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广西陆川县中学2020年秋季期高三12月月考理科数学试题 第I卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合,则A B C D2.已知复数满足,则复数的虚部是( )A B C D3.已知向量是互相垂直的单位向量,且,则( )A B1 C6 D4. 已知变量与变量之间具有相关关系,并测得如下一组数据则变量与之间的线性回归方程可能为( )A B C D5.设,其中都是非零实数,若,那么( )A1 B2 C0 D6. 若,则( )A BC. D7. 已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为( )A B 4 C. 3 D8. 若函数在区间内恰有一个极值点,则实数的取值范围为( )A B C. D9.如图,将直角三角板和直角三角板拼在一起,其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合.若,则( )A BC.D10.已知是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面,则该球的体积为( )A B C. D11.已知抛物线,直线,为抛物线的两条切线,切点分别为,则 “点在上”是“”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C. 充要条件D既不充分也不必要条件12.已知函数(是自然对数的底数).若,则的取值范围为( )A B C. D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)(13)已知x,y满足则的最小值为 (14)已知双曲线()的一条渐近线被圆截得的弦长为2,则该双曲线的离心率为 (15)设数列的前n项和为,若且则的通项公式 (16)如图,设的内角所对的边分别为 ,且. 若点是外一点,则当四边形面积最大值时, 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知数列的前项和.(1)证明:是等比数列,并求其通项公式;(2)求数列的前项和.18. (本小题满分12分)在中,角所对的边分别为,且.(1)求的值;(2)若,点在线段上,,求的面积.19. (本小题满分12分)为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围(度)(0,210(210,400某市随机抽取10户同一个月的用电情况,得到统计表如下:居民用电户编号12345678910用电量(度)538690124132200215225300410(1) 若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元?(2) 现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;(3) 以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大,求的值.20(本小题满分12分)已知函数(1) 当时,求函数的单调区间;(2) 求函数在上的最大值.21(本小题满分12分)已知函数.(1)当时,求证:;(2)设函数,且有两个不同的零点,求实数的取值范围; 求证:.请考生在22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线的参数方程为(为参数),直线过点,且斜率为,射线的极坐标方程为(1)求曲线和直线的极坐标方程;(2)已知射线与圆的交点为,与直线的交点为,求线段的长23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲(1)函数,若存在实数,使得成立,求实数的取值范围;(2)设,若,求的最小值理科数学试题参考答案及评分标准1-5: DCDBA 6-10: DABBA 11、12:CC13 01415 16 17.(1)证明:当时,由得,即,所以,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,于是.(2)解:令,则,得,得所以.17. (1)因为 ,由正弦定理得:即,在中,所以5分(2) ,两边平方得:由,得解得:所以的面积12分19. (1)元 2分(2) 设取到第二阶梯电量的用户数为,可知第二阶梯电量的用户有3户,则可取0,1,2,3故的分布列是0123所以7分(3) 可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯,满足,可知,解得,所以当时,概率最大,所以12分20. (1)函数的定义域为,当时,3分由得,或(舍去)。当时,时,所以函数的单调减区间是,增区间是5分(2)因为,由由得,或当时,即时,在上,即在上递增,所以当时,即时,在上,在上,即在上递减,在递增;因为,所以当时,;当时,当时,即时,在上,即在上递减,所以综上可得12分21:(1)记,则,在上,即在上递减,所以,即恒成立记,则,在上,即在上递增,所以,即恒成立5分(2) ,定义域:,则易知在递增,而,所以在上,在递减,在递增,,要使函数有两个零点,则故实数的取值范围是7分由知,记当时,由知:,则再由得,故恒成立,单调递减,即,而,所以,由题知,在递增,所以,即12分 22.因为曲线的参数方程为(为参数),所以消参后的普通方程是:将代入整理得:即曲线的极坐标方程为直线过点,且斜率为,直线的普通方程为将代入整理得:5分(2) 将代入曲线和直线的极坐标方程可得,所以线段的长为10分23.解:令,则,即作出的图像,如图所示,易知其最小值为-5 5分所以,实数的取值范围是(2) 由柯西不等式:即,故当且仅当时,即时等号成立,所以的最小值为. 10分
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