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因式分解 授课讲义因式分解是初中数学中的基础知识和基本技能。初学上手有一定难度，必须熟练掌握技巧，为初二初三的学习打下基础。本讲义主要介绍如下几种因式分解方法：（其中，一到四为教材要求的基础方法）一、提公因式法二、运用公式（平方差公式、平方和公式等）法三、分组分解法四、十字相乘法（交叉相乘法）五、换元法六、“添”“拆”“配”法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：（碰到难题可查询）(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = = =练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：例4、分解因式：思考：这两题，将哪些项分在一组？ 解：原式= 解：原式= = = = =练习：分解因式3、 4、练习：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1) (2) (3) (4) 练习6、分解因式(1) (2) (3) (3)（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=练习7、分解因式：（1） （2）（3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习8、分解因式(1) (2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：（1） （2）练习10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8） （9） （10）五、换元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）设2016=，则原式= = =（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设，则原式= =练习13、分解因式（1） （2） 六、添项、拆项、配方法。例14、分解因式（1） 解法1拆项。 原式= = =解法2添项。原式=练习14、分解因式（1） （2） （3）因式分解知识总结归纳 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 下面我们一起通过例题来回顾本章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式 解一：将拆成，则有 解二：将常数拆成，则有 3. 在证明题中的应用 例：求证：多项式的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明： 设，则 4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式： 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。综合练习题（一）一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= _ _.4、分解因式：=_ _。5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为 . 6、若，则=_，=_。二、选择题7、多项式的公因式是( )A、 B、 C、 D、8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A、 B、C、 D、10.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy）2（yx）分解因式为（ ）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1）C（yx）（yx1） D（yx）（yx1）12下列各个分解因式中正确的是（ ）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式： 14、 15、16、 17、 18、 19、五、解答题20、如图，在一块边长=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。dD21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，结果保留2位有效数字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。综合练习题（二）一、求证求值题1、在中，三边a,b,c满足 求证： 2、若x为任意整数，求证：的值不大于100。 3、 将 二、填空：1、若是完全平方式，则的值等于_。2、则=_=_3、与的公因式是 4、若=，则m=_，n=_。5、6、 7、若是完全平方式，则m=_。8、9、已知则10、若是完全平方式M=_。11、若是完全平方式，则k=_。14、若则_。12、若的值为0，则的值是_。13、若则=_。15、方程，的解是_。三、选择题：1、多项式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，则m，k的值分别是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（ ）A、1个，B、2个，C、3个，D、4个4、计算的值是（ ） A、 B、四、分解因式： 1 、 2 、 3 、 4 、 5、 6、 7、 8、 五、代数式求值1、 已知，求 的值。2、 若x、y互为相反数，且，求x、y的值3、 已知，求的值六、计算： （1） 0.75 （2） （3）七、证明题1、对于任意自然数n，都能被动24整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。八、利用分解因式计算1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。3、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。综合练习（三）一、 选择题1、代数式a3b2a2b3, a3b4a4b3,a4b2a2b4的公因式是（ ）A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b3 2、用提公因式法分解因式5a(xy)10b(xy)，提出的公因式应当为（ ）A、5a10b B、5a10b C 、5(xy) D、yx3、把8m312m24m分解因式，结果是（ ）A、4m(2m23m) B、4m(2m23m1) C、4m(2m23m1) D、2m(4m26m2)4、把多项式2x44x2分解因式，其结果是（ ）A、2(x42x2) B、2(x42x2) C、x2(2x24) D、 2x2(x22)5、（2）1998（2）1999等于（ ）A、21998 B、21998 C、21999 D、219996、把16x4分解因式，其结果是（ ）A、(2x)4 B、(4x2)( 4x2) C、(4x2)(2x)(2x) D、(2x)3(2x)7、把a42a2b2b4分解因式，结果是（ ）A、a2(a22b2)b4 B、(a2b2)2 C、(ab)4 D、(ab)2(ab)28、把多项式2x22x分解因式，其结果是（ ）A、(2x)2 B、2(x)2 C、(x)2 D、 (x1)2 9、若9a26(k3)a1是完全平方式，则 k的值是（ ）A、4 B、2 C、3 D、4或210、（2xy）(2xy)是下列哪个多项式分解因式的结果（ ）A、4x2y2 B、4x2y2 C、4x2y2 D、4x2y2 11、多项式x23x54分解因式为（ ）A、(x6)(x9) B、(x6)(x9)C、(x6)(x9) D、 (x6)(x9)二、填空题1、2x24xy2x = _(x2y1)2、4a3b210a2b3 = 2a2b2(_)3、(1a)mna1=(_)(mn1)4、m(mn)2(nm)2 =(_)(_)5、x2(_)16y2=( )26、x2(_)2=(x5y)( x5y)7、a24(ab)2=(_)(_)8、a(xyz)b(xyz)c(xyz)= (xyz)(_)9、16(xy)29(xy)2=(_)(_)10、(ab)3(ab)=(ab)(_)(_)11、x23x2=(_)(_)12、已知x2px12=(x2)(x6)，则p=_.三、解答题1、把下列各式因式分解。(1)x22x3 (2)3y36y23y(3)a2(x2a)2a(x2a)2 (4)(x2)2x2(5)25m210mnn2 (6)12a2b(xy)4ab(yx)(7)(x1)2(3x2)(23x) (8)a25a6(9)x211x24 (10)y212y28(11)x24x5 (12)y43y328y22、用简便方法计算。（1）9992999 （2）2022542256352(3) 3、已知：xy=,xy=1.求x3y2x2y2xy3的值。四、探究题1、 若ab=2,ac=,求(bc)23(bc)的值。2、 求证：11111110119=119109综合练习题（四）一、填空题：2(a3)(32a)=_(3a)(32a)；12若m23m2=(ma)(mb)，则a=_，b=_；15当m=_时，x22(m3)x25是完全平方式二、填空选择题：1下列各式的因式分解结果中，正确的是 Aa2b7abbb(a27a)B3x2y3xy6y=3y(x2)(x1)C8xyz6x2y22xyz(43xy)D2a24ab6ac2a(a2b3c)2多项式m(n2)m2(2n)分解因式等于 A(n2)(mm2) B(n2)(mm2)Cm(n2)(m1) Dm(n2)(m1)3在下列等式中，属于因式分解的是 Aa(xy)b(mn)axbmaybnBa22abb21=(ab)21C4a29b2(2a3b)(2a3b)Dx27x8=x(x7)84下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 Aa2b2 Ba2b2Ca2b2 D(a2)b25若9x2mxy16y2是一个完全平方式，那么m的值是 A12 B24C12 D126把多项式an+4an+1分解得 Aan(a4a) Ban-1(a31)Can+1(a1)(a2a1) Dan+1(a1)(a2a1)7若a2a1，则a42a33a24a3的值为 A8 B7C10 D128已知x2y22x6y10=0，那么x，y的值分别为 Ax=1，y=3 Bx=1，y=3Cx=1，y=3 Dx=1，y=39把(m23m)48(m23m)216分解因式得 A(m1)4(m2)2 B(m1)2(m2)2(m23m2)C(m4)2(m1)2 D(m1)2(m2)2(m23m2)210把x27x60分解因式，得 A(x10)(x6) B(x5)(x12)C(x3)(x20) D(x5)(x12)11把3x22xy8y2分解因式，得 A(3x4)(x2) B(3x4)(x2)C(3x4y)(x2y) D(3x4y)(x2y)12把a28ab33b2分解因式，得 A(a11)(a3) B(a11b)(a3b)C(a11b)(a3b) D(a11b)(a3b)13把x43x22分解因式，得 A(x22)(x21) B(x22)(x1)(x1)C(x22)(x21) D(x22)(x1)(x1)14多项式x2axbxab可分解因式为 A(xa)(xb) B(xa)(xb)C(xa)(xb) D(xa)(xb)15一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是12，且能分解因式，这样的二次三项式是 Ax211x12或x211x12Bx2x12或x2x12Cx24x12或x24x12D以上都可以16下列各式x3x2x1，x2yxyx，x22xy21，(x23x)2(2x1)2中，不含有(x1)因式的有 A1个 B2个 C3个D4个17把9x212xy36y2分解因式为 A(x6y3)(x6x3)B(x6y3)(x6y3)C(x6y3)(x6y3)D(x6y3)(x6y3)18下列因式分解错误的是 Aa2bcacab=(ab)(ac)Bab5a3b15=(b5)(a3)Cx23xy2x6y=(x3y)(x2)Dx26xy19y2=(x3y1)(x3y1)19已知a2x22xb2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为 A互为倒数或互为负倒数 B互为相反数C相等的数 D任意有理数20对x44进行因式分解，所得的正确结论是 A不能分解因式 B有因式x22x2C(xy2)(xy8) D(xy2)(xy8)21把a42a2b2b4a2b2分解因式为 A(a2b2ab)2 B(a2b2ab)(a2b2ab)C(a2b2ab)(a2b2ab) D(a2b2ab)222(3x1)(x2y)是下列哪个多项式的分解结果 A3x26xyx2y B3x26xyx2yCx2y3x26xy Dx2y3x26xy2364a8b2因式分解为 A(64a4b)(a4b) B(16a2b)(4a2b)C(8a4b)(8a4b) D(8a2b)(8a4b)249(xy)212(x2y2)4(xy)2因式分解为 A(5xy)2 B(5xy)2C(3x2y)(3x2y) D(5x2y)225(2y3x)22(3x2y)1因式分解为 A(3x2y1)2 B(3x2y1)2C(3x2y1)2 D(2y3x1)226把(ab)24(a2b2)4(ab)2分解因式为 A(3ab)2 B(3ba)2C(3ba)2 D(3ab)227把a2(bc)22ab(ac)(bc)b2(ac)2分解因式为 Ac(ab)2 Bc(ab)2Cc2(ab)2 Dc2(ab)28若4xy4x2y2k有一个因式为(12xy)，则k的值为 A0 B1C1 D429分解因式3a2x4b2y3b2x4a2y，正确的是 A(a2b2)(3x4y) B(ab)(ab)(3x4y)C(a2b2)(3x4y) D(ab)(ab)(3x4y)30分解因式2a24ab2b28c2，正确的是 A2(ab2c) B2(abc)(abc)C(2ab4c)(2ab4c) D2(ab2c)(ab2c)三、因式分解：1m2(pq)pq； 2a(abbcac)abc；3x42y42x3yxy3； 4abc(a2b2c2)a3bc2ab2c2；5a2(bc)b2(ca)c2(ab)； 6(x22x)22x(x2)1；7(xy)212(yx)z36z2； 8x24ax8ab4b2；9(axby)2(aybx)22(axby)(aybx)； 10x3ny3n； 11(x1)29(x1)2； 124a2b2(a2b2c2)2；13ab2ac24ac4a； 14(1a2)(1b2)(a21)2(b21)2；15(xy)3125； 16(3m2n)3(3m2n)3；17x6(x2y2)y6(y2x2)； 188(xy)31；19(abc)3a3b3c3； 20x24xy3y2；21x218x144； 22x42x28；23m418m217； 24x52x38x；25x819x5216x2； 26(x27x)210(x27x)24；2757(a1)6(a1)2； 28(x2x)(x2x1)2；29x2y2x2y24xy1； 30(x1)(x2)(x3)(x4)48；31x2y2xy； 32ax2bx2bxax3a3b；33m4m21； 34a2b22acc2；35a3ab2ab； 36625b4(ab)4；37x6y63x2y43x4y2； 38x24xy4y22x4y35； 39m2a24ab4b2； 405m5nm22mnn2四、证明求值题：1已知ab=0，求a32b3a2b2ab2的值2求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数3证明：(acbd)2(bcad)2=(a2b2)(c2d2)4已知a=k3，b=2k2，c=3k1，求a2b2c22ab2bc2ac的值5若x2mxn=(x3)(x4)，求(mn)2的值6当a为何值时，多项式x27xyay25x43y24可分解为两个一次因式的乘积7若x，y为任意有理数，比较6xy与x29y2的大小8求证：两个连续偶数的平方差是4的倍数
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