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均值不等式教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址教学设计32均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式本节重要目的是使学生理解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一种几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解教材用作差配措施证明均值不等式作差配措施是证明不等式的基本措施，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要措施在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”本节的新课标规定是：摸索并理解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简朴的最大问题从历年的高考来看，均值不等式是重点考察的内容之一，它的应用范畴几乎波及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范畴等不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同步也是高中数学的一种难点，题型广泛，波及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影书中练习A、B和习题都是基本题，规定全做鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2学时完毕，但仅限于基本措施和基本技能的掌握，不波及高难度的技巧第一学时重在均值不等式的探究，第二学时重在均值不等式的灵活运用且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2b22ab的联系三维目的通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等2通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗入“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力引起学生学习和使用数学知识的爱好，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德3通过本节学习，使学生体会数学于生活，协助学生养成良好的学习习惯，形成积极摸索的态度，逐渐养成严谨的科学态度及良好的思维习惯重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度摸索不等式ab2ab的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决某些简朴的实际问题教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式ab2ab等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题学时安排2学时教学过程第1学时导入新课思路1.像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生运用上节课的基本性质来探究它的证明措施由于有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然思路2.教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一种360的旋转，不仅风车转得美丽，课堂氛围也活跃，学生在紧张的课堂氛围中立即变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题推动新课新知探究提出问题1均值定理的内容是什么？如何进行证明？2你能证明a2b22ab吗？3你能尝试给出均值不等式的一种几何直观解释吗？4均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出点拨学生运用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式其中，任意两个正实数a、b的ab2叫做数a、b的算术平均值，数ab叫做a、b的几何平均值均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值不小于或等于它的几何平均值强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一种热点可以通过反例或特例让学生进一步结识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当ab，以加深学生对此结论的理解，为背面求最值时的“一正二定三相等”打下基本运用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2b22ab.这是一种很重要的结论一般地，如果a、bR，那么a2b22ab也可让学生重新证明这个结论：a2b22ab2，当ab时，有20.当ab时，有20，因此20，即a2b22ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一种很重要的不等式，应用非常广泛请同窗们注意公式的构造形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当ab时成立“当且仅当”即指充要条件下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究如图1，AB是圆的直径，点c是AB上一点，Aca，Bcb.过点c作垂直于AB的弦DD，连结AD、BD.你能运用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1这个图形是我们在初中非常熟悉的一种重要图形容易证明AcDDcB.因此可得cDab.或由射影定理也可得到cDab.从图中我们可直观地看到ab表达的是半弦长，ab2表达的是半径长由于半弦长不不小于半径，即cD不不小于或等于圆的半径，用不等式表达为：ab2ab.显然，上述不等式当且仅当点c与圆心重叠，即当ab时，等号成立还应让学生熟悉均值不等式的其她变形式如若a、bR，则abab2，当且仅当ab时，式中档号成立好多书上就把它称为基本不等式在同样条件下还可写成：ab2ab或2abab等讨论成果：略均值不等式的几何解释是：半径不不不小于半弦长若a、bR，则abab2，当且仅当ab时，式中档号成立；若a、bR，则ab2ab，当且仅当ab时，式中档号成立；若a、bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，式中档号成立应用示例例1活动：本例是均值不等式的简朴应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的ba和ab相称于均值不等式中的a、b.因此必须有ba，abR点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，立即先想到条件，养成良好的解题习惯.变式训练已知a、b、c都是正实数，求证：8abc.证明：a0，b0，c0，ab2ab0，bc2bc0，ca2ca0.2ab•2bc•2ac8abc，即8abc.例2已知2，求证：xyababxy2.活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论本题结论中，注意xyab与abxy互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，通过变形，阐明xyab与abxy为正数开始证题证明：2，axaybxby2ay2bx.axaybybx0.0.0，即ab与xy同号xyab与abxy均为正数xyababxy2xyab•abxy2xyababxy2.点评：本题通过对已知条件变形，恰本地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断xyab与abxy是正还是负，是我们此后解题中常用的措施例3若ab1，Plga•lgb，Q12，Rlgab2，则ARPQBPQRcQPRDPRQ活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用根据P、Q、R三个式子的构造特点，应考虑运用均值不等式，再运用函数ylgx的单调性答案：B解析：ab1，lgalgb0.1212•2lga•lgb，即QP.又ab2ab，lgab2lgab12RQ.故PQR.点评：应精确理解均值不等式成立的条件，发明性地应用均值不等式例4活动：这是一种实际问题教师引导学生分析，根据题旨在中，矩形的长与宽的积是一种常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在中，矩形的长与宽的和的两倍是一种常数，求长与宽的积的最大值联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试这里用均值不等式来解，一是阐明运用均值不等式求最值的措施，二是阐明这种措施的快捷解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值简朴地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”正是正数，定是定值，相等是能取到等号知能训练“a18”是“对任意的正数x,2xax1”的A充足不必要条件B必要不充足条件c充要条件D既不充足又不必要条件2若正数a、b满足abab3，则ab的取值范畴是_答案：A解析：一方面，当a18时，对任意的正数x，有2xax2x18x1；另一方面，对任意正数x，均有2xax1，只要2xax22a1，即得a18.29，)解法一：令abt，由abab32ab3，得t22t3，解得t3，即ab3，故ab9.解法二：由已知得abba3，ba3，ba3a1aba•a3a11a3a1a3a3a1a14a14a1a14a152a1•4a159.当且仅当a14a1时取等号，即ab3时，ab的最小值为9.ab的取值范畴是9，)点评：此题较全面地考察了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力通过思考ab与ab的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域由于视角的不同，有多种措施，以上仅是其中的两种解法课堂小结由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识措施？有哪些收获？2教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数，几何平均数及它们的关系两关系式成立的条件不同，前者只规定a、b都是实数，而后者规定a、b都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具作业习题32A组，4,5,6.习题32B组，1,2.设计感想本节设计突出重点均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住但使用均值不等式求函数最值时要注意：x，y都是正数；积xy为定值；x与y必须可以相等2本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会措施将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路也许头头是道，具体求解却也许会到处碰壁，消除思路与求解的差别，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐渐完善第2学时导入新课思路1.让学生回忆上节课我们探究的重要成果：一是如果a，bR，那么a2b22ab；二是均值不等式：如果a，b是正数，那么ab2ab在这个不等式中，ab2为a，b的算术平均数，ab为a，b的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不不小于半径a2b22ab与ab2ab成立的条件是不同的，前者只规定a，b都是实数，而后者规定a，b都是正数本节课我们进一步探究均值不等式的应用由此展开新课思路2.通过上节课a2b22ab与ab2ab的探究证明，我们熟悉了不等式的某些证明措施本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、措施，进一步熟悉运用均值不等式解决函数的最值问题的思路教师打开多媒体，从而展开新课推动新课新知探究提出问题1回忆上节课探究的均值不等式，如何理解均值不等式的意义？均有哪些变形？2均值不等式均有哪些方面的应用？3在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a2b22ab的联系给出了均值不等式的一种几何直观解释均值不等式与a2b22ab均有着广泛的应用对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的后者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充足必要条件；而前者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正数是不等式成立的充足不必要条件，如a0，b0，仍然能使ab2ab成立两个不等式中档号成立的条件都是ab，故ab是不等式中档号成立的充要条件在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”当条件不完全具有时，应发明条件本节课我们将进一步探究均值不等式的应用讨论成果：略应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”应用示例例1活动：本例是求函数的最值教师引导学生将f变形，注意观测代数式中可否浮现和或积的定值本例可放手让学生自己探究，教师予以合适点拨点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.变式训练函数yloga1的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则1m2n的最小值为_答案：8解析：yloga1恒过点，A又A在直线上，2mn10，即2mn1.又mn0，m0，n0.而1m2n2mnm4m2nn2nm24mn4228，当n12，m14时取“”1m2n的最小值为8.例2已知x54，求函数y4x214x5的最大值；已知a、b为实数，求函数y22的最小值活动：由于4x50，因此一方面要“调节”符号又•14x5不是常数，因此应对4x2进行拆项“配凑”从函数解析式的特点看，本题可化为有关x的二次函数，再通过配措施求其最小值但若注意到为定值，则用变形不等式m2n222更简捷解：x54，54x0.y4x214x53231.当且仅当54x154x，即x1时，上式等号成立当x1时，ymax1.y22222xabx22ab22，当且仅当xabx，即xab2时，上式等号成立当xab2时，yminab22.点评：若x、yR，xys，xyp.若p为定值，则当且仅当xy时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当xy时，p的值最大简称“和定积最大，积定和最小”从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的规定.变式训练已知在ABc中，AcB90，Bc3，Ac4，P是AB上的点，则点P到Ac、Bc的距离乘积的最大值是_答案：3解析：措施一：以cA、cB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB方程为x4y31，设P，则a4b31ab12•a4•b31223，当且仅当“a4b3”时等号成立措施二：设P到Bc的距离为a，到Ac的距离为b.由相似三角形易得a4PB5，b3PA5，a4b3PBPA51.如下解法同一例3当x1时，求函数fx23x1x1的值域活动：教师引导学生观测函数f的分子、分母特点，可作如下变形：fx23x1x1x125x15x1x15x15.这样就可以应用均值不等式了解：x1，x10.fx23x1x1x125x15x1x15x152x15x15255，当且仅当25时，即x51时取“”另一解x511，故函数值域为255，)点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用措施有单调性、图象法，尚有鉴别式法运用鉴别式法不仅计算量大，并且极易因忽视某些条件而出错本例给出了用均值不等式法求值域的措施，既简朴又不易出错但提示学生一定要注意必须满足的三个条件：各项均为正数；和或积有一种为定值；等号一定取到，这三个条件缺一不可.变式训练已知x1•x2•x3••xXX1，且x1、x2、x3、xXX都是正数，则的最小值是_答案：2XX解析：x10，则1x12x1，同理，1x22x2，xXX2xXX，各式相乘，得2XX•x1•x2•x3••xXX2XX.取“”的条件为x1x2x3xXX1，所求最小值为2XX.例4设0x2，求函数f3x83x的最大值，并求相应的x值试问0x43时，原函数f有无最大值？0x1时，f有无最大值？若有，请你求出来；若没有，请你阐明理由活动：对本例中的函数可变形为f24x9x2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识措施解决，这种措施学生很熟悉教师可引导学生运用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨解：0x2，83x0.f3x83x3x83x224，当且仅当3x83x，即x43时取“”函数f的最大值为4，此时x43.又f9x224x3x4216，当0x43时，f递增；当x43时，f递减当0x43时，原函数f没有最大值当0x1时，有最大值f，即f15点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆项或配凑因式知能训练函数fxx1的最大值为A.25B.12c.22D12求函数yx1x的最小值，以及此时x的值3已知x、yR，且2x8yxy0，求xy的最小值答案：B解析：当x0时，f0；当x0时，fxx11x1x12，当且仅当x1x，即x1时取等号2解：x0，x1x2•x•1x2，当且仅当x1x，即x1时取等号当x1时，x1x的值最小，最小值是2.3解：由2x8yxy0得y2x.x0，y0，x80.xy2xx8xx816x8102x8•16x81018，当且仅当x816x8，即x12时，xy取最小值18.课堂小结由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想措施，回忆本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的某些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考察下列三个条件：函数的解析式中，各项均为正数；函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一种为定值；函数的解析式中，含变数的各项均相等，获得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具有三个条件：一正、二定、三相等在运用均值不等式证明某些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式构造作业习题32A组2、3、7、8、9；习题32B组3、4.设计感想本节设计旨在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练2本节设计关注了教学进程的和谐发展整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过度自我展示的味道，能使学生的思维得到充足的锻炼，能力得到很大的提高3本节设计注重了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的积极思维活动，充足让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方备课资料一、算术平均数不不不小于几何平均数的一种证明措施设a1，a2，a3，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即Aa1a2ann，Gna1a2an，即AG，当且仅当a1a2an时，AG.特别地，当n2时，ab2ab；当n3时，abc33abc.用局部调节法证明均值不等式AG.设这n个正数不全相等不失一般性，设0a1a2an，易证a1Aan，且a1Gan.在这n个数中去掉一种最小数a1，将a1换成A，再去掉一种最大数an，将an换成a1anA，其他各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，an1，a1anA.这一代换具有下列性质：两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1Aa2a3an1a1anAnA，第二组数的几何平均值最大设第二组数的几何平均值为G1，则G1nAa2a3an1a1anA，Aa1an，由a1Aan，得0，则Aa1an.Aa2a3an1a1a2an1•an，即G1G.二、备用习题已知a0，b0，且ab2，则Aab12Bab12ca2b22Da2b232若a、b、c、d、x、y是正实数，且Pabcd，Qaxcy•bxdy，则APQBPQcPQDPQ3若函数yf的值域是12，3，则函数Ff1fx的值域是A12，3B2，103c52，103D3，1034某公司一年购买某种货品400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨5直线l过点m且分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，o为坐标原点，求AoB面积最小时l的方程6通过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y与汽车的平均速度v之间的函数关系为y920vv23v1600在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？若规定在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范畴内？参照答案：c解析：对于选项c：a2b2a2b2a2b22a2b22ab2ab222.故c对的2c解析：a、b、c、d、x、y是正实数，Qaxcy•bxdyabcdadxybcyxabcd2abcdabcdP.3B解析：令tf，则t12，3FGt1t.该函数在t1处获得最小值2，在t3处获得最大值103.故选B.420解析：设一年总费用为y万元，则y4•400x4x1600x4x21600x•4x160，当且仅当1600x4x，即x20时，等号成立5解：设直线l的方程为y1k，即ykx12k令x0，得y12k；令y0，得x2k1k21k.SAoB12212kk0，2k0.SAoB224，当且仅当12k2k，即k12时取等号此时l的方程为y12x2.6解：依题意，得y9203v1600v92032160092083，当且仅当v1600v，即v40时，上式等号成立，因此ymax9208311.1由条件得920vv23v160010，整顿，得v289v16000，即0，解得25v64.答：当v40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时如果规定在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应不小于25千米/时且不不小于64千米/时
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