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4.2.2最大值、最小值问题【学习目标1.理解函数最值概念，了解其与函数极值区别与联系.2.会求某闭区间上函数最值.EI问题导学知识点 函数最大(小)值与导数如图为y=f(x), xCa, b图像.思考1观察a, b上函数y=f(x)图像，试找出它极大值、极小值 .答案 极大值为f(X1), f(X3),极小值为f(X2), f(X4).思考2结合图像判断，函数 y=f(x)在区间a, b上是否存在最大值，最小值？假设存在， 分别为多少？答案 存在，f (x)min=f (a) , f(x)max= f3).思考3函数y= f(x)在a, b上最大(小)值一定是某极值吗？答案 不一定，也可能是区间端点函数值.梳理(1)函数最大(小)值存在性一般地，如果在区间a, b上函数y= f(x)图像是一条连续不断曲线,那么它必有最大值与最小值.(2)求函数y=f(x)在闭区间a, b上最值步骤：求函数y=f(x)在(a, b)内极值;将函数y=f(x)各极值与端点处函数值 f(a), f(b)比拟，其中最大一个是最大值，最小一命题角度1不含参数函数求最值例1求以下函数最值：3_(1) f(x) =2x -12x, xC 2, 3;,1(2) f (x) = 2x+sin x, xC0, 2兀.3解(1)因为 f (x) = 2x -12x,所以 f (x) =6x212=6(x+啦)(x也)，令 f (x)=0,解得 x=-* 或 x = 42.因为 f(2)=8, f(3) =18, f(娘)=8媳，f(一小)=8*;所以当x=42时，f(x)取得最小值一8平；当x = 3时，f(x)取得最大值18.1(3) f (x) = 2+ cos x,令 f ( x) = 0,又 x C 0 , 2 兀,解得x=等或x =. 33因为 f(0) = 0, f (2 兀)=兀，f (告)=当, 332f冷=芋一孚所以当x=0时，f(x)有最小值0；当x = 2兀时，f(x)有最大值 兀.反思与感悟求解函数在固定区间上最值，需注意以下几点(1)对函数进展准确求导，并检验 f (x) = 0根是否在给定区间内.(2)研究函数单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比拟极值与端点函数值大小，确定最值.跟踪训练1求函数f(x) = ex(3x2), xC2, 5最值.解.f (x) = 3ex- exx2, f (x) = 3ex (e xx2 + 2exx) = ex(x2+ 2x 3)=-ex(x+3)( x-1). 在区间2, 5上，f (x) =ex(x+3)( x1)3时，f(x)在0 , 2上是减少, 3从而 f(x)max= f (0) =0.,2a r,当 02,即 0a3 时，2a2a%f (x)在0, -3上是减少，在-3, 2上是增加，8 4a从而 f(x)max=00a 2,2a38-4aa2反思与感悟 由于参数取值不同会导致函数在所给区间上单调性变化，从而导致最值变化所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式知识进展求解.跟踪训练2 a为常数，求函数 f(x) =x3+3ax(0wxwi)最大值.解 f (x) = 3x2+3a= 3(x2a).假设aw 0,那么f (x)w0,函数f(x)在0, 1上是减少, 所以当x=0时，f(x)有最大值f(0) =0；假设a0,那么令f (x) = 0,解得x=qi由x e 0, i,那么只考虑x=ya情况.当0班1,即0a/a；当,1,即al时，f (x)0,函数f(x)在0, 1上是增加，当x=1时，f (x)有最大值 f(1) =3a 1.综上，当a0, x=0时，f(x)有最大值0;当 0a1, x=1时，f(x)有最大值3a-1.类型二由函数最值求参数例3 设函数f(x) = ln x+m； m0,求f (x)最小彳I为2时m值.一 ， x- m解因为 f (x)=-(x0), x所以当xe(。，m时，(x)0, f(x)在(mj + 8)上是增加，所以当x=m时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为 2.即 f ( m = ln m m= 2, m所以m= e.反思与感悟 函数在某区间上最值求参数值(范围)是求函数最值逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数单调性及极值点，探索最值点，根据最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想应用.跟踪训练3 设f (x) = ：x3+；x2+2ax.当0a2时，f(x)在1,4上最小值为一 ?，求f(x) 323在该区间上最大值1 + 1+ 8a解 f ( x) = x2+x+2a,令 f (x)=0,得两根 xi=2，x2=当 xC(8, xi) , (x2, +0)时，f (x)0 ,所以f(x)在(8, xi) , (x2, +8)上是减少，在(xi, x2)上是增加 当 0a2 时，有 xiix24,所以f(x)在i , 4上最大值为f(x2).27口又 f(4) -f(i)=万+6a0,即 f(4)0)等价于 ln x- x0；当 xl 时，g (x)W0, x= 1 是g(x)最大值点，g(x)Wg(1) =- 1.综上可知，a取值范围是1, +8 ).反思与感悟“恒成立问题向最值问题转化是一种常见题型，对于不能别离参数恒成立问题，直接求含参函数最值即可.一般地，可采用别离参数法.入f(x)恒成立？入f(x)max；入wf(x)恒成立？入 w f ( x) min.跟踪训练4函数f(x)=ax4ln x+bx4c(x0)在x= 1处取得极值3c,其中a, b, cx0,不等式f(x)2c2恒成立，求c取值范围.解由题意，知f (1) =- 3-c.因此 b c=-3c,从而 b=3.所以对f(x)求导，得f (x) = 4ax3ln x+ ax4 - - - 12x3 x=x3(4 aln x+a12).由题意，知f (1) = 0,即 a12=0,得 a= 12.所以 f (x)=48x3ln x(x0),令 f (x) = 0,得 x = 1.当0vxv1时，f (x)V0,此时f(x)为减函数；当x1时，f (x) 0,此时f (x)为增函数.所以f(x)在x= 1处取得极小值f (1) = 3-c,并且此极小值也是最小值.所以要使f (x) A2c2(x0)恒成立，只需一3c拉2c即可.整理，得 2c2- c-30, 一 3 .斛付cn 2或c 一 1.一3所以c取值范围是(一, 1 u 2，+ 31当堂训练f (x) = X2+ 4x+ 7,在x C 3 , 5上最大值和最小值分别是 (A.f(2) , f(3)C.f(2) , f(5)答案 B解析.(x) = 2x + 4,当 xC 3 , 5时，f (x)0 ,故f (x)在3 , 5上是减少，故f (x)最大值和最小值分别是f(3) , f(5).f (x)=x3-3x(| x|1)()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值答案 D2一解析 f ( x) =3x 3= 3(x+1)( x1),当 1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，应选 f (x) =x3-3ax-a在(0 , 1)内有最小值，那么A.0 ,1)C.( -1, 1)B.f(3) , f(5)D.f(5) , f(3)xC( 1, 1)时,f (x)0,又.xC(0, 1),.0a0恒成立，那么 m取值范围是()3A.mT 23B.m2cm 2c 3D.m0恒成立，得f(x)9恒成立，即 3m二一 9, 1-.22f(x)=2x39x2+12x+8c,假设对任意xC 0 , 3,都有f(x)0;当 xC(1 , 2)时,f (x)0.，当 x= 1 时，f(x)取极大值 f(1) =5+8c.又 f (3) =9+ 8cf(1),，当 xC 0, 3时，f (x)最大彳1 为 f (3) =9+8c.对任意x0, 3,有f(x)c2恒成立， 29+ 8cc ,即 c9.故c取值范围为(8, - 1) U(9, +8).规律与方法1 .求函数在闭区间上最值，只需比拟极值和端点处函数值即可；假设函数在一个开区间内只有一个极值，那么这个极值就是最值.2 .最值求参数时，可先确定参数值，用参数表示最值时，应分类讨论3 .“恒成立问题可转化为函数最值问题.40分钟课时作业一、选择题兀y = xsin x, xC,兀最大值是()兀A.兀1B. 2 1C.兀D.兀+ 1答案 C解析 y =1cos x0,故y=xsin x在-2,兀上是增加，所以当 x=兀时，ymax=兀.f(x), g(x)均为a, b上可导函数，在a, b上连续且f (x)g (x),那么f(x)g(x)最大值为()A.f (a) g( a)B.f(b)g( b)C.f(a) g( b)D.f(b)g( a)答案 A解析 令 F(x) = f (x) g(x) , f (x)g，(x), F (x) =f (x) g (x)0 , .F(x)在a, b上单调递减,F(x)max= Ra) =f (a) g(a).2 一，15 y = -x 2x+3在区间a, 2上取大值为,那么a等于()1B.21C.-213Dq或-2答案 C解析 当aw 1时，最大值为4,不符合题意.当1a1 对 x (1+ 8)恒成立，那么实数 a取值范围是()A.( 8, 1)B.( 8, 1C.(1+ 0)D.1 , +oo)答案解析f (x)1 ,即 ax In x11 + ln x a,人1+ln x令 g(x)=-一, xln x那么一丁x(1 , +8),，g (x)o,那么 g(x) 1.f (x) =x3m1+1在2, 1上最大值就是f(x)极大值，那么 m取值范围为()A.( 6, - 3)B. 6, - 3c 303C. 3，- 2D. -3,-答案 D解析 f (x) = 3x2 2mx= 3x( x 等,2m令 f(x)=0,得 x1=0, x2=,3由题意知 |m20,故 tmin=20.1B.- 2x=t与函数f (x) =x2,g(x) = In x图像分别交于点 M N,那么当| MN到达最小时t值为()A.1C C. 2答案 D解析由题意画出函数图像如下图，由图可以看出|MN=y=t2ln t(t0).当0t,y 0,可知y在（勺，+）上是增加.故当t =,| MN有最小值.、填空题f(x)4x一 ,，一用（X2, 2）最大值是答案 22解析,4X2+1 4xX2xf (x)=x2rr1- X21 -XX2+12令 f (x)=0,得 Xi = 1, X2= 1.由 f(2)= I，f( 1) = 2, f(1) =2, f(2) =|, 55得 f(X)max= 2, f(X)min= 2.、,x+1 2a0,假设函数 f(x) =xa在1,1上最大值为2,那么实数a值为答案 1.1, 0，口,2 x+1 a x解析求导得f(x)=-x2+a 2，令 f (x) = 0,可得 x = 1 或 x= a,又 f( 1)=0, f(a) = 1 + 1, f(1) =, a1 r a假设十1：2,那么有a=1;假设 3 = 2,那么也有a=1, a1 + a因此a= 1.f (x) = x3+ax24在x= 2处取得极值，假设 m nC 1,1,那么f(n)+f (n)最小值是.答案 -132斛析 f(x)= 3x+2ax,由题意知f (2) = 0,得a=3, .f (x) = X3 + 3X2-4,令 f (x) =3x2+6x= 3x(x2) = 0,解得xi= 0, x2=2(舍去)，- f(-1) =0, f(0) =4, f(1) =-2, .f (x)min = 4, f (x) =3x2+6x=3(x1)2+3,f( x) min=f ( 1) = 9, .f(m + f (n)最小值是4-9=- 13.f (x) = ax44ax2+b( a0, 1w xW2)最大值为3,最小值为-5,那么 a =, b=答案 2 3 32解析 f (x)=4ax8ax= 4ax(x2), a0, xC1 , 2, 当 xC (1 ,艰)时，f (x)0, . f ( x) min = f ( yJ2) = b 4a = 5 ,f(x)max= f (2) = b= 3,由可得a = 2, b= 3.三、解答题f (x) =x3- ax2+ 3x.(1)假设f (x)在1 , +8)上是增函数，求实数a取值范围；(2)假设x=3是f(x)极值点，求f(x)在1 , a上最大值和最小值 2解(1) f (x) = 3x2ax+ 3, .x 1 , +8)时 f (x)0 恒成立，31,一 . .，aW ；( x+ -) min =3(当且仅当x= 1时取取小值). 2x a w 3.(2)由题意知 f (3) = 0,即 27-6a+3 = 0, ，a=5, f(x) =x35x2+3x, f (x) = 3x210x+3.令 f (x)=0,得 xi=3, x2=，舍去). 3当 1x3 时，f (x)0,当 3x0, 即当x= 3时，f(x)取极小值f(3) =- 9.又 f(1) = 1, f(5) =15, .f (x)在1 , 5上最小值是一9,最大值是15.f(X) =ln x, g(x) = f(x) +(x).求g(x)单调区间和最小值；，一1, _八(2)求a取值氾围，使得 g( a) - g( x)0成立. a解(1)由题设知f(x)定义域为(0, +8),f (x) = 1,所以 g(x) = ln x + 1, xxx 1所以g (x)=k. x令 g (x) = 0,得 x= 1,当 xC(0, 1)时,g (x)0 ,故(1 , +8)是g(x)单调递增区间.因此x= 1是g(x)在(0, +8)上唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 g(1) =1.一，1 ,一 ，、(2)因为g(a) g(x)0成立， a即ln a0成立.由(1)知，g(x)最小彳直为1,所以ln a1,解得0ae.
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