432平面直角坐标系中的伸缩变换学习专用

4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换i了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换.2体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.基础初探横坐标的伸缩变换kx=x一般地，由，（k0）所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着y尸y轴的伸缩变换（当k1时，表示伸长；当0vkv1时，表示压缩），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍（这里（x,y）是变换前的点，（x，y）是变换后的点）.纵坐标的伸缩变换x=x，一般地，由，（k0）所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着xlky=y轴的伸缩变换（当k1时，表示伸长；当0vkv1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍（这里（x，y）是变换前的点，（x，y）是变换后的点）.1. 伸缩变换一般地，设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:x=2x（0,的作用下，点P（x，y）对应到点P（x，y），称为平面直y=uyp0角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换.思考探究121.如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的2圆x2+y2=4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？2【提示】x2+y2=4的图形变为椭圆：:+2=1.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状.2. 如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响.其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化.如在下列平面直角坐标系中，分别作出f（x,y）=0的图形：（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；（2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍；1（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的R.第（1）种坐标系中的意思是x轴与y轴上的单位长度一样，f（x，y）=0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f（x，y）=0的图形；第（2）种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，1y轴上的单位长度缩小为原来的k，此时f（x，y）=0表示的图形与第种坐标系中的图形是不同的；第（3）种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，1x轴上的单位长度缩小为原来的匚，此时f（x，y）=0表示的图形与第种坐标系中的图形是不同的.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑：疑问2:解惑：疑问3:解惑：伸缩变换血(kM0,且kM1).kx=x对下列曲线进行伸缩变换*y=y(1) y=kx+b；(2) (x-a)2+(y-b)2=r2.【自主解答】设P(X,y)是变换前的点，P(X，y)是变换后的点，由kx=x,尸ky题意，得ky=y，11由Ry=k(RX)+b，y=kx+kb，得直线y=kx+b经过伸缩变换后的方程为y=kx+kb，仍然是一条直线.当b=0时，该直线和原直线重合；当bM0时，该直线和原直线平行.(2)由(Rx-a)2+(ky-b)2二r2,(x-ka)2+(y-kb)2二(kr)2，得圆(xa)2+(y-b)2=r2经过伸缩变换后的方程为(x-ka)2+(y-kb)2=(kr)2，它是一个圆心为(ka,kb)，半径为|kr|的圆.再练一题1.在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2变成直线2x-y=4,求满足图象变换的伸缩变换.x=入,/0【解】设变换为，,y=卩,0代入直线方程2x-y二4得：2入卩尸4,即卩入-前=2,比较系数得：后1,尸4,即直线x-2y=2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2xy=4.伸缩变换的应用f引曲线y=2sin3x变换成曲线y=3sin2x,求它的一个伸缩变换.【导学号：98990021】【思路探究】x_入襄0设彳，代入y_3sin2x，所得式再与y_y_iy0)2sin3x比较即可求2、1【自主解答】将变换后的曲线y_3sin2x改成y_3sin2x.x=Xx0),设伸缩变换t,代入y=3sin2xy=y0),得iiy3sin(2入X332,即y=/n(2入X,与y=2sin3x比较系数,2A3,得3_=2,/3x_2x,所以伸缩变换为3ly_%确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可.再练一题222.(1)圆x2+y2_a2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为字+蒼_1(00,【解】设变换为s,y=卩,尸0,/2X9=1.与x2+y2=1比较，将其变形为fx2+2扌y2二1,比较系数得x=3x,y二2y,即将圆x2+y2=1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变22为原来的2倍，可得椭圆涪+亍二1.11.直线x+4y-6=0按伸缩系数2向着x轴的伸缩变换后，直线的方程是【答案】x+8y-6=0核赴枷求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2xy+匚=116+41+1变成曲线3. 2.直线2x-3y=0按伸缩系数3向着y轴的伸缩变换后，直线的方程是【答案】2x-9y=0【答案】曲线x2+y2=4按伸缩系数2向着y轴的伸缩变换后，曲线的方程是后，曲线方程变为x=2x,y=cosx经过伸缩变换fy二3yx=1x【解析】，得y=fy,代入y=cosx,仲1，得3y=cos2x,即y【答案】y=3cos2我还有这些不足:(1)我的课下提升方案：(1)【导学号：98990022!