概率知识总结与测验

第四章概率一、知识网络事件确定事件不确定事件必然事件不可能事件游戏公平游戏不公平游戏概率模型通过计算概率作出正确的决策概率二、知识要点1确定事件发生的可能性在某一条件下，事件发生的可能性是有大小的.不可能事件是永远不会发生的事件，其发生的可能性为0；必然事件是在一定的条件下必然发生的事件，其发生的可能性是100%.2不确定事件发生可能性不确定事件发生的可能性是不确定的，一个不确定事件发生的可能性可以用0到1之间的数表示.对于一个不确定事件，我们可以通过大量的试验来探究其发生可能性.根据不确定事件发生可能性，不确定事件又可分为很可能发生事件（发生的可能性很大）；可能发生事件（有一定的发生可能性）；不太可能发生事件（发生的可能性较小）.很可能发生事件只是发生的可能性非常大，但其发生的可能性不是1；不太可能发生事件虽然发生的可能性相当小，但其发生的可能性不是0.3频率与可能性 试验是估计可能性的一种方法.通过试验的方法用频率估计可能性应注意以下几点：（1）通过试验的方法用频率估计可能性，试验要在相同的条件下进行，否则结果可能会受到影响.（2）通过试验，用频率估计可能性，需要经过多次的试验，当频率逐渐稳定时，用稳定时的频率值估计可能性.4游戏的公平与不公平一个公平的游戏应该是游戏的双方获胜的可能性相同，不公平的游戏是指游戏双方或获胜的可能性不同.较简单的游戏可以从通过分析的方法判断其是否公平；对于比较复杂且比较难判断公平性的游戏，我们可以通过做试验的方法来确定其公平性.5两种模型的概率 （1）等可能性事件的概率： 在一次试验中，如果不确定现象的可能结果只有有限个，且每一个结果都是等可能的，求这种类型事件的概率称为等可能事件的概率型.如摸球、掷硬币、掷骰子等都属于等可能性. 在等可能事件中， 如果所有等可能的结果为n，而其中所包含的事件A可能出现的结果数是m，那么事件A的概率P（A）=.（2）区域事件发生的概率：在与图形有关的概率问题中，概率的大小往往与面积有关，这种类型的概率称为区域型概率.在区域事件中，某一事件发生的概率等于这一事件所有可能结果组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积.如P（小猫停留在黑砖上）=.6利用概率解决实际问题 用概率来解释生活中的实际问题的关键是能够准确计算出事件发生的概率，再结合事件发生的等可能性加以判断说明.三、典型例析1游戏是否公平解决问题的关键都是看游戏双方获胜的概率是否相同. 例1 有两套分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字的卡片，小明和小亮各自从一套卡片中，任意摸出两张，按照下列的游戏规则做游戏，请你判断是否公平.如果不公平，你认为偏向了哪一方？（1）小明摸到的卡片上的数字都是偶数为胜，小亮摸到的卡片上的数字都是奇数为胜.（2）若把两套卡片中的6都拿去，（1）的结论有什么变化？解：(1)因为P(小明获胜)=,P(小亮获胜)=, P(小明获胜)=P(小亮获胜),所以游戏公平.(2) P(小明获胜)=, P(小亮获胜)=, P(小明获胜)P(小亮获胜),所以游戏不公平.偏向小亮.例2 小明、小华用牌面数字分别为1、2、3、4的4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面，若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数，则小明获胜；反之，小华获胜；这个游戏公平吗？请说明理由.解：这个游戏不公平.理由：因为一次抽出两张牌的组合共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）六种情况.其中有4组中两个数的和是奇数，所以P(小明获胜)=,P(小华获胜)=,所以这个游戏不公平.2. 概率的计算计算概率主要有两种类型,一类是摸球型概率的计算;二是与图形有关的概率计算,解决概率的计算问题,关键是掌握概率的意义以及计算的方法.例3 (2006年无锡市中考试题) 在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，它们除颜色不相同外，其余均相同若把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是.分析:本题是一道与摸球有关的概率计算试题,因为袋子中共有4个球,每个球被摸到的可能性相同,所以共有四种情况,而摸到红球可能有3种,所以 摸到红球的概率是. 例4 某商场利用转盘进行有奖促销活动,转盘扇形区域的圆心角及奖品设置如下:特等奖一等奖二等奖三等奖鼓励奖圆心角1106090199奖品冰箱彩电学习机自行车笔记本小英有一次转盘的机会,能奖学习机的概率是_.分析:本题是一道转盘游戏有关的概率计算试题,观察表格信息可知,当转盘停止后,指针停止在60的扇形区域内,可以获得学习机.本题即计算指针停留在60扇形区域上的概率.解:P(奖学习机的概率)=例5（2006年吉林）口袋中有张完全相同的卡片，分别写有，和，袋外有张卡片，分别写有和现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题：（1）求这三条线段能构成三角形的概率；（2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率分析：由于口袋中有张完全相同的卡片，随机从袋内取出一张卡片，则每张卡片被抽到的机会是相同的，用抽到的卡片上的数量与和组合，共有5种可能的情况：1cm，； 2cm，4cm，5cm；3cm，4cm，5cm；4cm，4cm，5cm；5cm，4cm，5cm.其中能构成三角形的有2cm，4cm，5cm；3cm，4cm，5cm；4cm，4cm，5cm；5cm，4cm，5cm四种；能构成等腰三角形的有4cm，4cm，5cm；5cm，4cm，5cm.解：（1）P(能构成三角形)=；（2）P(能构成等腰三角形)=.3.概率的应用 所谓概率的应用,就是通过计算某些事件概率来解决实际问题,作出正确决策.例6(2006年贵州遵义中考试题) 一商场有A、B、C三种型号的甲品牌DVD和D、E两种型号的乙品牌DVD.某中学准备从甲、乙两种品牌的DVD中各选购一种型号的DAD安装到各个教室.（1）写出所有的选购方案；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号DVD被选中的概率是多少？分析：从甲、乙两种品牌的DVD中各购买一台，因为甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，所以共有以下六种可能：（A，D），（B，D），C，D），（A，E），（B，E），（C，E），其中含有A的有两种可能，由此可以求出A型号DVD被选中的概率.解：（1）选购的方案有：（A，D），（B，D），C，D），（A，E），（B，E），（C，E）.（2）A型号DVD被选中的概率P=.例7、转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6；（1）若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？ （2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为。 分析：要计算指针停止后，指针指向奇数区域的概率，因为转盘被等分成六个扇形，其中三个扇形中分别含有奇数1，3，5，所以指针指向奇数区域的概率为.要设计指针指向的区域的概率为，只要把其中的四个区域涂上阴影，则指针指向阴影部分的概率即为 解：（1）P（指针指向奇数区域）=.（2）把其中的四个区域涂上阴影，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向阴影部分区域的概率为 例8(2006年辽宁大连)小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1,2,3,4,5,6的正六面体骰子的质量是否合格,在相同的条件下,同时抛两枚骰子20000次,结果发现两个朝上面的点数和是7的次数为20次,你认为这两枚骰子质量是否都合格(合格标准为:在相同条件下抛骰子时,骰子各个面朝上的机会相等)?并说明理由.分析：要判断两枚骰子质量是否合格，根据合格标准为:在相同条件下抛骰子时,骰子各个面朝上的机会相等，只要看试验20000次得到和为7的频率是否稳定于理论机会.如果相等，则说明两枚骰子的质量合格；否则，两枚骰子的质量不合格.解:两枚骰子质量都不合格.因为同时抛两枚骰子两个朝上点数和有以下几种情况:2、3、4、5、6、7、3、4、5、6、7、4、5、6、7、8、9、5、6、7、8、9、10、6、7、8、9、10、11、7、8、9、10、11、12.所以出现两个面朝上面的点数和为7的概率为0.167.试验20000次出现两个面朝上点数和为7的频率为因为大数次试验的频率非常接近概率.而0.001和0.167相差很大，所以两枚骰子质量都不合格.概率测试题一、填空（每题分，计分）抛掷一枚伍角的硬币，印有国徽一面朝上的概率是；瓶装的啤酒中有瓶有奖，则（摸出有奖）；盒子里放有个黑球和个红球，它们除了颜色不同外，其余都相同甲、乙、丙三人规定每人摸出一球，摸到红球者算胜如果摸球顺序按先甲，后乙，最后轮到丙进行，那么这种游戏公平吗？答：（填公平或不公平）；糖果谢谢铅笔糖果在第题中，三人中有一人摸到红球是事件（填必然或不可能或不确定）；如图是商场里为了招揽生意，设立的有奖转盘，转盘被分成相同的四部分当转动的盘子静止后，顾客就可以得到指针所指的奖品凡购买元的商品，便有一次转盘的机会，小颖购买了元的商品，获得了一次转盘的机会，则（获得铅笔）（填“”或“”）；小明从一副扑克牌中随意抽出一张，则（抽到老）；抽屉里有只黑色和只白色的袜子，它们混在一起，随意抽出两只刚好配成一双的概率是；小猫在如图所示的地板砖上随意地走来走去，然后随意停留在某块砖上，则（停在三角形砖上）；随意抛掷两个均匀的骰子，（朝上面的点数之和为）；为迎接新年，学校准备了外观一样的个红包，里边装有元的个，元的个，则（摸到元）比（摸到元）多；二、选择题（每题分，计分）三双白色的袜子和双黑色的袜子均混合在一起，随机摸出三只能够配成同色的一双是（）不可能事件；不确定事件；必然事件；以上都不是甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了张从到的牌，并规定如果甲抽到到的牌，那么算甲胜；如果抽到是以下的牌，则算乙胜这种游戏对甲、乙来说，正确的说法是（）甲乙丙丁是公平的；不公平，甲胜的机会大些；不公平，乙胜的机会大些；无法确定某农夫在如图甲，乙，丙，丁四块田里插秧时，不慎将手表丢入土里，直到收工时才发现，则手表丢在哪一块田里的可能性大些？（）甲；乙；丙；丁袋子里装有红球个，黑球若干个经测验知道摸出红球的概率为，则黑球的个数是（）；小明和小颖玩抛掷硬币游戏，他们在硬币的正面涂上红色，背面涂上白色，每次抛掷三枚，如果面朝上的是枚或枚红色的，则算小明输，小颖赢；如果面朝上的是枚或枚白色的，则算小明赢，小颖输这种游戏对小明和小颖来说，正确的说法是（）是公平的；不公平，小明输的机会较大；不公平，小颖输的机会较大；不能确定一种转盘游戏，每转一次赢得奖品的概率是，小明转了次，他获得奖品的概率是（）；一种彩票每发行百万张设特等奖名，小新的爸爸中了特等奖，人们对他购买彩票的张数说三道四，其中说法正确的是（）起码买了几十万张；起码买了几万张；起码买了几千张；有可能只买一张甲乙两人在玩抛掷硬币游戏，每次抛出枚，规定如果两枚硬币都是正面朝上，那么甲得分，否则乙得分，最后以得分多的为胜如此游戏对两人来说，正确的是（）是公平的；甲获胜的机会大；乙获胜的机会大；不能确定下列事件为必然事件的是（）日的明天是日；冬天哈尔滨会下雪；星期天没人在读书；老师不会做错题抛掷一颗正方体骰子朝上一面出现数字“”的概率是，那么同时抛掷颗这样相同的骰子，朝上一面至少有一个出现数字“”的概率是（）；三、解答题（每题分，计分）一个正方体骰子，其中一个面上标有“”，两个面上标有“”，三个面上标有“”，求将这个骰子掷出后：（）“”朝上的概率；（）朝上概率最大的数；（）如果规定朝上的数为或时，甲胜；朝上的数为时乙胜，则甲、乙谁获胜的机会大些？袋子里装有红球个，黑球若干个经测验知道摸出黑球的概率为，求黑球的个数甲、乙两人玩一种赌博游戏，他们设置大小一样，编号依次从到的个小球，由甲随意摇出一球，然后让乙猜测如果乙猜对了，甲付给乙元；如果乙猜错了，则乙输给甲元请你用学过的概率知识，分析一下甲、乙两人谁获胜的机会大些？小明、小亮和小新三人在玩摸球游戏，他们轮流从一只口袋里各摸出一个球，结果发现摸出红球的概率是，摸出蓝球的概率是，摸出白球的概率是已知口袋里红球的个数是个，为了使摸出各色球的概率相同，小明建议说应再分别放入不等的各色球才能使摸出各色球的概率相同；小亮说能再放入的红球只有只；小新说蓝球虽然还有很多，但白球却只剩个请你设计一个满足他们三人要求的方案，并且使口袋里的球尽可能多阅读以下故事，回答后面问题：话说某村子里有一座关帝庙，庙里供奉着一樽关二爷雕像，据老人们说关二爷非常灵验，有求必应因此，慕名而来抽签卜挂的善男信女络绎不绝，村子里凡难于决断的大事小事，人们也总是喜欢到庙里烧上三拄香，请关二爷定夺话说这一日，为了人们赶庙会时出入的方便，有人建议在庙宇的围墙北面再放一个偏门，但同时也有人担心这样会破坏庙宇的风水，一时间公说公有理，婆说婆有理，双方争执不下，大家自然一致想到请关二爷定夺按照习惯，争议双方到关二爷面前，请村里的长辈点上三根香，拿出两块一模一样、十分精致的竹板，竹板只有正面和反面之分，然后口中念道：关二爷在上，弟子今有一事不明，恭请关二爷定夺如果可以放个北门请关二爷连允三次（如果竹板落地后一个正面朝上反面朝上，则称为允，否则称为不允）（）请你先算一算：关二爷允许的概率有多大？（）由于村里大多数人都认为放这个北门十分必要的，但老人们还是坚持要让关二爷定夺，你有什么方法能提高关二爷允许的概率？ 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