24正态分布（一）上课

X01P1-pp111nnC p q0nnnC p q00nnC p qkkn knC p qX01knP0nMN MnNC CC11nMN MnNC CCkn kMN MnNC CC0nMN MnNC CCX01knP回顾回顾4.由函数由函数 及直线及直线 围成的曲边梯形的面积围成的曲边梯形的面积S=_；()baf x dxxyOab(),0yf xxa xb y 高尔顿板模型与试验高尔顿板模型与试验 高尔顿板高尔顿板实验实验.swf导入导入高尔顿板模型高尔顿板模型11频率频率组距组距以球槽的编号为横坐标，以小球落入各以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出“频率分布直方图频率分布直方图”。11频率频率组距组距以球槽的编号为横坐标，以小球落入各以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出“频率分布直方图频率分布直方图”。随着重复次数的增加，随着重复次数的增加，直方图的形状会越来直方图的形状会越来越像一条越像一条“钟形钟形”曲线。曲线。正态分布密度曲线正态分布密度曲线（简称）0YX式中的实数式中的实数m、s是参数是参数22()2,1()2xxemsm ss),(x“钟形钟形”曲线曲线函数解析式为：函数解析式为：表示总体的平均数与标准差0 a b思考：思考：你能否求出小球落你能否求出小球落在（在（a,ba,b上的概率吗？上的概率吗？11频率频率组距组距频率分布直方图频率分布直方图若用若用X表示落下的小球第表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的次与高尔顿板底部接触时的坐标坐标,则则X是一个随机变量是一个随机变量.X落在区间落在区间(a,b的概率的概率（阴阴影部分的面积影部分的面积）为）为:badxxbXaP)()(,sm0 a b思考：思考：你能否求出小球落你能否求出小球落在（在（a,ba,b上的概率吗？上的概率吗？则称则称X 的分布为的分布为正态分布正态分布.正态分布由参数正态分布由参数m m、s s唯一确定唯一确定,m m、s s分别表示总体的分别表示总体的与与.正态分布记作正态分布记作N N（m m，s s2 2）.其图象称为其图象称为正态曲线正态曲线.xy0 a b,()()baP aXbx dxm s如果对于任何实数如果对于任何实数 a0,概率概率 2(,)m s,()()aaPaxax dxm mm sm sm mmmmm ()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPXmsmsmsmsmsms特别地有（熟记）特别地有（熟记）我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3。smsm2,2smsm3,3 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPXmsmsmsmsmsms1 1、若若XN（，2），问），问X位于区域（位于区域（，）内的概率是多少？内的概率是多少？解：由正态曲线的对称性可得，解：由正态曲线的对称性可得，1()()0.34132PxPxmmsmsms 1,0sm的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x标准正态分布标准正态分布 221,2txxedtx 221,2x xex 1,0sm的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x标准正态分布的几何意义标准正态分布的几何意义 221,2txxedtx 221,2x xex (x)的计算的计算(1)x 0 时时,查标准正态分布分布函数表查标准正态分布分布函数表.(2)x a)=1 (a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若若a 0,则则 P(|X|a)=P(aX 1.96),P(|X|1.96)P(|X|1/2,所以所以 b 0,反查表反查表得得:(1.66)=0.9515,故故 b=1.66而而 (a)=0.0495 1/2,所以所以 a 0,(a)=0.9505,反查表反查表得得:(1.65)=0.9505,故故 a=1.65例例一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化定理定理 设设 X N(m m,s s 2),XYms则则 Y N(0,1).推论推论:若若 X N(m m,s s 2),则则()xF xms 若若 X N(m m,s s2),则则 P(Xa)=ams1ams 设设 X N(10,4),求求 P(10X13),P(|X 10|2).解解:P(10X13)=(1.5)(0)=0.9332 0.5P(|X 10|2)=P(8X12)=2(1)1=0.6826=0.4332例例 设设 X N(m m,s s 2),P(X 5)=0.045,P(X 3)=0.618,求求 m m 及及 s s.例例51.6930.3msmsm m=1.76s s=4解解:由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974s3准则准则将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布,6826.0)|(|smYP9544.0)2|(|smYP9974.0)3|(|smYP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3smsm区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”.ssmXYN(0,1)X N(m m,s s2)时时,解解P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h.看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子:例例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求因为因为 XN(170,62),),故故 P(X0.996170h因而因而 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.)1,0(6170NX 所以所以 .17017066XhP 1706h 标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点 0,1,XN设设若数若数 满足条件满足条件z ,01P Xz则称点则称点 为为z标准正态分布的标准正态分布的上上 分位点分位点.)(x zz 11P Xz 1 P Xz zXPzz1 例例1：若若XN(5,1),求求P(6X7).例例2：在某次数学考试中，考生的成绩在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个服从一个正态分布，即正态分布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？2、已知、已知XN(0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率 A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.0228(,2)3、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 =,=.(0)P X(22)PX D0.50.95444、若已知正态总体落在区间、若已知正态总体落在区间 的概率为的概率为0.5，则，则相应的正态曲线在相应的正态曲线在x=时达到最高点。时达到最高点。(0.3,)0.35、已知正态总体的数据落在（、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落）里的概率和落在（在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是期望是 。1 归纳小结1.正态曲线及其特点；正态曲线及其特点；2.2.正态分布及概率计算；正态分布及概率计算；3.33.3s s原则原则。