傅里叶变换的基本概念及基本定理

恩格斯(Engels)把傅里叶傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel)的辩证法相提并论.第三讲第三讲 二维傅里叶变换的基本概念及基本定理二维傅里叶变换的基本概念及基本定理他写道：傅里叶傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗.满足狄氏条件的函数 g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展为三角傅里叶级数:展开系数零频分量,基频,谐频,频谱等概念，奇、偶函数的三角级数展开,)2sin2cos(2)(1000nnnxnfbxnfaaxgtt00)(2dxxgatt00)2cos()(2dxxnfxgantt00)2sin()(2dxxnfxgbn 1 ),.2 ,1 ,0(0tfn1、三角傅里叶级数展开、三角傅里叶级数展开三角傅里叶展开的例子三角傅里叶展开的例子-1.201.2012345)2cos(2x)6cos(32x21前3项的和周期为t=1的方波函数.)6cos(32)2cos(221)(xxxfanfn频谱图 0131/22/-2/3三角傅里叶展开的例子练习练习 1-15：求函数：求函数f(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里叶级数展开系数的傅里叶级数展开系数三角傅里叶展开的例子三角傅里叶展开的例子练习练习 0-15：求函数：求函数g(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里叶级数展开系数的傅里叶级数展开系数周期 t=1宽度=1/212)(24141220dxdxxgattt2sinc4/14/1)2sin()2cos(2)2cos()(2414122nnnxdxnxdxnxxganttt0)2sin()(2220tttdxxnfxgbn频率 f0=1采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。二维傅里叶变换二维傅里叶变换 指数傅里叶级数指数傅里叶级数满足狄氏条件的函数满足狄氏条件的函数 g(x)具有有限周期具有有限周期t t,可以在可以在(-,+)展为展为指数傅里叶级数指数傅里叶级数:1 ),.2,1,0(,)2exp()(00tfnxnfjcxgnn展开系数展开系数tt00)2exp()(1dxxnfjxgcn零频分量零频分量,基频基频,谐频谐频,频谱等概念频谱等概念指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。示方式，一种系数可由另一种系数导出。二维傅里叶变换二维傅里叶变换 指数傅里叶级数指数傅里叶级数思考题思考题利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间的关系：的关系：2 ,2 ,200nnnnnnjbacjbacac二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换函数(满足狄氏条件)具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:)1 2exp()1 2exp()(1)(22xnjdxxnjxgxgnttttt展开系数Cn频率为n/t的分量22)1 2exp()(1)1 2exp()(tttttdxxnjxgCxnjCxgnnnn级谐波频率:n/t相邻频率间隔:1/t 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:)1 2exp()1 2exp()(1lim)(22xnjdxxnjxgxgntttttt由于由于t t 分立的分立的n级谐波频率级谐波频率 n/t t f,f:连续的频率变量连续的频率变量 相邻频率间隔相邻频率间隔:1/t t 0,0,写作写作df,求和求和积分积分)2exp()2exp()()(fxjdxfxjxgdfxg展开系数展开系数,或频率或频率f分量的权重分量的权重,G(f),相当于分立情形的相当于分立情形的Cn二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 写成两部分对称的形式:这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换dxfxjxgfG)2exp()()(dffxjfGxg)2exp()()(二维傅里叶变换二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义及存在条件一、定义及存在条件函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(为函数f(x,y)的傅里叶变换,记作:F(fx,fy)=f(x,y)=F.T.f(x,y),或 f(x,y)F(fx,fy)F.T.f(x,y):原函数,F(fx,fy):像函数或频谱函数dxKfxF),()()(变换核积分变换:傅里叶变换的核:exp(-j2fx)二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续)由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对记作:f(x,y)=-1F(fx,fy).显然 -1 f(x,y)=f(x,y)综合可写:f(x,y)F(fx,fy)F.T.F.T.-1x(y)和 fx(fy)称为一对共轭变量,它们在不同的范畴(时空域或频域)描述同一个物理对象.yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续)描述了各频率分量的相对幅值和相移.x,y,fx,fy 均为实变量，F(fx,fy)一般是复函数,F(fx,fy)=A(fx,fy)e jf(fx,fy)振幅谱位相谱yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数傅里叶变换作为分解式傅里叶变换作为分解式 由逆变换式，可以把函数由逆变换式，可以把函数f(x,y)分解成形式分解成形式为为 的基元的基元xyf xf yNxyyfNyxff arctan()yxffcos,cosxyff2()xyif xf ye 只不过是一个权重因子。只不过是一个权重因子。(,)xyFff22fyxff二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform广义 F.T.对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法.例:g(x,y)=1,在(-,+)不可积对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限原来函数的广义F.T.可定义:g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t)t 则 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t)t 根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:g(x,y)=limt2sinc(tfx)sinc(tfy)=d(fx,fy)t 则 rect(x/t)rect(y/t)=t2sinc(tfx)sinc(tfy)1=d(fx,fy)按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.rect()tx)(sinc )sin()(21)2exp(21)2exp()2exp()(rect2/2/2/2/xxxfjfjxxxxxfffeefjxfjfjdxxfjdxxfjxxxtttttttttt思考题:利用 rect(x)=sinc(f)计算dfff0)sin(重要推论:rect(x)=sinc(fx)例例1 1：求：求 sgn()Fx解解:计算过程分为三个步骤：计算过程分为三个步骤：显然有：显然有：(1)(1)选择适当的函数序列选择适当的函数序列 例如例如 10sgn()lim0010NNxxgxxx/,00,0,0 xNxNexxex()Ng x()NF gx(3)(3)求极限求极限:上式就是符号函数的广义傅里叶变换上式就是符号函数的广义傅里叶变换.2022022()()d dd4 1()(2)xxxif xNxNNxif xif xx NNxxGfF gxgx exeexeexiffN 1sgn()lim()0 xNxNifFxGf 0 xf 0 xf:例例2 2：求：求 ()Fxd解解:(1)(1)选择适当的函数序列选择适当的函数序列2()()NxNfxNe例如选取例如选取显然有：显然有：2limlimNxNNNxfxNed()NF fx(2)(2)求变换求变换22222222()2/(/)()()d =d dxxxxxxif xNxNxNNxif xifNfNNx ifNfNFfF fxNeexNeexNeex令令 ,xyNxifN并利用积分公式并利用积分公式;2202yydydyee容易求得容易求得:2(/)()xfNNxFfe(3)(3)求极限求极限 :由上式取极限最后得到由上式取极限最后得到 ()()1limNNFxFxfd 二、极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T.依F.T.定义:sincos )(tan122ryrxxyyxr空域fffsincos )(tan122yxxyyxffffff频域极坐标变换dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(令:)sin ,cos(),()sin ,cos(),(fffrrfrgFG 则在极坐标中:fff200)cos(2exp)sin,cos()sin,cos(rdrrjrrfdF则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：ffff200200)cos(2exp),(),()cos(2exp),(),(drjGdrgdrrjrrgdG1-7 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 极坐标下的二维傅里叶变换二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换0000)2()(2)()2()(2)(drJGrgdrrJrrgG圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数,称为F-B(傅-贝)变换,记为G()=g(r),g(r)=-1G()drdrjrrgG020)cos(2exp)(),(ff 当 f 具有园对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)=g(r,)=g(r).依F.T.定义:利用贝塞尔函数关系)(2)cos(exp020aJdjaf二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换例:利用F-B变换求圆域函数的F.T.定义:是圆对称函数22 ,01 ,1)(circyxrrr其它100)2(2)(circdrrrJr作变量替换,令r=2r,并利用:xxxJdJ010)()()2()(21)(circ12002JdrrJrr将频谱函数G(f)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换),然后根据g(x)的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质.注意:并非实函数的频谱一定是实函数.只有厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.例:rect(x)(实、偶)sinc(fx)(实、偶)F.T.但是,rect(x-1)(实、非偶)复函数 F.T.二维傅里叶变换2-D Fourier Transform三.虚、实、奇、偶函数的 F.T.二、F.T.定理-F.T.的基本性质1.线性定理 Linearity 设 g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.2.空间缩放 Scaling(相似性定理）g(x,y)+h(x,y)=G(fx,fy)+H(fx,fy)F.T.是线性变换 bfafGabbyaxgyx,1),(二、F.T.定理 空间缩放注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化.反之亦然.g(x)x0 1/21/21g(ax)a=2x01/41/41fG(f)01-11f02-21/2空域压缩F.T.F.T.频域扩展)(1afGax二、F.T.定理 3.位移定理 Shifting g(x-a,y-b)=G(fx,fy)exp-j2(fxa+fyb)设 g(x,y)G(fx,fy),F.T.频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.g(x,y)expj2(fax+fby)=G(fx-fa,fy-fb)空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.推论:由1=d(fx,fy)expj2(fax+fby)=d(fx-fa,fy-fb)复指函数的F.T.是移位的d 函数二、F.T.定理 4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压,则|g(x)|2dx 代表信号的总能量(或总功率)|G(f)|2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)yxyxdfdfffGdxdyyxg22),(),(设 g(x,y)G(fx,fy),F.T.Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒二、F.T.定理-Parseval定理的证明dxdfxfjfGdffxjfGdxxgxgdxxg)2exp()(*)2exp()()(*)()(2交换积分顺序,先对x求积分:dxxffjdfdffGfG)(2exp)(*)(利用复指函数的F.T.)()(*)(dfdffffGfGd利用d 函数的筛选性质dffGfG)(*)(思考题:dxxx22)()(sin:Parseval定理求积分利用二、F.T.定理 5.卷积定理空域中两个函数的卷积,其F.T.是各自F.T.的乘积.g(x,y)*h(x,y)=G(fx,fy).H(fx,fy)设 g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.g(x,y).h(x,y)=G(fx,fy)*H(fx,fy)空域中两个函数的乘积,其F.T.是各自F.T.的卷积.将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积卷积定理的证明tttdxhgdxfxj)()()2exp(左交换积分顺序:tttddxfxjxhg)2exp()()(应用位移定理tttdfjfHg)2exp()()(tttdfjgfH)2exp()()(应用F.T.定义右11(,)(,)(,)FFf x yF F f x yf x y11(,)(,)(,)FF f x yF Ff x yfx y 212(,)(,)|(,)|(,)(,)|(,)|xyxyxyFf x yf x yFffFF ffF fffx y1(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)xyxyxyxyFf x yg x yFffG ffFF ffG fffx y g x y积分定理积分定理10.积分变换定理积分变换定理 1(0)()()()22xxxxFFfdF ffifd12.共轭共轭变换定理变换定理 若若f(x,y)f(x,y)是非负的实函数是非负的实函数(例如光强度例如光强度),),则有则有 具有上述性质的函数称为厄米特函数具有上述性质的函数称为厄米特函数.1*(,)(,)*(,)(,)Fx yfffFxyx yx yfF F(,)(,)xyxyF ffFff1(,)(2)(2)(,)(,)(,)(2)(2)(,)(,)nmm nififFx yFfffyxxynmm nififFf x yffFyxxy