最短路径问题教学设计（顾星）

13.4课题学习 最短路径问题教学设计广州市第八十七中学 顾星学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想学情分析：学生已学习过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等的问题，但学生很难想到要用轴对称的性质将折线段和的问题转化成求一条线段长的问题。学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 学习难点：探索并发现最短路径的方案，掌握对最短路径方案的说理.教学过程：一复习引入：1.如图，由A地到B地有三条路供选择，你会选择路线 ，理由是 2.如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O、，其中POl,这些线段中，线段 最短，理由是 3.如图，点A、B在直线l的异侧，请在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小。设计意图：复习初中阶段学过的“两点之间，线段最短”“垂线段最短”，为本节课的新课学习做好铺垫。二新知探究：问题1:（将军饮马问题）相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题” BAl你能将这个问题抽象为数学问题吗？（将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线）请你画出图形，找到可使他所走的路线全程最短的饮马处P，并用所学的知识证明设计的路径最小。分析题意：（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B 地； （2）河有两条岸，为了喝水，只要走到上面那条岸即可，故可将河抽象成一条直线；BlABP（3）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和； （4）当点P 在l 的什么位置时，AP 与PB 的和最小？ 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点P 即为所求 （5）你能用所学的知识证明AP+BP最短吗？ BlABPP 证明：在直线l 上任取一点P，连接AP，BP，BP 由轴对称的性质知，BP =BP，BP=BP AP +BP=AP+BP = AB AP+BP= AP+BP 在ABP中， ABAP+BP AP +BPAP+BP即AP+BP最短变式1：如图,点A、B为MON边MO与MN上两点，在ON边上求作一点P，使PAB周长最小.变式2：如图，在平面直角坐标系中画出点A(0,2)、B(5,3),并在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请写出P的坐标 . 三、归纳小结：在解决最短路径问题时，通常利用_变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。四、拓展提高：1.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径CAB山河岸大桥PQ2.如图,点A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点P，Q，使APQ周长最小.3.如图,点A、B是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点P，Q，使四边形APBQ周长最小. 第2题 第3题五、教学反思本节课利用几何画板形象直观的展示重点，从学生的错例讲评有效突破难点，师生互动较好，学生探索并发现最短路径的方案，掌握对最短路径方案的说理。体现了转化、数形结合的数学思想和方法。4