圆的轴对称性——垂径定理及其推论说课稿

24.1.2 圆的轴对称性垂径定理及其推论说课稿(2010-10-11 10:19:07)转载标签：分类：空间与图形杂谈各位专家、评委：你们好！很高兴能有机会参加这次活动，并得到您的 指导。我说课的题目是：圆的轴对称性垂径定理及其推论。它是人教版义务教育课程标准实验教科书-数学 九年级上册第二十四章第一节的第二部分垂直于弦的直 径的内容。这部分内容教材安排了两课时，其中第一课时讲圆的轴对称性，第二课时讲的旋转不变性。结合我对教材的理解和我所任教班级学生的实际情况，我将圆的轴对称性一课时内容调整为两课时，今天我 所讲的是第一课时垂径定理及其推论。下面，我就从教学内容，教学目标、教学方法与手段教学过程设计等四个方面进行说明。、教学内容的说明教师只有对教材有较为准确、深刻、本质的理解，并 从“假如我是学生”的角度审视学生的可接受性，才能处 理好教材。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、弧相等、垂直关系的重要依据，为进行圆的计算和 作图提供了重要依据，因此这部分内容是学习的重点，垂径定理及其推论的题设和结论较为复杂，容易混淆 因此也是学习的难点。鉴于这种理解，通览教材，我确定出如下教学内容：(1)了解的轴对称性。(2) 弄清垂径定理及其推论的题设和结论。(3) 运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证 明。(4) 学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法。教学重点：垂径定理及其推论教学难点：垂径定理的证明方法，其中圆的轴对称性是 理解垂径定理的关键。二、教学目标的确立根据本课的具体内容、学生的实际情况，我确立了如下的教学目标：1、通过直观演示了解的轴对称性。2、通过“试验观察猜想证明”掌握垂径 定理及其推论。3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学 生的探索精神。三、教学方法与手段的选择在教学方法方面:本节课主要采用了教师启发引导下 的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价 的方法。在教学过程中，遵循“实验观察猜想证明讨 论总结应用”这一思路，使学生由感性认识上升到理 性认识，再到实际应用。遵循“阶梯式发展”原则，引导 学生在独立分析、认真思考的基础上，以小组讨论等形式 合作探究，进而解决问题、掌握方法。同时，考虑到不同 层次学生的学习需要，在所提问题、例题、习题的设置上 均力争使每名学生都有所得。在教学手段方面：我采用教（学）具直观演示与计算 机辅助教学，以提高课堂教学效率。四、教学过程的设计1、坚持一条原则：学生是主体，教师是教学过程的组 织者、引导者、合作者。2、围绕一个目的：落实教学目标3、突出一个特点：通过“实验观察猜想证明应用”帮助学生实现由感性认识到理性认识的过渡4、采用一种手段：借助教具的直观性和计算机辅助教 学，启发引导学生发现定理，从而抽象概括出定理5、收到一个效果：使学生通过本节课的学习，能够理 解定理的内涵，学会运用定理解决问题。同时使学习知识 培养能力和优化思维品质融为一体。学法指导：动手操作、 观察猜测、 交流讨论、 分析推理、 归纳总结，在此过程中使学生积极参与，交流互动。本课的教学过程包括：以旧引新、引导探究动手操作、观察猜想指 导论证、引申结论多方练习、分层评价反思小结 布置作业五个环节。（一）以旧引新、引导探究人类认识事物大多遵循由感性认识到理性认识，由旧 知到新知的上升过程，为此我先引导学生复习与本课新知 识有关的旧知识，出示如下两个问题：（1）什么是轴对称图形2）观察下列图形哪些是轴对称图形？并指出对称轴条数。其中第一题的目的在于唤起学生记忆，明确轴对称图 形的概念。进而选取几种常见的几何图形让学生判断，其 中的平行四边形是从反面强化对轴对称图形的理解。第二组是有关车标图案的轴对称图形，使学生知道我们身边随时随地都有轴对称图形的存在，此时可让学生再 举几个实际例子，以激发学生的兴趣。然后出示圆，提问：圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？对称轴在什么位置？进而通过学生折叠圆形纸片、教师投影演示明确：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，过圆心的每一条直线都是它的对称 轴。这样通过创设问题情境，激发学生的求知欲，以旧引新，引出本课课题 圆的轴对称性。（二）动手操作，观察猜想首先让学生按要求在事先准备好的圆形纸片中画图折叠、观察、猜想。i 画出0的一条弦ABii过O画AB的垂线交0于C、D两点，垂足为E.问题1：过O点垂直AB的直线有几条？（说出理由）设计意图：明确垂直于弦的直线有且只有一条。问题2：直径CD还有什么性质？（投影）1、引导学生将0纸片沿直径CD折叠，观察重合部分，猜想结论2、小组交流猜想结论。3、教师投影演示与学生共享猜想结论设计意图：通过调动学生的多种感官功能，使学生在动手动脑中强化思维 品质。同时为用“叠合法”证明垂径定理起铺路搭桥的作用。三）指导论证，引申结论在师生共同得出猜想结论后，教师追问质疑：猜想的结果是否正确，必须 要加以证明，将学生的活跃思维从实验猜想拉回到对猜想的严格证明中。教学安排：学生回答已知、求证后教师投影。随后指导学生从圆的轴对称性入手，讨论出联结OA和OB后，抓住只要能 够证出直径CD既是等腰三角形OAB的对称轴，又是圆的对称轴，即可利用圆的 轴对称性证明出结论。进而让学生试述，教师板书证明过程。进而总结出垂径定理的内容。并引导学生分析出定理的题设和结论。说明 知道了题设的两个条件，就可以得出三个结论。此时出示判断题过圆心的直径平分弦（X）（2）垂直于弦的直线平分弦（X）（3）00 中，0E丄弦AE于E,则 AE=BE （V）】引导小组讨论，允许争论，关键要让学生说明理由，举反例。交流讨论、 统一思想后，教师要充分利用评价机制鼓励学生，并强调垂径定理题设中的两 个条件缺一不可。同时说明垂径定理条件中的“直径”是指过圆心的直线，但 在应用该条件时可以不为直径，如半径、圆心到弦的距离照样可以得到平分弦 的结论。然后再次通过提问：如果将题设中的两个条件改为“直径平分弦”，能否 得出其它三个结论呢？自然的引出对例1的教学：【例1：已知:如图，在00中，直径CD交弦AB于E，AE=BE 求证：CD丄AB,】通过教师引导、小组讨论分析证明出垂径定理的推论：平分弦（非直径） 的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。使学生初步认识到将定理中题设的 两个条件之一与三个结论之一交换一个，也可得出其它三个结论。然后再次出 示小组讨论题，【小组讨论：下列命题是否正确？说明理由1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。（V）2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧（V）】进一步强化刚才的初步认识，进而归纳总结出其中规律：五个条件，知二推三。 在整个过程中教师要及时引导学生通过画图分析、讨论，说明理由，辨别正误， 从而有效的突破难点，突出重点。O（四）多方练习，分层评价【例2、已知：如图在0中，弦AB的长是8cm，圆心0到AB的距离为3cm, 求。0的半径。】1、选题意图至此，学生们对垂径定理及其推论的基本知识应该掌握了，为了使学生再 上一个台阶，更好的将知识点落到实处。我安排了例2，试图通过此例，使学生 明确：在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等问题时，通常是将垂 径定理和勾股定理结合起来。达到一通百通的目的。并为例 3的教学铺平道路。2、教学安排i解决问题：此题先提醒学生审清题意，思考如何构造出圆的半径及圆心0到 弦 AB 的距离。在个人独立思考建立图形以后，进行小组交流、讨论。最后各组 派代表展示学习成果并说明理由，教师点拨，最后投影出完整解题步骤。ii反思拓展：提问：在解答此题的过程中，你用到了几个定理？通过讨论，使学生体会到：在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等 问题时，通常是通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合起来。然后，趁热打铁，通过三个难度不同的练习，进一步巩固刚才讨论得出的成果。【A组在圆中某弦长为8cm,圆的直径是10cm,则圆心到弦的距离是（3 ）cmB组在圆0中弦CD=24，圆心到弦CD的距离为5,则圆0的直径是（26 ）C组 若AB为圆0的直径，弦CD丄AB于E，AE=16, BE=4，则CD= （ 16）】iii分层评价：学生的认知水平是不同的，所以我有意识的将题目按由易到难的 顺序分成了 A、B、C三组，其中A组题是为学困生编写的；B组题绝大多数同学 应该掌握；C组题难度稍大，但稍微动一动脑，也不是不能做出的，是为中上等 同学准备的。需要说明的是：学生每做对一组题就可获得一个满分，教师此时巡视指导 并及时评判各组当中做完的同学，而且不管是谁只要做对了题，都可以为本组 同学判题打分。这样安排，使不同层次的学生都学有所得，调动学生的学习热 情。然后各组请代表说明解题思路。热身之后，出示例3：【例3、已知00的直径为4cm，弦AB=，求Z0AB的度数】1、选题意图：在巩固例2成果基础之上，出示例3，是为了将解直角三角 形与垂径定理的知识衔接起来，使知识之间融汇贯通你中有我，我中有你。2、教学安排：i解决问题：提问：求角度问题，可否通过解直角三角形的问题解决？学生自然会联想到构造直角三角形，进而作出正确的辅助线。然后利用特 殊角的三角函数值求出锐角的度数。学生展示成果后，教师出示完整解题格式， 并追问：还有没有其它的解题方法？此时可能有的学生通过得出弦心距的长度， 利用在直角三角形中，若一条直角边等于斜边一半，则该直角边所对角为30， 亦可。教师要给予充分的肯定和鼓励性评价。然后再通过一道证明题，【练习：已知如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D 两点。求证： AC=BD 】再一次的巩固垂径定理及辅助线的做法。ii反思拓展：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直 径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。（五）反思小结、布置作业这个环节主要让学生谈谈本节课的收获和体会。我根据情况适当补充。然 后仍按照学生层次布置分层作业。这样最大限度的调动学生学习的积极性，使 不同层次的学生都有所获，在原有的基础上得以发展、提高。以上是我对本节课的说明，不妥之处，敬请专家、评委指正。谢谢大家！