4-4 单纯矩阵的谱分解【沐风教学】

矩矩 阵阵 论论 电电 子子 教教 程程哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系1优讲课堂Department of Mathematics 矩阵的分解矩阵的分解2Department of Mathematics 4.4 单纯矩阵的谱分解单纯矩阵的谱分解定理定理1:设设 是一个是一个 阶可对角化的矩阵，相异阶可对角化的矩阵，相异特征特征 值为值为 ，则，则 使得使得:,21An),2,1(iCEnni 1iiiEA此式称为此式称为A的谱分解的谱分解称为称为A的谱族的谱族 EEE,21且满足且满足:niiiijjiIEEEE 1 )2(,)1(iiiiEAEAE )3(iimrankE )4(的谱族是唯一的的谱族是唯一的即即是唯一的是唯一的AEi,)5(3Department of Mathematics分析分析:设设 是是 的代数重复度的代数重复度imi),2,1(i则则:12211),(PPdiagA 1m2m mnmimniiiCPCPPPPPPPPP ,:,),(21121其中其中设设 ,2,1 i 1212121 000000),(21iiiimmmPPPPPIIIPPPAiiiPPE 1iiiEA4Department of Mathematics证明证明(1)因为因为11212 (,),imnijPIijPP PP PPIPPOijP 所以所以:iijjjiijjiijiEPPPPPPPPEE )(证明证明(2)niiIPPPPPPPPE 121211 ),(iijjiEEE 5Department of Mathematics(3)由由 得得同理可得同理可得 1iiiiiEEAE 1iiiEAiiiEAE 证明证明:而而:,所以所以:nmrankEErankrankIniiiiiin 111)4(因为因为 11iiiimErankiimrankE iimrankE 证明证明:证明证明:(5)假设假设A有谱分解有谱分解 和和 1iiiGA 1iiiEA6Department of Mathematics则由则由(3)知知:iiiEAE )(jiGAGjjj jiijiGEGAE )(jiGEGAEjijji jiijiiGEGE 由于由于 ,所以所以:ji OGEji 同理可得同理可得:OGEij iiiiiiniGEGEGIG )(1 iiiiiniiGEGEIEE )(1 OGEji 因为因为OGEij 因为因为所以所以,唯一性得证唯一性得证iiGE 7Department of Mathematics 可对角化矩阵的谱分解步骤：可对角化矩阵的谱分解步骤：（1）首先求出矩阵）首先求出矩阵 的全部互异特征值的全部互异特征值 及每个特征值及每个特征值 所决定的线性无关特征向量所决定的线性无关特征向量Ai ,21),(,2121iiimiiimiipppPppp（3）令）令:iiimTimiTiiTiipppE 2211（2）写出）写出),()(211iimiiTP （4）最后写出）最后写出 12211iiiEEEEA8Department of Mathematics460350360A 例例1：已知矩阵已知矩阵为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。解解:首先求出矩阵首先求出矩阵 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。容易计算容易计算A2(1)(2)IA从而从而 的特征值为的特征值为A1231,2 可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量关的特征向量:9Department of Mathematics1122332,1,00,0,11,1,1TTT123,201101011P 于是于是111231,110121120111()122010TPP 10Department of Mathematics1231,1,01,2,11,2,0TTT 取取11122220110121TTG 令令233120120120TG 那么其谱分解表达式为那么其谱分解表达式为122AGG11Department of Mathematics正规阵的谱分解正规阵的谱分解:设设 为正规矩阵，那么存在为正规矩阵，那么存在An nUU使得使得:112212111222,HHnHnnHHHnnnA 其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值 所对应的单位特征向所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵量。我们称上式为正规矩阵 的的谱分解表达式。谱分解表达式。iAiA12Department of Mathematics111inrrHiijijiiijiAG 设正规矩阵设正规矩阵 有有 个互异的特征值个互异的特征值 ，特征值特征值 的代数重数为的代数重数为 ，所对应的个两两正交的所对应的个两两正交的单位特征向量为单位特征向量为 ,则则 的谱分解表的谱分解表达式又可以写成达式又可以写成Ar12,r iini12,iiiinA1inHiijijiG 其中其中 ，并且显然有，并且显然有:2,0()HiiiikGGGGGik13Department of Mathematics211(1);(2)(3)0();(4)(5)()rHiiiiiirikiiiiAGGGGGGikGIrank Gn（6）满足上述性质的矩阵）满足上述性质的矩阵 是唯一的。我们称是唯一的。我们称 为为正交投影矩阵。正交投影矩阵。iGiG即对于正规阵即对于正规阵,满足如下满足如下6条条:推论推论1 设设 是一个是一个 阶可对角化的矩阵，阶可对角化的矩阵，谱分解为谱分解为:,若若:则有则有An 1iiiEA,)(0 mkkkaf 1)()(iiiEfAf14Department of Mathematics解：解：首先求出矩阵首先求出矩阵 的特征值与特征向量。容的特征值与特征向量。容易计算易计算A3(1)(3)IA0111101111011110A例例 2：求正规矩阵求正规矩阵的谱分解表达式。的谱分解表达式。12341,3 从而从而 的特征值为的特征值为A15Department of Mathematics当当 时，求得三个线性无关的特征向量为时，求得三个线性无关的特征向量为11231,1,0,01,0,1,01,0,0,1TTT 当当 时，求得一个线性无关的特征向量为时，求得一个线性无关的特征向量为将将 正交化与单位化可得正交化与单位化可得3 41,1,1,1T 123,16Department of Mathematics12311,0,022112,06663111,12121212TTT将将 单位化可得：单位化可得：441111,2222T17Department of Mathematics11 1223331114444311144443111444431114444HHHG 于是有于是有18Department of Mathematics24411114444111144441111444411114444HG 这样可得其谱分解表达式为这样可得其谱分解表达式为123AGG19Department of Mathematics解：解：首先求出矩阵首先求出矩阵 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。A2(2)IA 0110000iAi求正规矩阵求正规矩阵的谱分解表达式。的谱分解表达式。练习练习从而从而 的特征值为的特征值为A1232,2,0ii 可以求出分别属于这三个特征值的三个线性可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量无关的特征向量:20Department of Mathematics1122332,12,10,1TTTiii 再将其单位化可得三个再将其单位化可得三个标准正交的特征向量标准正交的特征向量12311,22211,22210,22TTTiii21Department of Mathematics11 12212442144421444HGiiii于是有于是有:22Department of Mathematics2222212442144421444HGiiii 23Department of Mathematics33300010221022HGii 这样可得其谱分解表达式为这样可得其谱分解表达式为123220AiGiGG 24Department of Mathematics25