2.2高等数学矩阵的运算

2021/8/1412.2 矩阵的运算矩阵的运算 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111 定义定义:设两个同型的设两个同型的 m n 矩阵矩阵A=(aij)与与B=(bij),那末矩阵那末矩阵A与与B的和定义为的和定义为(aij+bij),记作记作A+B,即即 1826334059619583112.98644741113 例如例如:12345698186309153122021/8/142 说明说明:只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加才能进行加法运算法运算.矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律(1)交换律交换律:A+B=B+A.(2)结合律结合律:(A+B)+C=A+(B+C).mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211 .ija (3)称为称为矩阵矩阵A的负矩阵的负矩阵.(4)A+(A)=O,AB=A+(B).2021/8/143.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘 定义定义:数数 与矩阵与矩阵A=(aij)的乘积定义为的乘积定义为(aij),记作记作 A 或或A,简称为简称为数乘数乘.即即设设A,B为同型的为同型的m n 矩阵矩阵,为数为数:(1)()A=(A).(2)(+)A=A+A.(3)(A+B)=A+B.数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律矩阵的加法与数乘运算矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算.2021/8/144 skkjiksjisjijiijbabababac12211 定义定义:设设A=(aij)是一个是一个 m s 矩阵矩阵,B=(bij)是一个是一个s n 矩阵矩阵,定义矩阵定义矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积的乘积 C=(cij)是一个是一个m n 矩阵矩阵,其中其中三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘(i=1,2,m;j=1,2,n).并把此乘积记作并把此乘积记作C=AB.例例1:222263422142 C22 16 32 816?123321 132231 .10 例例2:2021/8/145,415003112101 A.121113121430 B例例3:求求AB,其中其中 121113121430415003112101ABC.1026 2 17 105 67 注意注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时的行数时,两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.106861985123321例如例如:不存在不存在.2021/8/146矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律(1)结合律结合律:(AB)C=A(BC);(2)分配律分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)=(A)B=A(B),其中其中 为数为数;(4)Am nEn=EmAm n=A;并且满足幂运算律并且满足幂运算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中其中k,m为正整数为正整数.注意注意:矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律,即即:AB AB,kkAAAA(5)若若A是是n 阶方阵阶方阵,则则Ak为为A的的k次幂次幂,即即例如例如:设设,1111 A,1111 B则则(AB)k AkBk,因此因此,2021/8/147,0000 AB,2222 BA故故,AB BA.例例4:计算下列矩阵乘积计算下列矩阵乘积:,21322 (1).321333231232221131211321 xxxaaaaaaaaaxxx(2)解解(1):21322 12 22 12 22 13 23.634242 解解(2):321xxx=321333231232221131211321 xxxaaaaaaaaaxxxa11x1+a21x2+a31x3a12x1+a22x2+a32x3a13x1+a23x2+a33x32021/8/148233322222111xaxaxa .)()()(323223313113212112xxaaxxaaxxaa 当矩阵为对称矩阵时当矩阵为对称矩阵时,结果为结果为322331132112233322222111222xxaxxaxxaxaxaxa =(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3解解:0010010010012A.002012222 .,001001kAA求求设设 例例5:00100100201222223AAA 32323003033 2021/8/149由此归纳出由此归纳出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 用数学归纳法证明用数学归纳法证明.当当k=2时时,显然成立显然成立.假设假设,当当k=n时结论成立时结论成立,对对 k=n+1时时,001001000211211nnnnnnnnnnnnAAA2021/8/1410所以对于任意的所以对于任意的 k 都有都有:.00021121 kkkkkkkkkkkA 11110010211nnnnnnnnnn 2021/8/1411 定义定义:把矩阵把矩阵A 的行列互换的行列互换,所得到的新矩阵所得到的新矩阵,叫叫做做矩阵矩阵A 的转置矩阵的转置矩阵,记作记作AT.例如例如:,854221 A;825241 TA .618 TB,618 B、转置矩阵、转置矩阵(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质2021/8/1412解法解法1:因为因为 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB例例6:已知已知,102324171,231102 BA求求(AB)T.所以所以解法解法2:213012131027241.1031314170 (AB)T=BTAT2021/8/1413由矩阵转置和对称矩阵的定义可得由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:方阵方阵A 为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.方阵方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是为反对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.证明证明:因为因为 例例7:设列矩阵设列矩阵X=(x1 x2 xn)T,满足满足XTX=1,E为为n 阶单位矩阵阶单位矩阵,H=E 2XXT,证明证明:H为对称矩阵为对称矩阵,且且HHT=E.HT=(E 2XXT)T=ET 2(XXT)T=E 2XXT=H.所以所以,H为对称矩阵为对称矩阵.HHT=H2=(E 2XXT)2=E2 E(2XXT)(2XXT)E+(2XXT)(2XXT)=E 4XXT+4(XXT)(XXT)=E 4XXT+4X(XTX)XT=E 4XXT+4XXT=E 2021/8/1414 例例7:证明任一证明任一n 阶方阵阶方阵A 都可表示成对称阵与反都可表示成对称阵与反对称阵之和对称阵之和.证明证明:设设 C=A+AT,所以所以,C为对称矩阵为对称矩阵.)(21)(21TTAAAAA ,2121BC 从而从而,命题得证命题得证.则则 CT=(A+AT)T=AT+A=C,设设 B=A AT,则则 BT=(A AT)T=AT A=B,所以所以,B为反对称矩阵为反对称矩阵.2、方阵的行列式、方阵的行列式 定义定义:由由n 阶方阵阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做的元素所构成的行列式叫做方阵方阵A 的行列式的行列式,记作记作|A|或或 detA.2 ,8632 A例如例如:8632 A则则2021/8/1415方阵行列式的运算性质方阵行列式的运算性质(1)|AT|=|A|;(2)|A|=n|A|;(3)|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.定义定义:行列式行列式|A|的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式Aij 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵 nnnnnnAAAAAAAAAA2122212121113、伴随矩阵、伴随矩阵称为矩阵称为矩阵A 的的伴随矩阵伴随矩阵.性质性质:AA*=A*A=|A|E.证明证明:设设A=(aij),AA*=(bij).2021/8/1416则则jninjijiijAaAaAab 2211,|ijA 故故同理可得同理可得AA*=(|A|ij)=|A|(ij)=|A|E.=(|A|ij)=|A|(ij)=|A|E.nkjkikAa1)(1 nkkjkiaAA*A=4 4、共轭矩阵、共轭矩阵 定义定义:当当 A=(aij)为复矩阵时为复矩阵时,用用 表示表示aij 的共轭的共轭复数复数,记记 ,称称 为为A 的共轭矩阵的共轭矩阵.ija)(ijaA A ;2AA .3BAAB 运算性质运算性质 ;1BABA 设设A,B为复矩阵为复矩阵,为复数为复数,且运算都是可行的且运算都是可行的,则则:2021/8/1417矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵 (1)只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法才能进行加法运算运算.(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时行数时,两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律且矩阵相乘不满足交换律.(3)矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.注意注意2021/8/1418思考题思考题思考题解答思考题解答 设设A与与B为为 n 阶方阵阶方阵,等式等式A2B2=(A+B)(AB)成成立的充要条件是什么立的充要条件是什么?答答:因为因为(A+B)(A B)=A2+BA AB B2,故等式故等式A2 B2=(A+B)(A B)成立的充要条件是成立的充要条件是:AB=BA.部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！