椭圆焦半径公式的一种变式与应用

椭圆焦半径公式的一种变式与应用玉宏图在圆锥曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故 值得我们深入研究。为此，本文以椭圆为例研究它的一种变式。一、椭圆焦半径公式x 2 y 2 P是椭圆+ - = 1 (a b 0)上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则(1)a 2 b2I PE 1= a + ex ， (2) I PF I = a - ex。PPy 2 x 2P是椭圆+厂=1(a b 0)上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则(3) a 2 b2PE = a - ey ， (4)I PFI = a + ey 。PP以上结论由椭圆的第二定义及第一定义易得。二、椭圆焦半径公式的变式x 2 y 2P是椭圆+厂=1(a b 0)上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为, a2 b2b2b2PF与x轴所成的角为卩，c是椭圆半焦距，则(1)IPEI =；(2)I PF I =- b 0)上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为a， a2 b2b2b2PF与x轴所成的角为卩，c是椭圆半焦距，则(3)I PE I =；I PF I=a + csinaa - csin p证明：(1)设P在x轴上的射影为Q,当a不大于90时，在三角形PEQ中，有I PQI x + ccosa =I PE II PE I由椭圆焦半径公式(1)得I PEI = a + ex 。Pb2 消去x后，化简即得(1) I PE I =Pa - c cosa而当a大于90时，在三角形PEQ中，有cos（兀-a）=I PQI -c - x=PIPE IIPE Ix + cn COSa = pI PE I以下与上述相同。 （2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。三、变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。x2y 2例1. （2005年全国高考题）P是椭圆+厂=1（a b 0）上一点，E、F是左右焦点, a2 b2过P作x轴的垂线恰好通过焦点F,若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是解：因为PF丄EF,所以由（2）式得I PF I 二b2a + c COS 90b2再由题意得 IEFI =1 PF I n 2c =n a 2 - c 2 = 2ac n c 2 + 2ac - a 2 = 0 n e 2 +a2e-1=0。注意到0 e b 0)的左焦点F作倾斜角为60 a2b21的直线和椭圆相交于A, B两点，若IAF I = 2IBF I，求椭圆的离心率。11解：由题意及变式( 2)得b2a - c cos 60b2a - cos(60 +180 )化简得2a - c1 c 2=a + c n 3c = 2a n e =2例 4. ( 2005 年全国高考题)设MF 与 FN 共线，且 PF MF =0。y2F是椭圆x2 +才=1的上焦点,PF与FQ共线,求四边形PMQN面积的最大值和最小值。解：设PF倾斜角为，则由题意知PF丄MF，所以MF倾斜角为90+a，而 a = v2， b = 1， c = 1，由题意及(3)式得IPQI=IPFI+IFQI 11= +v2 一 sin a2 一 sin(180 +a)=2迈2 一 sin2 a同理得I MN I = 。由题意知四边形PMQN面积2 - cos 2 aS = 1| PQII MN I1 2迈 2迈 2 2 一 sin 2 a2 一 cos2 a=4=162 + sin2 a cos2 a 8 + 4 sin2 a cos2 a=16=328 + sin2 2a17 - cos4a所以当C0s4a = 1时,169。S =- = 2 ；当cos4a = -1 时，S=32max 17 1min 17 (1)