数值分析第7章答案

第七章非线性方程求根 一、重点内容提纲（一）问题简介求单变量函数方程 (7.1)的根是指求（实数或复数），使得.称为方程(7.1)的根,也称为函数的零点.若可以分解为 其中m为正整数,满足,则是方程(7.1)的根.当m=1时,称为单根;当m1时,称为m重根.若充足光滑,是方程(7.1)的m重根,则有 若在a,b上持续且,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一种实根,称a,b为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的几种常用措施1.二分法设在a,b上持续,则在(a,b)内有根.再设在(a,b)内仅有一种根.令,计算和.若则,结束计算;若,则令,得新的有根区间;若,则令,得新的有根区间.,.再令计算,同上法得出新的有根区间,如此反复进行,可得一有根区间套 且.故 因此,可作为的近似根,且有误差估计 (7.2)2.迭代法将方程式(7.1)等价变形为 (7.3)若规定满足则;反之亦然.称为函数的一种不动点.求方程(7.1)的根等价于求的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简朴迭代法)为 (7.4)函数称为迭代函数.如果对任意,由式(7.4)产生的序列有极限 则称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(不动点存在性定理)设满足如下两个条件:1.对任意有2.存在正常数,使对任意,均有 (7.5)则在上存在惟一的不动点.定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设满足定理7.1中的两个条件,则对任意,由(7.4)式得到的迭代序列收敛.到的不动点,并有误差估计式 (7.6)和 (7.7)定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设为的不动点,在的某个邻域持续,且,则迭代法(7.4)局部收敛.收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程的根,如果迭代误差当时成产下列渐近关系式 (7.8) 则称该迭代过程是p阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果在所求根的邻近持续,并且 (7.9)则该迭代过程在点的邻近是收敛的,并有 (7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为 (7.11)此法也可写成如下不动点迭代式 (7.12)定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设为式(7.12)中的不动点,则是的不动点;设存在,则是的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的.3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为 其迭代函数为 (7.13) 牛顿迭代法的收敛速度 当时,容易证明,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且 (7.14)重根情形的牛顿迭代法 当是的m重根时,迭代函数在处的导数,且.因此牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若的重数m懂得,则迭代式 (7.15)求重根二阶收敛.当m未知时,一定是函数的单重零点,此时迭代式 (7.16)也是二阶收敛的.简化牛顿法 如下迭代法称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法 为避免迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体措施见教材.4.弦截法 将牛顿迭代法(7.13)中的用在,处的一阶差商来替代,即可得弦截法 (7.17)定理7.6假设在其零点的邻域内具有二阶持续导数,且对任意有,又初值,则当邻域充足小时,弦截法(7.17)将按阶收敛到.这里p是方程的正根.5.抛物线法弦截法可以理解为用过两点的直线方程的根近似替的根.若已知的三个近似根,用过的抛物线方程的根近似替代的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法.当在的邻近有三阶持续导数,则抛物线法局部收敛,且收敛阶为. 二、知识构造图 表7-1k0123456789111.251.251.31251.31251.31251.32041.32431.324321.51.51.3751.3751.134381.32821.32821.32821.32631.51.251.3751.31251.34381.32821.32041.32431.32631.3253+-+-+-+ 表7-2k012342.52.2.2.2.0.0.0.0. 表7-3k01234543.3.3.3.3.0.0.0.0.0.此时已满足误差规定，即（3）由于，故根据定理7 .4知措施是线性收敛的，并且有。例7-4 对于迭代函数，试讨论：（1）当C为什么值时，产生的序列收敛于；（2）C为什么值时收敛最快？（3）分别取，计算的不动点，规定 解： （1），根据定理7.3，当，亦即时迭代收敛。（2）由定理7.4知，当，即时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。（3）分别取，并取，迭代计算成果如表7-4所示。 表7-401612131.21.481.1.1.012341.21.1.1.1.此时都达到.事实上,例7-5 给定初值以及迭代公式,常数证明: (1)该迭代函数是二阶收敛的;(2)该迭代产生的序列收敛的充要条件是解: (1) 显然,迭代函数为,且,即是的不动点.又,因此,，由定理7.4知，迭代是二阶收敛的，且（）因，令，则然而故由此可知等价于，而又等价于，即注（）的结论也可以直接用二阶收敛函数的定义去证明此外，本题迭代式事实上是对使用牛顿迭代法而得例7-6 对为的一种不动点,验证迭代对任意不收敛,但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的,并阐明斯蒂芬森迭代计算的不动点时的收敛阶.解 由于,当时,且有,介于与0之间,若,迭代不收敛.若改用斯蒂芬森迭代(7 .12),可得 ,根据定理7.3,斯蒂芬森迭代法收敛.由于,故用斯蒂芬森迭代计算不动点时,收敛阶.(请读者注意,这一结论与定理7.5的结论与否矛盾?)例7-7 当R取合适值时,曲线与相切,试用迭法求切点横坐标的近似值,规定不少于四位有效数字,且不必求R.解 的导数,由拟定的函数的导数满足,由两曲线相切的条件,可得即 令,则在内有实根.又,故仅有一种根,构造迭代公式,则当时,. 故迭代收敛.取,计算成果如表7-5所示. 表7-5011.51.4812480.018752231.4826711.4825630.001423由于,故可取,即可保证两曲线切点的横坐标的近似值具有四位有效数字.例7-8 曲线与在点附近相切,试用牛顿迭代法求切点的横坐标的近似值,使.解 两曲线的导数分别为和,两曲线相切,导数相等,故有 令,则,故区间是的有根区间.又当时,因此在上有惟一实根.相应用牛顿迭代法,得计算公式 由于,故取迭代计算一定收敛,计算成果如表7-6所示. 表7-60122.02.1.3451.1.1.7继续计算仍得,故.注 本题也可令,解得切点横坐标满足方程,用有重根时的牛顿迭代法(7.15)式计算,此时.仍取,经四步可得.例7-9(牛顿迭代法收敛定理)设在上具有二阶持续导数,且满足条件(1)(2)在上(3)满足.则由牛顿迭代法产生的序列单调收敛于在内的惟一实根,并且是平方收敛的.证明 因在上持续,由条件(1)知,方程在内有根.又由于条件(2)知在上恒正或恒负,因此在上严格单调,因而是在内的惟一实根.条件(1),(2)共有四种情形:(1)(2)(3)(4)仅就(1)进行定理证明,其他三种状况的证明措施是类似的.由可知,再由知单增且.又由牛顿迭代法知 又台劳展开得 其中介于与之间.运用,得 由以及前面证明的,有 一般地,设,则必有且 同样由台劳公式 及,得 根据归纳法原理知,数列单调下降有下界,因此有极限.设.对迭代式两端取的极限,并运用.的持续性知,即.由上述证明知,有关系式,即对于单根,牛顿迭代法是平方收敛的.例7-10 设函数具有二阶持续导数,是由牛顿迭代法产生的序列,证明 解 牛顿迭代法为 故 其中介于与之间,介于与之间,根据式(7.14)得 例7-11 设具有持续的阶导数,是的重根是由牛顿迭代法产生的序列,证明(1)(2)(3)证明 (1)因是的重根,则可以表达到 因此 由牛顿迭代法得 故 (2) 运用及(1)的结论得 (3)先证明牛顿迭代函数的导函数 因是的重零点,则由假设,具有阶持续导数,得 且 其中介于与之间,故有 而 因此 注 结论(1)和都表白牛顿迭代法求重根时仅为线性收敛.结论(3)可以用来计算重根数.例7-12 考虑下列修正的牛顿公式(单点斯蒂芬森措施) 设有二阶持续导数,试证明该措施是二阶收敛的.证明 将在处作台劳展开,得 其中介于与之间,于是 由于是的单根,故 因此 故 即迭代法是二阶收敛的. 四、学习效果测试题及答案1、证明方程在内有一种实根,并用二分法求这个根.若规定,需二分区间多少次?(答案:当时对分次数.)2、对方程,拟定及,使对任意均收敛,并求出方程的各个根,误差不超过.(答案:(1);(2);(3)3、建立一种迭代公式计算,分析迭代的收敛性,取,计算.(答案:.)4、试分别采用和的斯蒂芬森迭代法求方程在区间内的根,规定.(答案:取,其解分别为和.)5、由方程求二重根,试用牛顿法(7.13),有重根时的牛顿法(7.15),(7.16)计算,规定.(答案:三种措施均取,分别得)6、用弦切法求方程的根,规定.(答案:取,用式(7.17)得.)7、用抛物线法求解方程在附近的根,规定.(答案:取)8、试构造一种求方程根的收敛的迭代格式,规定阐明收敛理由,并求根的近似值,使.(答案:有根区间,不动点迭代式,取.此外,也可用牛顿迭代法求解得)9、试拟定常数,使迭代公式 产生的序列收敛到,并使其收敛阶尽量高.(答案:运用定理7.4可得,且,此时迭代法三阶收敛.)10、,试拟定函数和,使求解且觉得迭代函数的迭代法至少三阶收敛.(答案:运用定理(7.4)可得) 五、课后习题全解1、用二分法求方程的正根,规定误差不不小于0.05.解 设,故1,2为的有根区间.又,故当时,单增,当时单增.而,由单调性知的惟一正根.根据二分法的误差估计式(7.2)知规定误差不不小于0.05,只需,解得,故至少应二分6次.具体计算成果见表7-7. 表7-701234511.51.51.51.56251.59375221.751.6251.6251.6251.51.751.6251.56251.593751.609375-+-即.2、为求在附近的一种根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:(1),迭代公式;(2),迭代公式;(3),迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性,并选用一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解 取的邻域1.3,1.6来考察.(1)当时,故迭代公式在上整体收敛.(2)当时 故在1.3,1.6上整体收敛.(3)故发散.由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式计算.规定成果具有四位有效数字,只需 即 取计算成果见表7-8. 表7-81231.1.1.4561.1.1.由于,故可取.3、比较求的根到三位小数所需的计算量:(1)在区间0,1内用二分法;(2)用迭代法,取初值.解 (1)因,故,用二分法计算成果见表7-9. 表7-90123456789101112131400000.06250.06250.07781250.08593750.089843750.089843750.089843750.0.0.0.10.50.250.1250.1250.093750.093750.093750.093750.0.0.0.0.0.0.50.250.1250.06250.093750.0781250.08593750.089843750.0.0.0.0.0.0.+-+-+-+-+0.50.250.1250.06250.031250.0156250.00781250.003906250.0.0.0.000244140.000122070.0.此时具有三位有效数字.(2)当时,故迭代试在0,0.5上整体收敛.取,迭代计算成果如表7-10所示. 表7-101230.10.0.4560.0.0.此时,故精确到三位小数.4、给定函数,设对一切,存在且,证明对于范畴内的任意定数,迭代过程均收敛于的根.证明 由于,为单增函数,故方程的根是惟一的(假定方程有根).迭代函数,.由及得,故,由此可得即.5、用斯蒂芬森迭代法计算第2题中(2)的近似根,精确到.解 记第2题中(2)的迭代函数,(3)的迭代函数为,运用迭代式(7.11),计算成果见表7-11. 表7-1101231.51.1.1.012341.51.1.1.1.6、设,试拟定函数和,使求解且觉得迭代函数的迭代法至少三阶收敛.解 规定三阶收敛到的根,根据定理7.4,应有.于是由 得 故取 即迭代至少三阶收敛.7、用下列措施求在附近的根.根的精确值,规定计算成果精确到四位有效数字.(1)用牛顿法;(2)用弦截法,取;(3)用抛物线法,取.解 ,对(1)取,用牛顿迭代法 计算得,故.(2)取,运用弦截法 得,故取.(3).抛物线法的迭代式为迭代成果为:已达四位有效数字.8、分别用二分法和牛顿迭代法求的最小正根.解 显然满足.此外当较小时,故当时,因此,方程的最小正根应在内.记,容易算得,因此4,4.6是的有限区间.对于二分法,计算成果见表7-12. 表7-1201234567894.04.34.454.454.48754.48754.48754.49218754.49218754.4.64.64.64.5254.5254.506254.4968754.4968754.494531254.494531254.34.454.5254.48754.506254.4968754.49218754.494531254.4.+-+-+-+-此时.若用牛顿迭代法求解,由于,故取,迭代计算成果如表7-13所示. 表7-131234.4.4.494171634564.4.4.因此的最小正根为.9、研究求的牛顿公式 证明对一切且序列是递减的.证法一 用数列的措施,因由知,且.又由 故,即单减有下界.根据单调原理知,有极限.易证起极限为.证法二 设.易知在内有惟一实根.相应用牛顿迭代法,得 运用例7-9的结论知,当时,单减有下界,且.当时, 此时,从起,单减有下界,且极限为.10、对于的牛顿公式,证明 收敛到,这里为的根.证明见例7-10.11、用牛顿迭代法和求重根的牛顿迭代法(7.15)和(7.16)(书中式(4.13),(4.14)计算方程的一种近似根,精确到,初始值.解 的根为2重根,即 用牛顿法迭代公式为 令,则,迭代到.用求重根的迭代公式(7.15),迭代迭代公式为 取,则.四次迭代达到上面的成果.若用公式(7.16),则有 将及代入上述迭代公式,得 取,得.成果与公式(7.15)的相似.12、应用牛顿迭代法于方程,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性.解 设,牛顿迭代公式为 当;当时,因此,对于,当时,根据例7-9的结论知,牛顿序列收敛到.当时, 从起,牛顿序列收敛到.对于,当时,.由牛顿法产生的序列单增趋于.当时, 之后迭代也收敛.当时,迭代式变为 该迭代对任何均收敛,但收敛速度是线性的.13、应用牛顿法于方程,导出求的迭代公式,并用此公式求的值.解 ,因此牛顿迭代公式有 易知.故取时,迭代收敛.对于,取,迭代计算,得 故.14、应用牛顿法于方程和,分别导出求的迭代公式,并求 解 对于,因此牛顿迭代法为 根据定理7.4知 对于,牛顿法公式为 根据定理7.4知 15、证明迭代公式 是计算的三阶措施.假定初值充足接近根,求 证明 记,则迭代式为且.由的定义,有 对上式两端持续求导三次,得 代依次入上三式,并运用,得 因此由定理7.4知,迭代公式是求的三阶措施且 16、用牛顿法解方程组 取.解 记,则 牛顿迭代法为 代入初值,迭代计算,得