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第二章 点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析 本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上,以长方体为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中点、直线、平面之间的位置关系;通过大量图形的观察、实验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,初步体验公理化思想,培养逻辑思维能力,并用来解决一些简单的推理论证及应用问题. 本章主要内容:2.1点、直线、平面之间的位置关系,2.2直线、平面平行的判定及其性质,2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看,在平面基本性质的基础上,由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面,都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开,依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质;直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质. “平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在:空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化. 本章教学时间约需12课时,具体分配如下(仅供参考):2.1.1平面约1课时2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系约1课时2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系约1课时2.1.4平面与平面之间的位置关系约1课时2.2.1直线与平面平行的判定约1课时2.2.3直线与平面平行的性质约1课时2.2.22.2.4平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质约1课时2.3.1直线与平面垂直的判定约1课时2.3.2平面与平面垂直的判定约1课时2.3.3直线与平面垂直的性质约1课时2.3.4平面与平面垂直的性质约1课时本章复习约1课时2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面整体设计教学分析 平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.三维目标1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.重点难点 三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入) 大家都看过电视剧西游记吧,如来佛对孙悟空说:“你一个跟头虽有十万八千里,但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心,孙悟空可以看作是一个点,他的运动成为一条直线,大家说如来佛的手掌像什么?对,像一个平面,今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体(图1),你能发现长方体的顶点、棱所在的直线,以及侧面、底面之间的关系吗?图1 长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的,有些面是相交的;有些棱所在的直线与面平行,有些棱所在的直线与面相交;每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢?本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题怎样理解平面这一最基本的几何概念;平面的画法与表示方法;如何描述点与直线、平面的位置关系?直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内?直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内?根据自己的生活经验,几个点能确定一个平面?如果两个不重合的平面有一个公共点,它们的位置关系如何?请画图表示;描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言?自己总结三个公理的有关内容.活动:让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下:回忆我们学过的最基本的概念(原始概念),如点、直线、集合等.我们的桌面看起来像什么图形?表示平面和表示点、直线一样,通常用英文字母或希腊字母表示.点在直线上和点在直线外;点在平面内和点在平面外.确定一条直线需要几个点?引导学生观察教室的门由几个点确定.两个平面不可能仅有一个公共点,因为平面有无限延展性.文字语言、图形语言、符号语言.平面的基本性质小结.讨论结果:平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定义的原始概念),只能通过对它描述加以理解,可以用它定义其他概念,不能用其他概念来定义它,因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性,很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).我们的桌面看起来像平行四边形,因此平面通常画成平行四边形,有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面,如图2.平行四边形的锐角通常画成45,且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把它遮挡的部分用虚线画出来,如图3. 图2 图3 平面的表示法有如下几种:(1)在一个希腊字母、的前面加“平面”二字,如平面、平面、平面等,且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4);(2)用平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD(图5);(3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC(图5). 图4 图5下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表:点A在直线a上(或直线a经过点A)Aa元素与集合间的关系点A在直线a外(或直线a不经过点A)Aa点A在平面内(或平面经过点A)A点A在平面外(或平面不经过点A)A直线上有一个点在平面内,直线没有全部落在平面内(图7),直线上有两个点在平面内,则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板,则直尺落在平面内.公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述,我们也可以用符号语言和图形语言(图6)描述. 空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示:若Aa,Ba,且A,B,则a. 图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若Aa,Ba,且A,B,则a.如图(图7).在生活中,我们常常可以看到这样的现象:三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等. 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.如图(图8).图8公理2刻画了平面特有的性质,它是确定一个平面位置的依据之一.我们用平行四边形来表示平面,那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢?不是,因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的,因为直线是无限延伸的,如果平面是有限的,那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢?所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(课件演示给学生看).问:两个平面会不会只有一个公共点?不会,因为平面是无限延展的,应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的,所以有一个公共点,必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢?可见,这无数个公共点在一条直线上. 这说明,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理3.如图(图9),用符号语言表示为:P,且P=l,且Pl.图9 公理3告诉我们,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交,且其交线一定过这个公共点.也就是说,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有另外一个公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找出了它们的交线. 由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据,还告诉我们所有交点在同一条直线上,并给出了找这条交线的方法.描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.“平面的基本性质”小结:名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据应用示例思路1例1 如图10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动:学生自己思考或讨论,再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视,发现问题及时纠正,并及时评价.解:在(1)中,=l,a=A,a=B.在(2)中,=l,a,b,al=P,bl=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系:(1)A,B,Al,Bl;(2)a,b,ac,bc=P,=c.解:如图11.图112.根据下列条件,画出图形.(1)平面平面=l,直线AB,ABl,EAB,直线EF=F,Fl;(2)平面平面=a,ABC的三个顶点满足条件:Aa,B,Ba,C,Ca.答案:如图12.图12点评:图形语言与符号语言的转换是本节的重点,主要有两种题型:(1)根据图形,先判断点、直线、平面的位置关系,然后用符号表示出来.(2)根据符号,想象出点、直线、平面的位置关系,然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证:过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明:如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B,b上取一点C,根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面,因为A、B在平面内,根据公理1,直线a在平面内,同理直线b在平面内,即平面是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上,A、C在b上,所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2,经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个,所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明:如图14,直线a、b、c、d两两相交,交点分别为A、B、C、D、E、F,图14直线a直线b=A,直线a和直线b确定平面设为,即a,b.B、Ca,E、Fb,B、C、E、F.而B、Fc,C、Ed,c、d,即a、b、c、d在同一平面内.点评:在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题,除公理2外,确定平面的依据还有:(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15,已知=EF,A,C、B,BC与EF相交,在图中分别画出平面ABC与、的交线.图15活动:让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解:如图16所示,连接CB,C,B,直线CB.图16直线CB平面ABC,平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,=EF,D,D平面ABC.A,A平面ABC,平面ABC=直线AD.变式训练1.如图17,AD平面=B,AE平面=C,请画出直线DE与平面的交点P,并指出点P与直线BC的位置关系.图17解:AD和AC是相交直线,它们确定一个平面ABC,它与平面的交线为直线BC,DE平面ABC,DE与的交点P在直线BC上.2.如图18,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8 cm,M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点,图18(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线,以及与平面BB1C1C的交线.(2)设过M、N、P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.解:(1)设M、N、P三点确定的平面为,则与平面AA1B1B的交线为直线MP,设MPA1B1=R,则RN是与平面A1B1C1D1的交线,设RNB1C1=Q,连接PQ,则PQ是所要画的平面与平面BB1C1C的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm,B1R=BM=4 cm,又A1N=4 cm,B1Q=A1N,B1Q=4=(cm).在PB1Q中,B1P=4 cm,B1Q=cm,PQ=cm.点评:公理3给出了两个平面相交的依据,我们经常利用公理3找两平面的交点和交线.例2 已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线.解:如图19,A、B、C是不在同一直线上的三点,图19过A、B、C有一个平面.又AB=P,且AB,点P既在内又在内.设=l,则Pl,同理可证:Ql,Rl,P、Q、R三点共线.变式训练 三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证:这三条直线交于一点. 已知平面、两两相交于三条直线l1、l2、l3,且l1、l2、l3不平行.求证:l1、l2、l3相交于一点.证明:如图20,=l1,=l2,=l3,图20l1,l2,且l1、l2不平行,l1与l2必相交.设l1l2=P,则Pl1,Pl2,P=l3.l1、l2、l3相交于一点P.点评:共点、共线问题是本节的重点,在高考中也经常考查,其理论依据是公理3.知能训练 画一个正方体ABCDABCD,再画出平面ACD与平面BDC的交线,并且说明理由.解:如图21,图21FCD,F平面ACD.EAC,E平面ACD.EBD,E平面BDC.FDC,F平面DCB.EF为所求.拓展提升 O1是正方体ABCDA1B1C1D1的上底面的中心,过D1、B1、A作一个截面,求证:此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解:如图22,连接A1C1、AC,图22因AA1CC1,则AA1与CC1可确定一个平面AC1,易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1,所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又PA1C,得P平面AC1,而P截面AB1D1,故P在两平面的交线上,即PAO1.点评:证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念,其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质,及作用.名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.作业课本习题2.1 A组5、6.设计感想 本节的引入精彩独特,用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征;本节设计了较多的语言转换题目,反复训练学生的读图、作图能力,以及用符号语言表达数学问题的能力,因为这是学好立体几何的基础,是本节的重点;本节的难点是利用三个公理证明共面、共线、共点问题,本节设计了大量题目来突破这一难点,每个题目都精彩活泼难度适中,我相信这是一节值得期待的精彩课例.
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