高中平面几何常用定理总结

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）（1）锐角对边的平方,等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍.（2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的 一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 .射影定理（欧几里得定理）的中点为P,则有3.中线定理（巴布斯定理）设么 ABC的边BCAB2 AC2 =2(AP2 BP2);中线咛 2b2 +2c2 a2 ma24 .昌线 长：垂线定理： AB CDu AC 2 AD2 二 BC2BD2.Qhed = ; p(p a)(p b)(p c) = sin A =csin B =bsinC aa5 . 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如八ABC中，AD平分/ BAC贝口 bd=AB ;（外角平分线定理）DC AC角平分线长：2 :一； 一 ：b2bcc吨（其中p为周长 半）.tabcp（p a）_. rb c6. 正弦定理： a b c =2R,（其中R为三角形外接圆半径）sin A sinB sinC7. 余弦定理： c2 = a2 b2 -2abcosC .8.张角定理:sin BAC sin BAD ADAC.sin _DAC AB9.斯特瓦尔特（Stewart ）定设已知 ABC及其底边乎 D则有 AB ? DGAC ? BD- aN? BC= BC- DC- BDB C两点间的一10. 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半 .（圆外角如何转化？）11. 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12. 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线 长定理：）13. 布拉美古塔（ Brahmagupta 定理：在圆内接四边形 ABC 呼， ACLBD 自对角线的交点 P 向一边作垂线，其延长线必平分对边14. 点到圆的幕：设P 为所在平面上任意一点， P （ =d,OO 的半径为r, 则 d2 r2就是点P对于。0的幕.过P任作一直线与。0交于点A B,则PA- PB= |d2 r2| . “到两圆等幕的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一 条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴” 三个圆两两的根轴如果不互相平行，则 它们交于一点，这一点称为三圆的“根心” 三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦 （ 就是两两的根轴 ） 所在直线交于一 点八、?15. 托勒密（ Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积 之和，即AC- BD=AB-CD+AD- BC ，（ 逆命题成立） （广义托勒密定理）ab- cdad ? bo ac- bd16. 蝴蝶定理： AB 是。 O 的弦， M 是其中点，弦CD EF 经过点 M, CF DE 交AB 于 P 、 Q 求证： MPQM17. 费马点： 定理 1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离 定理 2 三角形每一内角都小于120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120 ，该点到三顶点距离和达到最小， 称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点18. 拿破仑三角形：在任意aABC勺外侧，分别作等边ABDABCEACAF则 AE AB CD 三线共点，并且AE= BF = CD 这个命题称为拿破仑定理. 以 ABC勺三条边分别向外作等边么 ABD BCE CAF它们的外接圆。C、 OA、OB的圆心构成的外拿破仑的三角形,O C、OA、OB三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形； ABC的三条边分别向Z.ABC的内侧作等边 ABD BCE CAF它们的外接圆 O G、OA、O B2的圆心构成的内拿破仑三角形 ，O G、OA、OB2三圆共点，内 拿破仑三角形也是一个等边三角形 . 这两个拿破仑三角形还具有相同的中 心.19. 九点圆（ Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆） ：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足， 以及垂心与各顶点连线的中点， 这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质 , 例如 :（ 1） ）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 ;（ 2） 九点圆的圆心在欧拉线上 , 且恰为垂心与外心连线的中点 ;（ 3） 三角形的九点圆与三角形的内切圆 , 三个旁切圆均相切费尔巴哈定理 .20. 欧拉（ Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线 （ 欧拉线 ） 上 .21. 欧拉 （ Euler ） 公式：设三角形的外接圆半径为 R, 内切圆半径为r, 外心与内心的距离为d,则d2二R 2Rr.22. 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和.23. .重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2: 1的两部分；g( XA* % yA5 +yc)33重心性质：(1)设G ABC勺重心，连结AG并延长交BC于D,则D为BC 的中点)贝 y AG : GD =2:1 ；(2) 设ABC勺重心，则 SABG ZZ. SBCG =S ACA =-S ABC ；3(3) 设 ABC的重心，过 G作DE/ BC交 AB于D,交 AC于E,过G作 PF/ AC 交 AB于 P,交 BC于F,过 G作 HK/ AB交 AC于 K,交BC 于 H,则 de 二王二二匹 fP kh；BC CA AB 3 BC CA AB(4) 设ABC勺重心，则 BC2 3GA2 =CA2 3GB2=AB2 3GC2 ； GA2 GB2 GC2=1(AB 2 BC2CA2); 3 pa2 PB2 PC2-GA2 GB2 GC2 3PG 2 ( PABC 内任意一点)； 到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA2 GB2 GC2最小；三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然(即满足上述条件之一，则ABC勺重心).abcabcXaXbXcyAyByccos A cos B cos CH ( cos A cos B cos C a b cab c+ + -+ + cos A cos B cos C三角形的三条高线的交点cos A cos B cos C垂心性质：(1)三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；(2) 垂心H关于 ABC的三边的对称点，均在 ABC勺外接圆上；(3) 4 ABC勺垂心为 巴则么ABC人ABH BCH A ACH的外接圆是等圆；(4) )设O , H分别为 ABC的外心和垂心，则.BAO - . HAC ,. CBO - ? ABH , . BCO - . HCA .25 .内心：三角形的三条角分线的交点一内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；i 严人 +bxb +cxc ayA +by b +cyc) a b c , a b c内心性质：(1)设I ABC勺内心，则I至亿ABC三边的距离相等，反之亦然；(2) 设I为 ABC的内心，则111BIC =90 A AIC =90 B, AIB =90C ;2 2 2(3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若 A平分线交Z. ABO接圆于点K I为线段AK上的点且满足KI=KB贝S I ABC勺内心；(4)设I ABC勺内心，BC =a,AC =b,AB =c, . a平分线交 BC于。，交4 ABC外接圆 于点K,则理二竺二竖=山；ID KI KD a(5)设I为A ABC勺内心)BC二a, AC二b,AB =c, |在BC,AC,AB上的射影分别为D,E,F ,内切圆半径为 r ,令 p=2(a b? c),则S 漳 pr ； AE 二 AF 二 p -a; BD 二BF 二 p -b;CE 二 CD 二 p -c ； abcr 二 p AI BI CI .26 . 外心：三角形的三条中垂线的交点一一外接圆圆心，即外心到三角形 各顶点距离相等；sin2Ax a sin 2Bx B sin 2Cx c sin2Ay a sin2By b sin 2Cy csin 2A+sin2B+sin2C sin2A+sin 2B+sin 2C )外心性质： ( 1) 外心到三角形各顶点距离相等；(2)设 0 为 4 ABC 的外心，贝口？ BOC =2. A 或.BOC =3602. A ；(3) R=匹；(4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其 4 s 内切圆与外接圆半径之和 .27.旁心：一内角平分线与两外角平分线交点一一旁切圆圆心；设么ABC的三边BC -a, AC二b,AB =c,令p =_Lb c),分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切圆 2圆心记为I a,Ib,Ic,其半径分别记为rA,rB,rc.旁心性质：(1) ?BIaC=90 - ? A, ? BIbC =/BIcCA,(对于顶角 B, C 也有 2 2类似的式子 ) ；(2)? I AIBIC =； ( A C) ；(3)设AIa的连线交Z. ABC的外接圆于D则DIa二DB=DC (对于BIb,CIc有同样的结论 ) ；(4)A ABC AA IaIbIc的垂足三角形，且Z.IaIbIc的外接圆半径R等于 ABC2R28 . 三S ABC =1aha =2absinC = 2R2sin Asin BsinC =4R4(cot A+cot B+cotC)=pr = p(p _a)( p _b)(p-c),其中ha表示BC边上的图，R为外接圆半径,r 为内 切圆半径， p =1 (a b c) ?229 . 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系旁切圆和外接圆半径的相互关系BC CA AB 或其延长线=4RcosAcos八sinC ;2 2 2r =4Rs/sinBsinC ； ra =4Rsin AcosBcosC, RcosAsinB cosC , 2 22 2 2 2 22 2rrr 1.1.1BC ,rb = ACrc A B tan tan - 2 ra rbtan tantan tan 222 2230.梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设八ABC勺三边和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、 Q 、 R 则有BP CQ AR _ 1PC QA RB 一（ 逆定理也成立）31 .梅涅劳斯定理的应用定理 1 :设八ABC勺/A 的外角平分线交边CA 于 Q/ C 的平分线交边AB 于 R / B 的平分线交边CA 于 Q 则 P、 Q R 三点共线.32 .梅涅劳斯定理的应用定理 2:过任意 ABC勺三个顶点A B C作它的外接圆的切线，分别和 BC CA AB 的延长线交于点 P、 Q R, 则 P、 Q R 三点共线.33.塞瓦（Ceva定理：设X、Y、Z分别为 ABCBC CA AB 上的一点 ,则 AX BY CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ BX CY? ? =1 ZBXC YA34.塞瓦定理的应用定理：设平行于么 ABC勺边BC的直线与两边 AB AC的交点分别是D E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中点M35. 塞瓦定理的逆定理： （略）36. 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点， 三角形 的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37. 塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设Z. ABC的内切圆和边 BC CA AB分别相切于点 R S T , 则 AR BS CT 交于一点 .38. 西摩松（Simson ）定理：从么ABC的外接圆上任意一点P向三边BC CAAB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D E R, 则 D E 、 R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line ） .39. 西摩松定理的逆定理： （略）40. 关于西摩松线的定理ABC 的外接圆的两个端点P 、 Q 关于该三角 形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上 .41. 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有 4 点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点 .42. .史坦纳定理：设么ABC勺垂心为H其外接圆的任意点 P这时关于么ABC的点 P 的西摩松线通过线段PH 的中心 .43. 史坦纳定理的应用定理： ABC的外接圆上的一点P的关于边BC CAAB的对称点和 ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上 .这条 直线被叫做点P关于 ABC的镜象线.44. 牛顿定理 1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线. 这条直线叫做这个四边形的牛顿线.45. . 牛顿定理 2: 圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点 共线 .46. 笛沙格定理1:平面上有两个三角形 ABC DEF设它们的对应顶点（A和D B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.47. 笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形ABC A DEF设它们的对应顶点（A和D B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.48. 波朗杰、腾下定理：设么 ABC的外接圆上的三点为 P、Q R,则P、QR关于 ABC交于一点的充要条件是：弧 AF+弧BQ 弧CF=0 （mod2 ）.49. 波朗杰、腾下定理推论1:设P、Q RABC勺外接圆上的三点，若P、Q R关于 ABC勺西摩松线交于一点，则 A B C三点关于么PQR勺的西摩松线交于与前相同的一点 .50. 波朗杰、腾下定理推论2: 在推论 1 中，三条西摩松线的交点是A、 B 、 CP 、 Q R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点 .51. .波朗杰、腾下定理推论 3:考查 ABC勺外接圆上的一点 P的关于 ABC的西摩松线，如设QF 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点 P 、 Q R 的关于 ABC勺西摩松线交于一点.52. .波朗杰、腾下定理推论 4:从么ABC的顶点向边BC CA AB引垂线，设垂足 分别是D E、F,且设边BC CA AB的中点分别是L、M N,则D E、F、L、M N六 点在同一个圆上，这时 L、M N点关于关于 ABC勺西摩松线交于一点.53. 卡诺定理：通过么 ABC勺外接圆的一点 P,引与 ABC的三边BC CA AB分 别成同向的等角的直线PD PE PF, 与三边的交点分别是D E 、 F, 则 D 、 E 、 F三点共线 .54. 奥倍尔定理：通过 ABC勺三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与 ABC勺外接圆的交点分别是 L、M N在公ABC勺外接圆上取一点P,则PL、PM PNABC勺三边BC CA AB 或其延长线的交点分别是 D E、F,则D 、 E 、 F 三点共线 .55. 清宫定理：设P、 QABC 勺外接圆的异于 A B C 的两点， P 点的 关于三边BC CA AB 的对称点分别是 U V W 这时， QU QV Q 何口边 BC CA AB 或其延长线的交点分别是D E、 F, 则 D E、 F 三点共线 .56. 他拿定理：设P、Q为关于 ABC勺外接圆的一对反点，点P的关于三 边BC CA AB 的对称点分别是 U V V ， 这时，如果 QU QV QV 和边 BC CA AB或其延长线的交点分别是D E、 F, 则 D E、 F 三点共线 . （反点： P、 Q 分别为圆 0 的半径 0C 和其延长线的两点，如果OC =OQ OP 则称 P 、 Q 两点关于圆0 互为反点）57. 朗古来定理：在同一圆周上有 A 、 B 、 C 、 D 四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点 P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从 P向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上58. 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线， 这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心59. 一个圆周上有n 个点，从其中任意n 1 个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点60. 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n 2 个点的重心向 余下两点的连线所引的垂线共点61. . 康托尔定理2: 个圆周上有A B、 C D 四点及 M N 两点，贝 S M 和 N 点关于四个三角形 BCD A CDAA DAB A ABC中的每一个的两条西摩松 线的交 点在同一直线上.这条直线叫做 M N两点关于四边形 ABC 口的康托 尔线.62. . 康托尔定理3: 个圆周上有A、 B 、 C D 四点及 M N L 三点，贝 S M N 两点的关于四边形ABC 口的康托尔线、L、N两点的关于四边形 ABCD勺康托尔线、 M L 两点的关于四边形ABC 的康托尔线交于一点 . 这个点叫做M N L 三点关于四边形ABC 口的康托尔点.63. 康托尔定理4: 一个圆周上有A、 B 、 C D E 五点及 M N L 三点，则M N L 三点关于四边形BCDE CDEA DEAB EAB （中的每一个康托尔点在一条直线上 . 这条直线叫做M N L 三点关于五边形A、 B 、 C D E 的康 托尔线 .64. 费尔巴赫定理: 三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切 .65. 莫利定理 : 将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形 . 这个三角形常被称作莫利正三角形 .66. 布利安松定理：连结外切于圆的六边形 ABCDE 相对的顶点 A 和 D B 和 E 、 C 和 F, 则这三线共点 .67. 帕斯卡（ Paskal ）定理：圆内接六边形 ABCDE 相对的边 AB 和 DE BC 和 EF CD 和 FA 的（或延长线的）交点共线.68.阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点 A、B的距离之比为定比 m n（值不为1）的点P,位于将线段AB分成m n的内分点C和外分点D为直径两 端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.69 .库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中 任三点 作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆.70 . 密格尔（Miquel）点：若 AE AF ED FB 四条直线相交于 A、B、C D E F 六点，构成四个三角形，它们是么ABF AED BCE DCF贝S这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点.71 . 葛尔刚（Gergonne点： ABC的内切圆分别切边 AB BC CA于点DE、F,则AE BF CD三线共点，这个点称为葛尔刚点.72 . 欧拉关于垂足三角形的面积公式：0是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式:S.dej |R2 d2| .S AB c