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电大微积分初步考试精品小抄一、填空题函数的定义域是（，5）50 5 1 ，已知，则= 若，则微分方程的阶数是三阶 6.函数的定义域是（-2，-1）U（-1，) 7.2 8.若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = -6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , （把0带入X）9.或10.微分方程的特解为 y=ex . 又y(0)=1 (x=0 , y=1) 11.函数的定义域是12.若函数,在处连续，则1 (在处连续) （无穷小量x有界函数）13.曲线在点处的切线方程是 ， 14. sin x+c15.微分方程的阶数为 三阶 16.函数的定义域是（2,3）U（3，）17.1/218.已知，则=27+27ln3 19.=ex2+c 20.微分方程的阶数为 四阶 二、单项选择题设函数，则该函数是（偶函数）函数的间断点是（）分母无意义的点是间断点下列结论中（在处不连续，则一定在处不可导）正确可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 如果等式，则（ ）下列微分方程中，（）是线性微分方程 6.设函数，则该函数是（奇函数）7.当（2 ）时，函数在处连续.8.下列函数在指定区间上单调减少的是（） 9.以下等式正确的是（）10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）11.设，则（）12.若函数f (x)在点x0处可导，则(，但)是错误的 13.函数在区间是（先减后增）14.(）15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）16.下列函数中为奇函数是（）17.当（）时，函数在处连续.18.函数在区间是（先单调下降再单调上升）19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x2 + 3）20.微分方程的特解为（）三、计算题计算极限解:设，求.解：，u= -2x(-2x)=eu（-2）= -2e-2xy= -2e-2x+dy=(-2e-2x+)dx计算不定积分解：令u=,u=2du=2(-cos)+c= -2cos计算定积分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.计算极限6.设，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.计算不定积分解：令u=1-2x , u= -2 8.计算定积分解：u=x,=9.计算极限10.设，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 u=x , v=cosx , v=sinx12.计算定积分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5=13.计算极限解：14.设，求解：() , , , )15.计算不定积分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.计算定积分解： u=x , , 四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h,表面积为s，且有h= 所以S(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。此时的费用为S（2）10+40=160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为x，S=216 另一边长为216/x总材料y=2x+3216/x=2x +y=2+648(x-1)=2+648(-1)=2 - y=0得2 = x2=324 x=18一边长为18，一边长为12时，用料最省. 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为a 底面积为a2a2h=v=32 h=表面积为a2+4ah= a2+4a= a2+y= a2+ , y=2a+128( -)=2a-y=0 得 2a= a3=64 a=4底面边长为4， h=2设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边长为x ，另一边为60-x以AD为轴转一周得圆柱，底面半径x，高60-xV=得：矩形一边长为40 ，另一边长为20时，Vmax三、计算题计算极限解:设，求.解：，u= -2x(-2x)=eu（-2）= -2e-2xy= -2e-2x+dy=(-2e-2x+)dx计算不定积分解：令u=,u=2du=2(-cos)+c= -2cos计算定积分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.计算极限6.设，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.计算不定积分解：令u=1-2x , u= -2 8.计算定积分解：u=x,=9.计算极限10.设，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 u=x , v=cosx , v=sinx12.计算定积分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5=13.计算极限解：14.设，求解：() , , , )15.计算不定积分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.计算定积分解： u=x , , 四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h,表面积为s，且有h= 所以S(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。此时的费用为S（2）10+40=160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为x，S=216 另一边长为216/x总材料y=2x+3216/x=2x +y=2+648(x-1)=2+648(-1)=2 - y=0得2 = x2=324 x=18一边长为18，一边长为12时，用料最省. 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为a 底面积为a2a2h=v=32 h=表面积为a2+4ah= a2+4a= a2+y= a2+ , y=2a+128( -)=2a-y=0 得 2a= a3=64 a=4底面边长为4， h=2设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边长为x ，另一边为60-x以AD为轴转一周得圆柱，底面半径x，高60-xV=得：矩形一边长为40 ，另一边长为20时，Vmax作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数的定义域是 答案： 2函数的定义域是 答案： 3.函数的定义域是 答案： 4.函数，则 答案： 5函数，则 答案： 6函数，则 答案： 7函数的间断点是 答案： 8. 答案： 1 9若，则 答案： 2 10若，则 答案： 1.5； 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数，则该函数是（）答案：BA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数，则该函数是（）答案：AA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 3函数的图形是关于（）对称答案：DA B轴C轴 D坐标原点4下列函数中为奇函数是（C ）A B C D 5函数的定义域为（）答案：DA B C且 D且 6函数的定义域是（）答案：DA BC D 7设，则（ ）答案：CA B C D 8下列各函数对中，（）中的两个函数相等答案：D A， B，C， D 9当时，下列变量中为无穷小量的是（ ）答案：C.A B C D 10当（ ）时，函数，在处连续. 答案：BA0 B1 C D 11当（ ）时，函数在处连续 答案：DA0 B1 C D 12函数的间断点是（ ）答案：AA B C D无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）计算极限 解 2计算极限 解 3. 解：原式4计算极限 解 5计算极限 解 6.计算极限 解 7计算极限 解 8计算极限解 一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线在点的斜率是 答案：2曲线在点的切线方程是 答案： 3曲线在点处的切线方程是 答案： 4 答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 答案：6已知，则= 答案：7已知，则= 答案：8若，则 答案：9函数的单调增加区间是 答案：10函数在区间内单调增加，则a应满足 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数在区间是（ ）答案：DA单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增2满足方程的点一定是函数的（ ）答案：C.A极值点B最值点 C驻点D 间断点3若，则=（ ） 答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. 2 4设，则（ ） 答案：B A B C D5设是可微函数，则（ ） 答案：D A B C D 6曲线在处切线的斜率是（ ） 答案：C A B C D7若，则（ ）答案：C A B C D 8若，其中是常数，则（ ）答案C A B C D 9下列结论中（ A ）不正确 答案：C A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若在a，b内恒有，则在a，b内函数是单调下降的. 10若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的 答案：B A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 11下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）答案：BAsinx Be x Cx 2 D3 x12.下列结论正确的有（ ） 答案：A Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分）1设，求 解 或 2设，求. 解 3设，求. 解 4设，求. 解 或5设是由方程确定的隐函数，求. 解 对方程两边同时对x求微分，得 6设是由方程确定的隐函数，求. 解原方程可化为， 7设是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边同时对求微分，得 .8设，求解：方程两边同时对求微分，得 一、填空题（每小题2分，共20分）1若的一个原函数为，则 。 答案： （c为任意常数）或 2若的一个原函数为，则 。 答案： 或 3若，则 答案：或4若，则 答案： 或 5若，则答案： 6若，则 答案： 7答案：8 答案： 9若，则答案： 10若，则 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：AA B C D3若，则（ ）. 答案：AA. B. C. D. 4若，则（ ）. 答案：A A. B. C. D. 5以下计算正确的是（ ） 答案：AA B C D 6（ ）答案：AA. B. C. D. 7=（ ） 答案：C A B C D 8如果等式，则（） 答案BA. B. C. D. 三、计算题（每小题7分，共35分）1 解 或2 解 3 解 45解四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解： 设矩形的一边厘米，则厘米，当它沿直线旋转一周后，得到圆柱的体积令得当时，；当时，.是函数的极大值点，也是最大值点.此时答：当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大. 2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 2. 解：设成矩形有土地的宽为米，则长为米，于是围墙的长度为令得易知，当时，取得唯一的极小值即最小值，此时答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省. 五、证明题（本题5分）1函数在（是单调增加的一、填空题（每小题2分，共20分）1 答案：2 答案：或2 3已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 。答案：或4若 答案：2 或45由定积分的几何意义知，= 。答案： 6 . 答案：07=答案： 8微分方程的特解为 . 答案：1或9微分方程的通解为 . 答案：或10微分方程的阶数为 答案：2或4二、单项选择题（每小题2分，共20分）1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）答案：AAy = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 2若= 2，则k =（ ） 答案：A A1 B-1 C0 D 3下列定积分中积分值为0的是（ ） 答案：A A B C D 4设是连续的奇函数，则定积分（ ）答案：D5（ ）答案：DA0 B C D6下列无穷积分收敛的是（）答案：BA B C D 7下列无穷积分收敛的是（）答案：BA B C D8下列微分方程中，（ ）是线性微分方程答案：D A B C D9微分方程的通解为（ ）答案：C A B C D10下列微分方程中为可分离变量方程的是（） 答案：BA. ； B. ； C. ； D. 三、计算题（每小题7分，共56分）1 解 或2 解 3 解 利用分部积分法 4 5 6求微分方程满足初始条件的特解 即通解 7求微分方程的通解。 即通解为.四、证明题（本题4分）证明等式。作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数的定义域是 答案： 2函数的定义域是 答案： 3.函数的定义域是 答案： 4.函数，则 答案： 5函数，则 答案： 6函数，则 答案： 7函数的间断点是 答案： 8. 答案： 1 9若，则 答案： 2 10若，则 答案： 1.5； 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数，则该函数是（）答案：BA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数，则该函数是（）答案：AA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 3函数的图形是关于（）对称答案：DA B轴C轴 D坐标原点4下列函数中为奇函数是（C ）A B C D 5函数的定义域为（）答案：DA B C且 D且 6函数的定义域是（）答案：DA BC D 7设，则（ ）答案：CA B C D 8下列各函数对中，（）中的两个函数相等答案：D A， B，C， D 9当时，下列变量中为无穷小量的是（ ）答案：C.A B C D 10当（ ）时，函数，在处连续. 答案：BA0 B1 C D 11当（ ）时，函数在处连续 答案：DA0 B1 C D 12函数的间断点是（ ）答案：AA B C D无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）计算极限 解 2计算极限 解 3. 解：原式4计算极限 解 5计算极限 解 6.计算极限 解 7计算极限 解 8计算极限解 一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线在点的斜率是 答案：2曲线在点的切线方程是 答案： 3曲线在点处的切线方程是 答案： 4 答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 答案：6已知，则= 答案：7已知，则= 答案：8若，则 答案：9函数的单调增加区间是 答案：10函数在区间内单调增加，则a应满足 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数在区间是（ ）答案：DA单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增2满足方程的点一定是函数的（ ）答案：C.A极值点B最值点 C驻点D 间断点3若，则=（ ） 答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. 2 4设，则（ ） 答案：B A B C D5设是可微函数，则（ ） 答案：D A B C D 6曲线在处切线的斜率是（ ） 答案：C A B C D7若，则（ ）答案：C A B C D 8若，其中是常数，则（ ）答案C A B C D 9下列结论中（ A ）不正确 答案：C A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若在a，b内恒有，则在a，b内函数是单调下降的. 10若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的 答案：B A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 11下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）答案：BAsinx Be x Cx 2 D3 x12.下列结论正确的有（ ） 答案：A Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分）1设，求 解 或 2设，求. 解 3设，求. 解 4设，求. 解 或5设是由方程确定的隐函数，求. 解 对方程两边同时对x求微分，得 6设是由方程确定的隐函数，求. 解原方程可化为， 7设是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边同时对求微分，得 .8设，求解：方程两边同时对求微分，得 一、填空题（每小题2分，共20分）1若的一个原函数为，则 。 答案： （c为任意常数）或 2若的一个原函数为，则 。 答案： 或 3若，则 答案：或4若，则 答案： 或 5若，则答案： 6若，则 答案： 7答案：8 答案： 9若，则答案： 10若，则 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：AA B C D3若，则（ ）. 答案：AA. B. C. D. 4若，则（ ）. 答案：A A. B. C. D. 5以下计算正确的是（ ） 答案：AA B C D 6（ ）答案：AA. B. C. D. 7=（ ） 答案：C A B C D 8如果等式，则（） 答案BA. B. C. D. 三、计算题（每小题7分，共35分）1 解 或2 解 3 解 45解四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解： 设矩形的一边厘米，则厘米，当它沿直线旋转一周后，得到圆柱的体积令得当时，；当时，.是函数的极大值点，也是最大值点.此时答：当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大. 2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 2. 解：设成矩形有土地的宽为米，则长为米，于是围墙的长度为令得易知，当时，取得唯一的极小值即最小值，此时答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省. 五、证明题（本题5分）1函数在（是单调增加的一、填空题（每小题2分，共20分）1 答案：2 答案：或2 3已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 。答案：或4若 答案：2 或45由定积分的几何意义知，= 。答案： 6 . 答案：07=答案： 8微分方程的特解为 . 答案：1或9微分方程的通解为 . 答案：或10微分方程的阶数为 答案：2或4二、单项选择题（每小题2分，共20分）1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）答案：AAy = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 2若= 2，则k =（ ） 答案：A A1 B-1 C0 D 3下列定积分中积分值为0的是（ ） 答案：A A B C D 4设是连续的奇函数，则定积分（ ）答案：D5（ ）答案：DA0 B C D6下列无穷积分收敛的是（）答案：BA B C D 7下列无穷积分收敛的是（）答案：BA B C D8下列微分方程中，（ ）是线性微分方程答案：D A B C D9微分方程的通解为（ ）答案：C A B C D10下列微分方程中为可分离变量方程的是（） 答案：BA. ； B. ； C. ； D. 三、计算题（每小题7分，共56分）1 解 或2 解 3 解 利用分部积分法 4 5 6求微分方程满足初始条件的特解 即通解 7求微分方程的通解。 即通解为.四、证明题（本题4分）证明等式。微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。1函数及其图形本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们只是把它们联系起来复习一下。11函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x和y，如果每当变量x取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y的对应值，我们就称y是x的函数，并记作y=f（x）， （A1）其中x叫做自变量，y叫做因变量，f是一个函数记号，它表示y和x数值的对应关系。有时把y=f（x）也记作y=y（x）。如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号，如j（x）、（x）等等。常见的函数可以用公式来表达，例如ex等等。在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a、b、c等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量。在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量。当y=f（x）的具体形式给定后，我们就可以确定与自变量的任一特定值x0相对应的函数值f（x0）。例如：（1）若y=f（x）=3+2x，则当x=-2时y=f（-2）=3+2（-2）=-1一般地说，当x=x0时，y=f（x0）=3+2x012函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系，这种方法对于我们直观地了解一个函数的特征是很有帮助的。作图的办法是先在平面上取一直角坐标系，横轴代表自变量x，纵轴代表因变量（函数值）y=f（x）这样一来，把坐标为（x，y）且满足函数关系y=f（x）的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线，它描绘出函数的面貌。图A-1便是上面举的第一个例子y=f（x）=3+2x的图形，其中P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线。图A-2是第二个例子各点连接成双曲线的一支。13物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的。下面我们举几个例子。（1）匀速直线运动公式s=s0vt， （A2）此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s随时间t变化的规律，在这里t相当于自变量x，s相当于因变量y，s是t的函数。因此我们记作s=s（t）s0vt， （A3）式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值。图A-3是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线。下面我们将看到，它的斜率等于v（2）匀变速直线运动公式v=v0at， （A5）两式中s和v是因变量，它们都是自变量t的函数，因此我们记作vv（t）v0tat （A7）图A-4a、4b分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线。（A6）和（A7）式是匀变速直线运动的普遍公式，式中初始位置s0、初速v0和加速度a都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问题来具体化。例如在讨论自由落体问题时，如果把坐标原点选择在开始运动的地方，则s00，v00，ag9.8ms2，这时（A6）和（A7）式具有如下形式：vv（t）gt （A9）这里的g可看作是绝对常量，式中不再有任意常量了。（3）玻意耳定律PVC （A10）上式表达了一定质量的气体，在温度不变的条件下，压强P和体积V之间的函数关系，式中的C是任意常量。我们可以选择V为自变量，P为因变量，这样，（A10）式就可写作它的图形和图A-2是一样的，只不过图中的x、y应换成V、P在（A10）式中我们也可以选择P为自变量，V为因变量，这样它就应写成由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的。（4）欧姆定律UIR （A13）当我们讨论一段导线中的电流I这样随着外加电压U而改变的问题时，U是自变量，I是因变量，R是常量。这时，（A13）式应写作即I与U成正比。应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是绝对的。例如，当我们讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时，由于通过各元件的电流是一样的，（A13）式中的电流I成了常量，而R是自变量，U是因变量，于是UU（R）IR， （A15）即U与R成正比。但是，当我们讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时，由于各分支两端具有共同的电压，（A13）式中的U就成了常量，而R为自变量，I是因变量，于是即I与R成反比。总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量，有时公式本身反映不出来，需要根据我们所要讨论的问题来具体分析。2导数21极限如果当自变量x无限趋近某一数值x0（记作xx0）时，函数f（x）的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做xx0时函数f（x）的极限值，并记作（A17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A17）式读作“当x趋近x0时，f（x）的极限值等于a”。极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义。考虑下面这个函数：这里除x1外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当但是若问x1时函数值f（1）？我们就会发现，这时（A18）式的说是没有意义的。所以表达式（A18）没有直接给出f（1），但给出了x无论如何接近1时的函数值来。下表列出了当x的值从小于1和大于1两方面趋于1时f（x）值的变化情况：表A-1 x与f（x）的变化值x3x2-x-2x-10.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.014.970.999-0.004997-0.0014.9970.9999-0.0004997-0.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003从上表可以看出，x值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值5，这便是x1时f（x）的极限值。其实计算f（x）值的极限无需这样麻烦，我们只要将（A18）式的分子作因式分解：3x2-x-2（3x2）（x-1），并在x1的情况下从分子和分母中将因式（x1）消去：即可看出，x趋于1时函数f（x）的数值趋于3125。所以根据函数极限的定义， 22几个物理学中的实例 （1）瞬时速度当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点O的距离s来描述。在运动过程中s是随时间t变化的，也就是说，s是t的函数：ss（t）函数s（t）告诉我们的是这个物体什么时刻到达什么地方。形象一些说，假如物体是一列火车，则函数s（t）就是它的一张“旅行时刻表”。但是，在实际中往往不满足于一张“时刻表”，我们还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率的概念。例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，等等。为了建立速率的概念，我们就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况。假设我们考虑的是从tt0到tt1的一段时间间隔，则这间隔的大小为tt1-t0根据s和t的函数关系s（t）可知，在t0和t1t0+t两个时刻，s的数值分别为s（t0）和s（t1）s（t0+t），即在t0到t1这段时间间隔里s改变了ss（t1）s（t0）s（t0+t）s（t0）在同样大小的时间间隔t里，若s的改变量s小，就表明物体运动得慢， 举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A4）式有所以体在tt0时刻的瞬时速率v，即对于匀变速直线运动来说，这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A5）。（2）瞬时加速度一般地说，瞬时速度或瞬时速率v也是t的函数：vv（t）但是在许多实际问题中，只有速度和速率的概念还不够，我们还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度”的概念。类似。在直线运动中，首先取一段时间间隔t0到t1，根据瞬时速率v和时间t的函数关系v（t）可知，在tt0和tt1两时刻的瞬时速率分别为v（t0）和v（t1）v（t0+t），因此在t0到t1这段时间间隔里v改变了v=v（t0+t）-v（t0）举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A5）式有所以平均加速度为时的极限，这就是物体在tt0时刻的瞬时加速度a：（3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把x坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图A-5），于是各处渠底的高度h便是x的函数：h=h（x）知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。在修建水渠的时候，人们经常运用“坡度”的概念。譬如说，若逆水渠而上，渠底在100m的距离内升高了20cm，人们就说这水渠的坡度是大小反映着高度随长度变化的快慢程度。如果用数学语言来表达，我们就要取一段水渠，设它的两端的坐标分别为x0和x1，于是这段水渠的长度为xx1-x0根据h和x的函数关系h（x）可知，在x0和x1=x0+x两地h的数值分别为h（x0）和h（x1）h（x0+x），所以在x这段长度内h改变了hh（x0+x）-h（x0）根据上述坡度的定义，这段水渠的平均坡度为在前面所举的数字例子里，x采用了100米的数值。实际上在100米的范围内，水渠的坡度可能各处不同。为了更细致地把水渠在各处的坡度反 就愈能精确地反映出x=x0这一点的坡度。所以在x=x0这一点的坡度k应是 23函数的变化率导数 前面我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是t，第三个例子中自变量是x这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往还需要有“运动”或“变化”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，亦即，函数的“变化率”概念。当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量。增量，通常用代表变量的字母前面加个“”来表示。例如，当自变量x的数值由x0变到x1时，其增量就是xx1-x0 （A25）与此对应。因变量y的数值将由y0f（x0）变到y1=f（x1），于是它的增量为yy1-y0=f（x1）f（x0）f（x0+x）f（x0）（A26）应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少。增量比可以叫做函数在xx0到xx0+x这一区间内的平均变化率，它在x0时的极限值叫做函数yf（x）对x的导数或微商，记作y或f（x），f（x）等其它形式。导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率。应当指出，函数f（x）的导数f（x）本身也是x的一个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫做函数yf（x）据此类推，我们不难定义出高阶的导数来。有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为： 24导数的几何意义 在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的。如图A-6所示，为了确定曲线在P0点的切线
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