高中数学联赛之初等几何

初等几何的精讲与习题讲解直线1.直线的方程(1)一般式：适用于所有直线Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)(2)点斜式：知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0) 当k不存在时，直线可表示为x=x0(3)斜截式：在y轴上截距为b（即过(0,b)），斜率为k的直线由点斜式可得斜截式y=kx+b(4)截矩式:不适用于和任意坐标轴垂直的直线知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为bx+ay-ab=0特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=1(5)两点式，过(x1,y1)(x2,y2)的直线(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)（斜率k需存在）(6)法线式Xcos+ysin-p=0其中p为原点到直线的距离，为法线与X轴正方向的夹角2.直线与一次函数一次函数y=kx+b(xR,kR,bR,yR)的图象是一条直线,其与y轴交于(0,b),与x轴交于(-b/k,0)仰角(与x轴正半轴的交角(0,)满足(1)当(0,/2)时,=arctan k(2)当(/2,)时,= + arctan k三角形面积公式的应用与探究 设ABC的三边为a，b，c，由解直角三角形易得三边上的高ha，hb，hc，根据面积公式，可以推导出另一面积公式. 由此式，可以直接计算已知两边及夹角的三角形面积，并解决一些与面积相关的问题. 一、应用面积公式，推导正弦定理例1设ABC的三边为a，b，c，求证：.证明：由三角形面积公式，得到，即.上式同时除以abc，得到.所以，.点评：三角形面积公式由直角三角形的边角关系表示出各边上的高之后再推导出来，再运用它推导正弦定理，实质就是教材中正弦定理推导过程的简化. 二、活用代数变形，推导海伦公式例2 ABC的三边为a，b，c，设，求证：.证明：= = = = = = = .点评：此例的结论，就是海伦公式，可以由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积. 海伦公式据说是由古希腊数学家阿基米德解决的，但最早出现于古希腊数学家海伦（Heron）的著作测地术中，公式的形式漂亮，且便于记忆. 我国大数学家秦九韶在也发现与海伦公式本质上相同的“三斜求积”公式，并记载于他写的数书九章中. 如果由三角形面积和，得，根据，整理后也可得到海伦公式.三、结合面积公式，研究三角问题例3 在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.（1）若a=4，b=5，S=5，求c的长度；（2）若三角形的面积S=，求C的度数；（3）若a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值.解：（1）SabsinC，sinC，于是C60或C120.又c2a2b22abcosC，当C60时，c2a2b2ab，c；当C120时，c2a2b2ab，c. c的长度为或.（2）由S=，得absinC=. tanC=1，得C=.（3）a、b、c成等比数列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得cosA=，A=60.在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB. bcsinA=b2sinB， 则=sinA=.点评：解三角形时，需认真分析题中已知条件中边与角之间的关系，根据条件合理选用正弦定理或余弦定理，结合三角形的面积公式来解决问题.四、综合面积公式，探讨数学领域例4 已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4. 求四边形ABCD的面积.解：如图，连结BD，则四边形面积SSABDSCBDABADsinABCCDsinC AC180， sinAsinC， S（ABADBCCD）sinA16sinA.在ABD中，由余弦定理得BD22242224cosA2016cosA.在CDB中，BD25248cosC， 2016cosA5248cosC.又cosCcosA，cosA， A120，得S16sinA8.