)在菱形ABCD中,AB=5cm,则此菱形的周长为 ( ) A.5cm B.15cm C.20cm D.25cm,C,(4)如图,菱形ABCD的周长是16,A=60,则对角线BD 的长度为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4,C,知识点一 菱形的性质 【示范题1】(2017广东中考)如图所示,已知四边形 ABCD,ADEF都是菱形,BAD=FAD,BAD为锐角. (1)求证:ADBF. (2)若BF=BC,求ADC的度数.,【思路点拨】(1)连接DB,DF.根据菱形四边相等得出 AB=AD=FA,再利用SAS证明BADFAD,得出DB=DF,那 么D在线段BF的垂直平分线上,又AB=AF,即A在线段BF的 垂直平分线上,进而证明ADBF. (2)设ADBF于H,作DGBC于G,证明DG= CD.在直角 CDG中得出C的度数,再根据平行线的性质即可求出 ADC的度数.,【自主解答】(1)如图,连接DB,DF.四边形ABCD,ADEF 都是菱形,AB=BC=CD=DA,AD=DE=EF=FA. 在BAD与FAD中,BADFAD,DB=DF,D在线段BF的垂直平分线 上,AB=AF,A在线段BF的垂直平分线上,AD是线段 BF的垂直平分线,ADBF. (2)如图,设ADBF于H,作DGBC于G, 则四边形BGDH是矩形,DG=BH= BF. BF=BC,BC=CD,DG= CD.,在直角CDG中,CGD=90,DG= CD,C=30, BCAD,ADC=180-C=150.,【备选例题】(2016安顺中考)如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB=4,点E,F分别是BC,AD的中点. (1)求证:ABECDF. (2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积.,【思路点拨】(1)先根据平行四边形的性质得到证明三角形全等的条件,然后根据SAS证明两个三角形全等. (2)根据菱形的四条边相等得到ABE为等边三角形,且边长为2,然后根据勾股定理求出其高,进而根据菱形的面积公式计算.,【自主解答】(1)四边形ABCD为平行四边形, AB=CD,B=D,BC=AD, E,F分别是BC,AD的中点, BE=DF,在ABE和CDF中,(2)当四边形AECF为菱形时,ABE为等边三角形,且 BE=2,如图,过点A作AMBE于M,则 , 菱形AECF的面积为,【微点拨】 菱形的“边”与“对角线” 边:菱形的一个突出特点是“四条边相等”,由此可知菱形与一般平行四边形的不同之处:邻边相等;周长是边长的4倍.在解决与菱形有关的线段长问题中,常常用到这两个结论.,对角线:菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形;菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,因此由两条对角线的长可求菱形的面积,结合勾股定理可求边长或对角线的长.,知识点二 菱形性质的实际应用 【示范题2】如图,四边形ABCD是一个菱形绿草地,其周 长为40 m,ABC=120,在其内部有一个矩形花坛 EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边中点, 现准备在花坛中种植茉莉花,其单价为 30元/m2,则需投资资金多少元?( 取1.732),【思路点拨】根据菱形的性质,先求出菱形的一条对角线,由三角形的中位线定理,求出矩形的一条边,同理求得另一边,再求出矩形的面积,最后求得投资资金.,【自主解答】连接BD,如图: ABC=120,A=60, ABD为等边三角形, 菱形的周长为40 m,菱形的边长为10 m, BD=10 m,EH=5 m, 同理求出EF=5 m, S矩形=50 m2, 则需投资资金50 30=15001.7322598元.,【微点拨】 利用菱形的性质解决问题的方法 利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题.,【纠错园】 如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是BC,CD上的点,B= EAF=60,BAE=18,求CEF的度数.,【错因】本题在利用菱形性质证明AEF是等边三角 形时,只根据EAF=60,就说明AEF是等边三角形, 条件不足,应先证明AE=AF,才能得出AEF是等边三角 形.,
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