2.5矩阵的秩及其求法【沐风教学】

一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法第五节矩阵的秩及其求法 第二章 三、满秩矩阵三、满秩矩阵 第四节我们发现，矩阵经过有限次初等行变换化第四节我们发现，矩阵经过有限次初等行变换化成的阶梯型矩阵不唯一，但是与其等价的阶梯型矩成的阶梯型矩阵不唯一，但是与其等价的阶梯型矩阵非零行行数一样，台阶的形状相同。这反映了矩阵非零行行数一样，台阶的形状相同。这反映了矩阵什么性质呢？阵什么性质呢？1优讲课堂1.k 阶子式阶子式定义定义1 设设 nmijaA在在A中任取中任取k 行行k 列交叉列交叉),min1(nmkk称为称为A的一个的一个k 阶子式。阶子式。阶阶行列式行列式，处元素按原相对位置组成的处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念设设110145641321A，例如例如矩阵矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为所构成的二阶子式为10122D2优讲课堂设设110145641321A，共有共有182423CC个二阶子式，有个二阶子式，有43334CC个三阶子式。个三阶子式。例如例如而1015643213D为为 A 的一个三阶子式。的一个三阶子式。显然，显然，nm矩阵矩阵 A 共有共有knkmcc个个 k 阶子式。阶子式。3优讲课堂2.矩阵的秩矩阵的秩nmijaA设，有有r 阶子式不为阶子式不为0 0，任何任何r+1阶阶记作记作R(A)或秩或秩(A)。子式子式(如果存在如果存在的话的话)全为全为0,定义定义2称称r为矩阵为矩阵A的秩，的秩，二、矩阵秩的二、矩阵秩的求法求法1、子式判别法、子式判别法(定义定义)。例例1为阶梯形矩阵，为阶梯形矩阵，求R(B)。解解01021，由于由于二阶子式不为二阶子式不为0，所以所以 R(B)=2.1021B4优讲课堂010010100321A例例2求R(A)。5解：解：存在一个三阶子式不为存在一个三阶子式不为0，所以所以 R(A)=3.01100010321 A没有没有4阶子式，阶子式，5优讲课堂例如例如 100010011C 3CR125034000D2R D 21235081530007200000E 3R E 一般地，一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数台阶数”非零行的行数。非零行的行数。6优讲课堂aaaA111111,3AR如果1a求 a.解解 3ARaaaA1111110)1)(2(2aa或2a例例3 设设分析：R（A)3,A所有的3阶子式为零，即A的行列式为零。7优讲课堂KKKKA111111111111 3AR则K3例例3311111113(1)(3)111111KAKKKKK0 31 KK或或 11111111111111111AK时，时，A有非零的1阶子式，但A所有的2阶子式都为0，所以R（A）=1舍去K=1。得K=-3。分析：R（A)=34,A所有的4阶子式为零，即A的行列式为零。8优讲课堂2、用初等变换法求矩阵的秩、用初等变换法求矩阵的秩定理定理1 矩阵初等变换不改变矩阵的秩矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即BA则则)()(BRAR注：注：jirr.1只改变子行列式的符号。只改变子行列式的符号。irk.2是是 A 中对应子式的中对应子式的 k 倍。倍。jikrr.3是行列式运算的性质。是行列式运算的性质。第二种求矩阵第二种求矩阵A的秩方法：的秩方法：1）2）R（B）等于非零行行数，）等于非零行行数，)()(BRARBA阶梯型矩阵阶梯型矩阵9优讲课堂例例4211163124201A解解R(A)=2 000021104201，21102110420113rr 122rrA求.AR10优讲课堂求矩阵求矩阵 13142781221124A的秩。的秩。解解1314278112422121rrA91009100910022124141312rrrrrr,00000091002212423Brrrr所以所以R（A）=2。例例511优讲课堂,2,6352132111，求）（且设ARA4580443021116352132111A015044302111,2)(AR1,501,05例例612优讲课堂Ex1.,31302140111512012211 A设设求矩阵求矩阵A 的秩，并求的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。的一个最高阶非零子式。解解先求先求A 的秩，对的秩，对A 作初等行变换化为行阶梯形：作初等行变换化为行阶梯形：31302140111512012211A000002220015120122112241413rrrrrr故故R（A）=3。13优讲课堂再求再求A 的一个最高阶非零子式。的一个最高阶非零子式。因因R（A）=3，知，知A 的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为 3 阶，阶，返回易计算易计算A 的前三行构成的子式的前三行构成的子式因此这个子式便是因此这个子式便是A 的一个最高阶子式。的一个最高阶子式。,04011120211 14优讲课堂三、满秩矩阵三、满秩矩阵,nAR称称 A 是是满秩阵满秩阵，（，（非奇异矩阵非奇异矩阵）,nAR称称 A 是是降秩阵降秩阵，（，（奇异矩阵奇异矩阵）可见可见：0AnARA 为为 n 阶方阵时，阶方阵时，定义定义3对于满秩方阵对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：又根据初等阵的作用：每对每对A施行一次初等行变换，施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的由此得到下面的定理定理.定理定理2设设A是满秩方阵，则存在一系列初等方阵是满秩方阵，则存在一系列初等方阵.,21sPPP使得使得EAPPPPss121,15优讲课堂例例7213212321A 320430321321312rrrr 32043000131rrErr 10001000132 3ARA为满秩方阵。为满秩方阵。此过程相当于此过程相当于A 32011000132rr 3201100011132rr)()(100110001223rr)()(212313 EE)31()32(EE)()(1312 EE)(223 E)(32 EE 16优讲课堂17关于秩的一些结论（熟记）：关于秩的一些结论（熟记）：规定：规定：零矩阵的秩为零矩阵的秩为 0.(1)根据行列式的性质，根据行列式的性质，()().TR AR A(2)A为mn矩阵,0 R(A)min m,n .定理定理3 3 R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)minR(A)，R(B)。设设A是是nm矩阵，矩阵，B是是tn矩阵，矩阵，定理定理4 4).()()(ABRnBRAR 推论推论1 1 如果如果 A B=0 则则.)()(nBRAR推论推论2 2 如果如果 R(A)=n,A B=0 则则 B=0。推论推论3 3 若若A,B均为均为 nm矩阵，则矩阵，则).()()(BRARBAR17优讲课堂设设A为为n n阶矩阵，证明阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）n证：证：R（A+E）+R（E-A）R(A+E)-(A-E)=R（2E）=n R（A+E）+R（A-E）n例例8推论推论3 3 若若A,B均为均为 nm矩阵，则矩阵，则).()()(BRARBAR18优讲课堂作业作业P109 1 2 319优讲课堂性质性质1 1).()()(ABRnBRAR BEOAEOBEOEABA证明：证明：EOBE因为因为所以所以 OEABOROEABARBEOARBRAR)()(nABRERABR )()()(20优讲课堂定理定理5 5 21优讲课堂22 定理 A是一个sn矩阵,如果P是ss可逆矩阵,Q是nn可逆矩阵,那么 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)证明:由定理定理2有 秩(A)=秩(P-1PA)秩(PA)秩(A)即 秩(A)秩(PA)同理可证 秩(A)=秩(AQQ-1）秩(AQ)秩(A)秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)22优讲课堂