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数列通项公式的求法详解一、观察法(关键是找出各项与项数n的关系.)例1:根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：21,K(4)一,2(4)an=(-1广11 491621(1)9,99,999,9999,(2)1-,2,3一，4一,K(3)1,5101732n22答案：(1)an=10n1(2)an=n+;(3)an=；n1n1二、公式法公式法1:特殊数列例2：已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q乒1)的等比数列，若函数f(x)=2(x-1),且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b=f(q+1),b3=f(q-1),求数列an和bn的通项公答案：an=a+(n1)d=2(n1)；bn=b-qn1=4(-2)n1例3.等差数列是递减数列，且a2a3a4=48,a2+a3+a4=12,则数列的通项公式是()(A)an=2n-12(B)an=2n4(C)an-2n12(D)an-2n10答案：(D)例4.已知等比数列侥的首项a=1,公比0q1,设数列的通项为bn=a“*+a“也，求数列板的通项公式.间析：由题启、，bn=an电十an，又2时，a+a2十A+anj=2(n2)a口0,n=1一、.一2.由、得an=22.-2.）数列an满足a1=1,且a1，a2AanJ，an=n，求数列an的通项公式1.3.）已知数列an中，a=2,an.=二an+：,求通项a”.2八、【讨论法-了解】（1）若an书+an=d（d为常数），贝U数列an为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分为奇数项和偶数项来讨论.（2）形如az=f（n）型若a”书ap（p为常数），则数列an为“等积数列”，它是个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论；若f（n）为n的函数（非常数）时,可通过逐差法得an，an=f（n-1），两式相除后，分奇偶项来分求通项.例15：数列an满足a=0,an噂+an=2,求数列an的通项公式专题二：数列求和方法详解（六种方法）一、公式法、等差数列求和公式:Sn巧尢匚住丰匚g二二=na1d2222na（q=1）2、等比数列求和公式：Sn=a1（1qn）aanq/.=-（q#1）答案snx(1xn)1-x1答案n=8时，f(n)max=501-q1-q例1已知log3x=，求x+x2+x3+xn+，的前n项和.log23例2设S=1+2+3+-+n,nN,求f(n)=的最大值.(n32)Sn1二、错位相减法方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an-bn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.例3求和：Sn=1+3x+5x2十7x3十一十（2n1）xn（x#1）n1n_1解析：由题可知，(2n-1)x的通项是等差数列2n1的通项与等比数列x的通项之积:设xSn=1x+3x2+5x3+7x4+(2n-1)xn一得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+2xn-(2n-1)xn(错位相减)1_nJ再利用等比数列的求和公式得：（1-x）Sn=12x（2n-1）xn.1-x(1-x)2o_(2n-1)xn1-(2n1)xn(1x)Sn-试一试1:求数列言，与,点,.前n项的和.2222,.3,答案：Sn=4一n22nJ三、倒序相加法方法简介：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）,然后再除以2得解.答案S=例4求sin21+sin22+sin23+sin288+sin289邓值.四、分组法求和方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组;111-例5求数列的前n项和：1+1,+4,-+7,-；-+3门2，aaan答案1-naasn:.(3n-1)na-12.1一试一试1求1+11+111+13s1之和.简析：由于与1的，31=gk999、帘9=J1#一1）=an、分别求和.五、裂项法求和方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，.通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）an=f(n+1)f(n)；(2)ansin1-_=tan(n1)tann：；cosncos(n1)-4)ann(n1)nn1(5)an(2n)2111=1(-).(2n-1)(2n1)22n-12n1例6，一1求数列,-13.24，的前n项和.例7在数列an中，an+M+-+d,又bn=2anan1,求数列bn的前n项的和.试一试1：已知数列an:a(n1)(n3),求前n项和.试试2:12潟100.六、合并法求和例8方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求sn.求cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.因此，在答案0例9数列an:a1=1,a2=3,a3=2,an_2=an*-an，求S2002.(周期数列)例10在各项均为正数的等比数列中，若a5a6=9,求log3a1+log3a2+log3a10的值；答案10
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