实对称矩阵的对角化.ppt

5.4实对称矩阵的对角化,除第三章第二节介绍的概念和性质之外,共轭矩阵还有以下性质:,(7),(8),当A为实对称矩阵时,(9),当且仅当,时等号成立.,若,则,若复矩阵A可逆,实对称矩阵是一类很重要的可对角化的矩阵,它的特征值和特征向量具有下列性质:,性质1,实对称矩阵A的特征值都是实数.,证明:,P使,由,得,因,所以,故,当特征值为实数时,齐次线性方程组,是实系数线性方程组,基础解系,性质2,实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的.,所以对应的特征向量可取实向量.,证,即有,则,因此,而,故有,性质3,证明略.,一般n阶矩阵未必能与对角矩阵相似,而实对称矩阵则一定能与对角矩阵相似.,定理6,设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵,P使得,其中,为A的n个特征值。,证,设A的互不相同的特征值为,根据性质1和性质3知，,对应于特征值,把它们标准正交化，,特征向量组，,特征向量共有n个，,并有,其中,为A的n个特征值。,这样的,特征值的特征向量是正交的，,向量两两正交，以它们为列向量构成正交矩阵P，,又由性质2知，,A的属于不同,故这n个单位特征,由定理6可知，实对称矩阵的对角化问题，实质上是求正交矩阵P的问题，计算P的步骤如下：,（1）,（2）,求出齐次线性方,标准正交的特征向量，,求出实对称矩阵A的全部特征值,对于各个不同的特征值,对基础解系,这个向量组所含向量,（3）,（4）,则P为正交矩阵且使得,为对角阵，对角线上的元素为,相应特征向量的特征值。,取,例13,解,得特征值,对于,由,即,解得基础解系为,单位化得单位特征向量,对于,由,即,解得基础解系为,因为该基础解系中的两个向量恰好正交，只要单位化即得两个正交的单位特征向量：,于是可得正教矩阵,使得,注意：,在此例中对应于特征值,若求得方程组,的基础解系不正交，,则须把它们标准正交化，,例如为,即取,再单位化得,取,可以验证，仍有,此例说明所求正交矩阵不唯一。,