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20.2.1 极差、方差（极差、方差（1 1）义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书八年级下册八年级下册1.数据数据-3，-2，1，2，4，4的平均数是的平均数是 ，中位数是，中位数是 ，众数是，众数是 ；2.数据数据-4，-3，-1，4，4，6的平均数是的平均数是 ，中位数是，中位数是 ，众数是，众数是 ；复习复习导入导入1.数据数据-3，-2，1，2，4，4的平均数是的平均数是 ，中位数是，中位数是 ，众数是，众数是 ；2.数据数据-4，-3，-1，4，4，6的平均数是的平均数是 ，中位数是，中位数是 ，众数是，众数是 ；11.5411.54 这两组数据所刻画的内容或所反这两组数据所刻画的内容或所反映的性质一样吗？映的性质一样吗？探究探究 某日在不同时段测得乌鲁木齐和某日在不同时段测得乌鲁木齐和广州的气温情况如下：广州的气温情况如下：000 400 800120016002000乌鲁木乌鲁木 齐齐10 14 20 24 19 16广州广州20 22 23 25 23 21分别求出这一天两地的温差。分别求出这一天两地的温差。探究探究000 400 800120016002000乌鲁木乌鲁木 齐齐10 14 20 24 19 16广州广州20 22 23 25 23 21乌鲁木齐：乌鲁木齐：24-10=14()广州：广州：25-20=5()上述求差的方法是怎样的？上述求差的方法是怎样的？归纳归纳极差的定义：极差的定义：一组数据中的最大数据与最小数一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。据的差叫做这组数据的极差。巩固巩固1.数据数据 -3，-2，1，2，4，4 的极差的极差是是 ；2.数据数据 -4，-3，-1，4，4，6 的极差的极差是是 ；范例范例例例1.已知数据已知数据 1，-3，0，x 的极差的极差是是 5，求，求 x 的值。的值。你能确定最大值和最小值吗你能确定最大值和最小值吗分类讨论方法分类讨论方法探究探究000 400 800120016002000乌鲁木乌鲁木 齐齐10 14 20 24 19 16广州广州20 22 23 25 23 21乌鲁木齐：乌鲁木齐：24-10=14()广州：广州：25-20=5().由上述计算你能得到什么信息？由上述计算你能得到什么信息？探究探究000 400 800120016002000乌鲁木乌鲁木 齐齐10 14 20 24 19 16广州广州20 22 23 25 23 21乌鲁木齐：乌鲁木齐：24-10=14()广州：广州：25-20=5().极差反映了数据的什么情况？极差反映了数据的什么情况？探究探究000 400 800120016002000乌鲁木乌鲁木 齐齐10 14 20 24 19 16广州广州20 22 23 25 23 21乌鲁木齐：乌鲁木齐：24-10=14()广州：广州：25-20=5().极差受什么影响较大？极差受什么影响较大？归纳归纳极差的意义：极差的意义：极差能够反映数据的变化范围，极差能够反映数据的变化范围，它是最简单的一种度量数据波动情况它是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受极端值的影响较大。也的量，但它受极端值的影响较大。也就是说，极差只能反映数据的波动范就是说，极差只能反映数据的波动范围，而不能具体反映所有数据的波动围，而不能具体反映所有数据的波动情况。情况。P138 练习练习例例2.为使全村一起走向致富之路，绿荫为使全村一起走向致富之路，绿荫村打算实施村打算实施“一帮一一帮一”方案，为此统计了方案，为此统计了全村各户的人均收入全村各户的人均收入(单位单位:元元)：1200 1432 1321 1780 3240 6865 4536 5621 2314 5621 863 6783 6578 9210 1105 1342 653 365 1243 3452 3452 1876 3562 3425 543 451 342 2341 4567 1453 4325 43211200 1432 1321 1780 3240 6865 4536 5621 2314 5621 863 6783 6578 9210 1105 1342 653 365 1243 3452 3452 1876 3562 3425 543 451 342 2341 4567 1453 4325 4321(1)计算这组数据的极差，这个极差说明计算这组数据的极差，这个极差说明什么问题？什么问题？P138 练习练习1200 1432 1321 1780 3240 6865 4536 5621 2314 5621 863 6783 6578 9210 1105 1342 653 365 1243 3452 3452 1876 3562 3425 543 451 342 2341 4567 1453 4325 4321(2)将数据适当分组，作出频数分布表和将数据适当分组，作出频数分布表和频数分布直方图；频数分布直方图；P138 练习练习1200 1432 1321 1780 3240 6865 4536 5621 2314 5621 863 6783 6578 9210 1105 1342 653 365 1243 3452 3452 1876 3562 3425 543 451 342 2341 4567 1453 4325 4321(3)为绿荫村的为绿荫村的“一帮一一帮一”方案出主意。方案出主意。P138 练习练习什么是一组数据的极差什么是一组数据的极差?极差反映了这组数据哪方面的特征极差反映了这组数据哪方面的特征?一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫做这一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫做这组数据的极差，极差反映的是这组数据的变化范组数据的极差，极差反映的是这组数据的变化范围或变化幅度围或变化幅度在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：甲队甲队 26 25 28 28 24 28 26 28 27 29 乙队乙队 28 27 25 28 27 26 28 27 27 26 两队参赛选手的平均年龄分别是多少？两队参赛选手的平均年龄分别是多少？你能说说两队参赛选手年龄的波动的情况吗？你能说说两队参赛选手年龄的波动的情况吗？11011026252926.928272626.9XX 在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：甲队甲队 26 25 28 28 24 28 26 28 27 29 乙队乙队 28 27 25 28 27 26 28 27 27 26 两队参赛选手的平均年龄分别是多少？两队参赛选手的平均年龄分别是多少？你能说说两队参赛选手年龄的波动的情况吗？你能说说两队参赛选手年龄的波动的情况吗？11011026252926.928272626.9XX 求两队参赛选手年龄的极差。求两队参赛选手年龄的极差。.两队参赛选手的极差反映了什么情况？两队参赛选手的极差反映了什么情况？甲队：甲队：5乙队：乙队：2 两队参赛选手的极差只反映了数据的波动范两队参赛选手的极差只反映了数据的波动范围，而不能具体反映所有数据的波动情况。围，而不能具体反映所有数据的波动情况。用图表整理这用图表整理这两组数据，分两组数据，分析你画出的图析你画出的图表，看看你能表，看看你能得出哪些结论？得出哪些结论？甲队选手的年龄分布甲队选手的年龄分布232324242525262627272828292930300 01 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111数据序号数据序号年龄年龄 甲队甲队 26 25 28 28 24 28 26 28 27 29 乙队选手的年龄分布乙队选手的年龄分布232324242525262627272828292930300 01 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111数据序号数据序号年龄年龄乙队乙队 28 27 25 28 27 26 28 27 27 26 甲队选手的年龄分布甲队选手的年龄分布2324252627282930012345678910 11数据序号年龄乙队选手的年龄分布乙队选手的年龄分布23242526272829300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011数据序号年龄比较两幅图可以看出：比较两幅图可以看出：甲队选手的年龄与其平均年龄的偏差较大甲队选手的年龄与其平均年龄的偏差较大乙队选手的年龄与其平均年龄的偏差较小乙队选手的年龄与其平均年龄的偏差较小能否用一个量来刻画它呢？能否用一个量来刻画它呢？来衡量这组数据的波动大小，并把它来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。叫做这组数据的方差。设有设有n个数据个数据x1，x2，x3，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别各数据与它们的平均数的差的平方分别是是 ，我们，我们用它们的平均数，即用用它们的平均数，即用2212(),(),xXxX2()nxX22121()()SxXxXn2()nxXS甲甲2=(26-26.9)2+(25-26.9)2+(29-26.9)2 110S乙乙2=(28-26.9)2+(27-26.9)2+(26-26.9)2 110SHIFTCLRSCL1ONMODESD21226-26.925-26.929-26.9SHIFTS-SUM11X2=MODE清除清除调调SD状态状态传递数据的各种功能传递数据的各种功能输数据输数据出结果出结果1=10M+M+M+现在你能说说两队参赛选手年龄的波动的情况吗？现在你能说说两队参赛选手年龄的波动的情况吗？S甲甲2=(26-26.9)2+(25-26.9)2+(29-26.9)2=2.89110S乙乙2=(28-26.9)2+(27-26.9)2+(26-26.9)2=0.89110 方差用来衡量一批数据的波动大小方差用来衡量一批数据的波动大小 (即这批数据偏离平均数的大小即这批数据偏离平均数的大小).方差方差:各数据与平均数的差的平方和的平均各数据与平均数的差的平方和的平均 数叫做这组数据的方差数叫做这组数据的方差.S2=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2 1n归纳归纳 方差越大，数据的波动越大；方方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。差越小，数据的波动越小。巩固巩固1.数据数据-3，-2，1，2，4，4 的方差的方差是是 ；2.数据数据-4，-3，-1，4，4，6 的方差的方差是是 ；P140 例例1.在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧团都表演了舞剧天鹅湖天鹅湖，参加表演的女演员的身高，参加表演的女演员的身高(单位：单位：cm)分别是分别是 甲团甲团 163 164 164 165 165 165 166 167 乙团乙团 163 164 164 165 166 167 167 168哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？S甲甲21.36S乙乙22.75 S甲甲2 S乙乙2甲芭蕾舞团女演员的身高更整甲芭蕾舞团女演员的身高更整 齐齐165X甲166X乙谈谈自己这节课你学到了什么？谈谈自己这节课你学到了什么？1.方差方差:各数据与平均数的差的平方的平均各数据与平均数的差的平方的平均 数叫做这批数据的方差数叫做这批数据的方差.S2=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2 n12.方差用来衡量一批数据的波动大小方差用来衡量一批数据的波动大小 (即这批数据偏离平均数的大小即这批数据偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下：在样本容量相同的情况下：方差越大方差越大,说明数据的说明数据的波动越大波动越大,越不稳定越不稳定.方差越小方差越小,说明数据的说明数据的波动越小波动越小,越稳定越稳定.3.极差、方差的区别与联系极差、方差的区别与联系方差是用方差是用“先平均，再求差，然后平方，最先平均，再求差，然后平方，最后再平均后再平均”的方法得到的结果，主要反映整的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。据波动情况更敏感的指标。区区别：别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。据的波动不敏感。极差、方差都是用来衡量（或描述）一组数据极差、方差都是用来衡量（或描述）一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。用来比较两组数据的波动情况。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。量一组数据的波动大小。联系：联系：为什么常用方差来衡量一组为什么常用方差来衡量一组数据的波动情况呢？有兴趣数据的波动情况呢？有兴趣的同学可以参考本节的的同学可以参考本节的“阅阅读与思考数据波动的几种度读与思考数据波动的几种度量量”P141 练习练习1.用条形图表示下列各数，计算并比较用条形图表示下列各数，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的刻画数据的波动程度的(1)6 6 6 6 6 6 6(2)5 5 6 6 6 7 7(3)3 3 4 6 8 9 9(4)3 3 3 6 9 9 9练习练习、用条型图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，、用条型图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的。体会方差是怎样刻画数据的波动程度的。（1）66666666776x07)66()66()66()66()66()66()66(22222222s（2）5 5 6 6 6 7 767273652x747)76()76()66()66()66()65()65(22222222s（3）3 3 4 6 8 9 9672986423x7487)69()69()68()66()64()63()63(22222222s（4）3 3 3 6 9 9 96739633x7547)69()69()69()66()63()63()63(22222222s2、下面是两名跳远运动员的、下面是两名跳远运动员的10次测验成绩（单位：次测验成绩（单位：m）甲甲5.855.936.075.915.996.135.986.056.006.19乙乙6.116.085.835.925.845.816.186.175.856.2101.61019.600.605.698.513.699.591.507.693.585.5甲x00.61081.685.517.618.681.584.592.583.508.611.6乙x在这在这10次测验中，哪名运动员的成绩更稳定？（可以使用计算器）次测验中，哪名运动员的成绩更稳定？（可以使用计算器）00954.0)01.619.6()01.607.6()01.693.5()01.685.5(10122222 甲s02434.0)621.6()683.5()608.6()611.6(10122222 乙s例例2.农科院对甲、乙两种甜玉米种子各用农科院对甲、乙两种甜玉米种子各用10快试验田快试验田 进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据：进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据：现在要通过比较甲、乙两个品种在试验田中的产量现在要通过比较甲、乙两个品种在试验田中的产量和产量的稳定性，来估计它们在这一地区的产量和和产量的稳定性，来估计它们在这一地区的产量和产量的稳定性。产量的稳定性。品品 种种 各试验田每公顷产量各试验田每公顷产量 （单位：吨）（单位：吨）甲甲 种种 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙乙 种种 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49S甲甲20.01S乙乙20.002 S甲甲2 S乙乙2乙种甜玉米的产量比较稳定乙种甜玉米的产量比较稳定可以推测这个地区更适合种植乙种甜玉米可以推测这个地区更适合种植乙种甜玉米7.54X甲7.52X乙例例3.（P1443.题）题）为了考察甲、乙两种小麦的为了考察甲、乙两种小麦的 长势长势,分别从中抽出分别从中抽出10株苗株苗,测得苗高如下测得苗高如下(单位单位:厘米厘米):甲甲:12 13 14 15 10 16 13 11 15 11乙乙:11 16 17 14 13 19 6 8 10 16问哪种小麦长得比较整齐问哪种小麦长得比较整齐?思考：求数据方差的一般步骤是什么？思考：求数据方差的一般步骤是什么？2、利用方差公式求方差。、利用方差公式求方差。S2=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2 n11、求数据的平均数；、求数据的平均数；1.在方差的计算公式在方差的计算公式 S2=（x120)2+(x220)2+(x1020)2中中,数字数字10和和20分别表示分别表示()A、样本的容量和方差、样本的容量和方差 B、平均数和样本的容量、平均数和样本的容量C、样本的容量和平均数、样本的容量和平均数 D、样本的方差和平均数、样本的方差和平均数C101 2.（口算）为了选拔一名同学参加某市中学生射击（口算）为了选拔一名同学参加某市中学生射击 竞赛，某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了竞赛，某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了 测试，两人在相同条件下各射靶测试，两人在相同条件下各射靶10次次.求方差求方差S乙乙2；赛后赛后,甲乙两个同学都说自己是胜者甲乙两个同学都说自己是胜者,争执不下争执不下.请你请你根据所学过的统计知识，进一步判断甲乙两个同学根据所学过的统计知识，进一步判断甲乙两个同学在这次测试中成绩谁优谁次，并说明理由在这次测试中成绩谁优谁次，并说明理由。S乙乙2=1.2S乙乙2=？=77768678759乙成绩乙成绩（环数）（环数）S甲甲2=3 =747109568687甲成绩甲成绩（环数）（环数）X甲甲X乙乙3.甲、乙两小组各甲、乙两小组各10名学生进行英语口语会话，各名学生进行英语口语会话，各 练习练习5次，他们每位同学的合格次数分别如下表：次，他们每位同学的合格次数分别如下表：(1)哪组的平均成绩高？哪组的平均成绩高？(2)哪组的成绩比较稳定？哪组的成绩比较稳定？甲组 4 1 2 2 1 3 3 1 2 1 乙组 4 3 0 2 1 3 3 0 1 32X甲 所以甲、乙两组的平均成绩一样所以甲、乙两组的平均成绩一样2222111010421 21 24 111s 甲所以甲组成绩比较稳定所以甲组成绩比较稳定 22221110104232324 111.8s 乙2X乙 平均数是反映一组数据总体趋势的指标，平均数是反映一组数据总体趋势的指标，方差是表示一组数据离散程度的指标，故（方差是表示一组数据离散程度的指标，故（2）中应选用方差中应选用方差 计算方差的步骤可概括为计算方差的步骤可概括为“先平均，后求先平均，后求差，平方后，再平均差，平方后，再平均”.方差是方差是0 0；D D、平均数是、平均数是100100，差是差是0 0；C C、平均数是、平均数是9898，方，方方差是方差是2 2；B B、平均数是、平均数是100100，差是差是2 2；A A、平均数是、平均数是9898，方，方）下列结论正确的是（下列结论正确的是（x x,x x,x x,x x差为差为2 2，则对于样本，则对于样本的平均数为的平均数为100100，方，方2 2x x2,2,2,2,x x2,2,若样本若样本x xn n3 32 21 1n n3 32 21 1Ax x,
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