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一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法第四节矩阵的秩及其求法 第二章 三、满秩矩阵三、满秩矩阵1优讲课堂1.k 阶子式阶子式定义定义1 设设 nmijaA在在A中任取中任取k 行行k 列交叉列交叉),min1(nmkk称为称为A的一个的一个k 阶子式。阶子式。阶行列式，阶行列式，处元素按原相对位置组成的处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念2优讲课堂设设110145641321A，例如例如矩阵矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为所构成的二阶子式为10122D而1015643213D为为 A 的一个三阶子式。的一个三阶子式。显然，显然，nm矩阵矩阵 A 共有共有knkmcc个个 k 阶子式。阶子式。3优讲课堂2.矩阵的秩矩阵的秩nmijaA设，有有r 阶子式不为阶子式不为0 0，任何任何r+1阶阶记作记作R(A)或秩或秩(A)。子式子式(如果存在如果存在的话的话)全为全为0,定义定义2称称r为矩阵为矩阵A的秩，的秩，4优讲课堂规定：规定：零矩阵的秩为零矩阵的秩为 0.注意：注意：(1)如如 R(A)=r，则，则 A 中至少有一个中至少有一个 r 阶子阶子式式0,rD 所有所有 r+1 阶子式为阶子式为 0，且更高阶，且更高阶子式均为子式均为 0，r 是是 A 中非零的子式的最高阶数中非零的子式的最高阶数.(2)由行列式的性质，由行列式的性质，()().TR AR A(3)R(A)m,R(A)n,0 R(A)min m,n .(4)如果如果 Ann ,且且0,A 则则 R(A)=n.反之，如反之，如 R(A)=n,则则0.A 因此，方阵因此，方阵 A 可逆的可逆的充分必要条件充分必要条件是是 R(A)=n.5优讲课堂二、矩阵秩的二、矩阵秩的求法求法1、子式判别法、子式判别法(定义定义)。例例1设000007204321B为阶梯形矩阵，为阶梯形矩阵，求R(B)。解解02021，由于由于存在一个二阶子式不为存在一个二阶子式不为0，而，而任何三阶子式全为任何三阶子式全为0，则则 R(B)=2.结论：阶梯形矩阵的秩结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。台阶数。6优讲课堂010010100321A 3AR001021B 2BR例如例如100010011C 3CR125034000D2R D 21235081530007200000E 3R E 一般地，一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数台阶数”非零行的行数。非零行的行数。7优讲课堂aaaA111111,3AR如果1a求 a.解解 3ARaaaA1111110)1)(2(2aa或2a例例2 设8优讲课堂KKKKA111111111111 3AR则K3例例3311111113(1)(3)111111KAKKKKK9优讲课堂2、用初等变换法求矩阵的秩、用初等变换法求矩阵的秩定理定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即BA则)()(BRAR说明：说明：jirr.1只改变子行列式的符号。只改变子行列式的符号。irk.2是是 A 中对应子式的中对应子式的 k 倍。倍。jikrr.3是行列式运算的性质。是行列式运算的性质。由于初等变换不改变矩阵的秩，由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一而任一nmA都等价都等价于行阶梯矩阵。于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为其秩等于它的非零行的行数，即为.AR所以可以用初等变换化所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求为阶梯矩阵来求A的秩。的秩。10优讲课堂例例4211163124201A解解R(A)=2 000021104201，21102110420113rr 122rrA求.AR11优讲课堂,2,6352132111，求）（且设ARA4580443021116352132111A015044302111,2)(AR1,501,05例例512优讲课堂三、满秩矩阵三、满秩矩阵,nAR称称 A 是是满秩阵满秩阵，（，（非奇异矩阵非奇异矩阵）,nAR称称 A 是是降秩阵降秩阵，（，（奇异矩阵奇异矩阵）可见可见：0AnARA 为为 n 阶方阵时，阶方阵时，定义定义313优讲课堂定理定理3设设A是满秩方阵，则存在初等方阵是满秩方阵，则存在初等方阵.,21sPPP使得使得EAPPPPss121,对于满秩方阵对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：又根据初等阵的作用：每对每对A施行一次初等行变换，施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的由此得到下面的定理定理14优讲课堂例如例如它的行最简形是它的行最简形是 n 阶单位阵阶单位阵 E.EAnAR nEAnAR213212321A320430321320110001E100010001 3AR对于满秩矩阵对于满秩矩阵A，A为满秩方阵。15优讲课堂定理定理5 5 R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)minR(A)，R(B)。关于矩阵的秩的一些重要结论：关于矩阵的秩的一些重要结论：性质性质1 1设设A是是nm矩阵，矩阵，).()()(ABRnBRARB是是tn矩阵，矩阵，性质性质2 2 如果如果 A B=0 则则.)()(nBRAR性质性质3 3 如果如果 R(A)=n,如果如果 A B=0 则则 B=0。性质性质4 4 设设A,B均为均为 nm矩阵，则矩阵，则).()()(BRARBAR16优讲课堂设设A为为n n阶矩阵，证明阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)n证：证：(A+E)+(E-A)=2E R(A+E)+R(E-A)R(2E)=n而而 R(E-A)=R(A-E)R(A+E)+R(A-E)n例例817优讲课堂作业作业P109 1 2 318优讲课堂
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