南通大学《误差理论与数据处理》复习要点

误差理论与数据处理复习要点第一章 绪论一、误差的基本概念1、误差的定义及表示方法（1）（绝对）误差=测得值-真值，结果可正可负。（2）修正值：为消除系统误差而用代数法加到测量结果上的值。修正值u真值-测得值，与误差值大小相等、符号相反。（3）相对误差=绝对误差/真值绝对误差/测得值，结果可正可负。（4）引用误差=示值误差/测量范围上限=（示值-实际值）/量程2、误差来源 测量装置误差（标准量具、仪器、附件）；环境误差（温度、湿度、气压）；方法误差；人员误差。3、误差分类1）系统误差（多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变；或在条件改变时，按一定规律变化的误差）；2）随机误差（多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差）；3）粗大误差（超出在规定条件下预期的误差）。二、精度1、精度：反映测量结果与真值接近程度的量，误差小精度高。2、精度的分类:1）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示；2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度；3）准确度（正确度）：反映测量结果中系统误差的影响程度。 精密度和准确度无关；精确度高，则精密度与准确度都高。三、有效数字与数据运算1、有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方 起的第一个非零数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起至最末一位数字止的所有数字，都是有 效数字。2、数字舍入原则:（1）舍去部分数值保留部分末位的半个单位，末位数加1;（2）舍去部分数值V保留部分末位的半个单位，末位数不变；（3）舍去部分数值=保留部分末位的半个单位，末位数凑成偶数。3、数据运算规则:（1）加减运算时，以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，结果应与小数位数最少 的数据小数位相同；2）乘除运算时，以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据多取一位数字，结果应与有效位数最少的 数据小数位相同；3）平方或开方运算，按乘除运算处理；（4）对数运算，n为有效数字的数据应用n为对数表，或用（n+1 ）为对数表，以免损失精度；5）三角函数运算，所取函数值的位数随角度误差的减小而增多，对应关系如下。角度误差（”1010.10.01函数值位数5678第二章 误差的基本性质与处理一、随机误差1、随机误差产生的原因：测量装置方面、环境方面、人员方面。2、若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差具有以下特征：（1）对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；（2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；（3）有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限；（4）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。3、算术平均值（1）（近似认为是被测量的真值L。）。残余误差：（2） 算术平均值的校核:，当求得的为未经凑数的准确数时，有。残余误差代数和的绝对值应符合：1）当n为偶数时，-;2）当n为奇数时，-。4、等精度测量的标准差:（1） 单次等精度测量的标准差：一,（测得值与真值之差）；贝塞尔公式：评定单次测量不可靠性的参数：标准差（）、或然误差（-）、平均误差（-）（2） 测量列算术平均值的标准差=,测量次数越大，测量精度越高，较为适宜。评定算术平均值的精度标准：标准差（=）、或然误差（）、平均误差（）（3）标准差的其他计算方法1）别捷尔斯法:-=；2）极差法:n234567891011121314151617181920dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74，真值已知3）最大误差法:，真值未知5、等精度测量的极限误差（1）单次测量的极限误差正态分布时， ， t=3， P=99.73%；一般地，,t 是置信系数。t=2.58, P=99% ； t=2, P=95.44%； t=1.96, P=95%。（2）算术平均值的极限误差正态分布时，；测量列的测量次数较少时，按学生氏”分布或t分布计算，是置信系数。自由度， 是显著水平，常取。解题步骤: 1）求算术平均值 ； 2）求残余误差:； 3）求标准差 、 ； 4）计算极限误差6、不等精度测量（1）权:说明测量结果的可靠程度。（2） 权的确定：测量次数；权与其相应的标准差平方成正比一 （3） 加权算术平均值：；当时， 一简化计算， 为接近 的任选参考值。（ 4）单位权（5）加权算术平均值的标准差：7、随机误差的其他分布：均匀分布、反正弦分布、三角形分布、 分布、t分布、F分布。二、系统误差1、系统误差产生的原因:测量装置方面的因素、环境方面的因素、测量方法的因素、测量人员方面的因素。2、系统误差的特征：在同一条件下，多次测量统一测量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或是在条件改变时，误差按照一定规律变化。系统误差的统计规律：1）在多次重复测量同一测量值时，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或服从一定函数规律的误差；2）系统误差即是服从某一确定规律变化的误差。系统误差的分类：不变的系统误差、线性变化的系统误差、周期性变化的系统误差、复杂规律变化的系统误差。3、系统误差的发现方法:（1）实验对比法:是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差，适用于不变的系统误差；（2）残余误差观察法:1）若残余误差大体上是正负相同，且无显著变化规律，则无根据怀疑是存在系统误差；2）若残余误差数值有规律地递增或递减，且在测量开始与结束时误差符号相反，则存在误差；3）若残余误差符号有规律地逐渐由负变正，再由正变负，且循环交替重复变化，则存在周期性系统误差。（3）残余误差校核法:1）用于发现线性系统误差将测量列中前k个残余误差相加，后（n-k）个残余误差相加（当n为偶数，取k=n/2； n为奇数，k=n+l/2） 两者相减，若差值 显著不为 0，则有理由认为测量列存在线性系统误差（马利科夫准则）；若 =0，可能存 在系统误差。2）用于发现周期性系统误差若有一等精度测量列，按测量先后顺序将残余误差排列为片，v2，v,（阿卑-赫梅特准则） 12n令，若，则认为测量列中含有周期性系统误差。（4）不同公式计算标准差比较法对等精度测量，可用不同公式计算标准差:1）按贝塞尔公式一；2）按别捷尔斯公式=。令一，若=，则怀疑存在系统误差。（5）计算数据比较法 对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足 随机误差条件，否则可认为存在系统误差。任意两组结果和之间不存在系统误差的标志是：（6）秩和检验法 将独立测得的两组数据，混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混 合后的次序（即秩），再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。1）当 n1、n2 10 时，若，则无根据怀疑存在系统误差。2） 当片、n210时，TN （ ），t=（T-a）/，选取概率，查正态分布积分表的t，若 ，则无根据怀疑存在系统误差。（7）t检验法独立测得的两组数据xi，i=1，2, ，nx； yi，ii，2,，出令，服从自由度为的t分布变量，式中 一 ， ，取显著度，由t分布表查中的，若算出，则无根据怀疑两组间有系统误差。4、系统误差的减小和消除 从产生误差根源上消除系统误差； 用修正法消除系统误差； 不变系统误差消除法：代替法、抵消法、变换法； 线性系统误差消除法对称法； 周期性系统误差消除法半周期法。三、粗大误差1、粗大误差产生原因:（1）测量人员的主观原因：操作不当、测量时不小心、不仔细；（2）客观外界条件的原因:测量条件意外改变（如机械冲击、外界振动）2、粗大误差的防止与消除：加强测量者的工作责任心：保证测量条件的稳定。3、判别粗大误差的准则准则适用于测量次数较多的测量列；格罗布斯准则的可靠度最高，适用于测量次数为n=20100时；测 量次数很小时，可釆用罗曼若夫斯基准则：狄克松准则可快速从测量列中判别出是否含有粗大误差。（1）准则（莱以特准则）以测量次数充分大为前提，若发现有大于 的残余误差的测量值，即，则可认为它含有粗大误差，应予以剔除。（2）罗曼诺夫斯基准则当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来判别粗大误差，较为合理。首先剔除一个可疑的测量值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。若，则认为含有粗大误差，剔除 是正确的；、为剔除 后的测量值的平均值和标准差,k是t分布的检验系数k（n,）, n 是测量次数。（3）格罗布斯准则设对某量作多次等精度独立测量，得 ，当服从正态分布时，-，将 按大小顺序排列成顺序统计量 ，而若认为 可疑，则有；若认为 可疑，则有。当，即判别该测量值含有粗大误差，并予以剔除。（4）狄克松准则（无需求出标准差）是 ， 的顺序统计量，当 服从正态分布时，得到 的统计量-当的统计量时，不含粗大误差四、测量结果的数据处理实例（误差理论P52）1、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例步骤：计算算术平均值；求残余误差；校核算术平均值及其残余误差；判断系统误差；求测量 列单次测量的标准差；判别粗大误差；求算术平均值的标准差；求算术平均值的极限误差（）；写出最后测量结果（）。（例2-24）2、不等精度直接测量列测量结果的数据处理实例步骤：求加权算术平均值；求残余误差并进行校核；求加权算术平均值的标准差：求加权算术平 均值的极限误差（）；写出最后测量结果（）。第三章 误差的合成与分配1、随机误差的合成方法：方和根。2、系统误差的合成方法：代数和。3、系统误差与随机误差的合成（1）按极限误差合成1）单次测量：总； 2）多次测量：总-（随机误差具有抵偿性）（2）按标准差合成1）单次测量：；2）多次测量：总（随机误差具有抵偿性）4、微小误差的取舍准则：对于随机误差和未定系统误差，被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差 的 1/31/10。第四章 测量不确定度一、测量不确定度的基本概念1、测量不确定度可用两种方法来评定： A 类评定、 B 类评定。（1）A类评定:用一系列观测数据的统计分析来评定；（2）B类评定：基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。二、标准不确定度的评定1、标准不确定度的A类评定在其他X.（jI保持不变的条件下，仅对Xi进行n次等精度独立测量，用统计法由n个观测值求得单次测 量标准差 ，则 的标准不确定度 的数值按下列情况分别确定：（1）用单次测量值作为X的估计值，则；i（2）用n次测量的平均值作为X的估计值，则一。i2、标准不确定度的B类评定（1）测量估计值x受多个独立因素影响，且影响大小相近，则假设为正态分布，由所取置信概率P的分布区间半宽a与包含因子k来估计标准不确定度，即一。p（2）估计值x取自有关资料，所给出的测量不确定度U为标准差的k倍时，则 一。(3) 已知估计值x落在区间(x-a, x+a)内的概率为1,且在区间内各处出现的机会相等，则x服从均匀分布，其标准不确定度为：O(4) 当估计值x受到两个独立且皆是具有均匀分布的因素影响，则x服从在区间(x-a, x+a)内的三角分布，其标准不确定度为：O(5) 当估计值x服从在区间(x-a，x+a)内的反正弦分布，则其标准不确定度为：弋。3、自由度及其确定(1) 自由度概念将不确定度计算表达式中总和包含的项数，减去各项之间存在的约束条件所得差值，用V表示；意义：反映不确定度评定的质量。自由度越大，标准差越可信赖，不确定度评定质量越好。(2) 自由度的确定1) 标准不确定度A类评定的自由度 用贝塞尔法计算的标准差，自由度为v=n-1 别捷尔斯法、极差法、最大误差法2) 标准不确定度B类评定的自由度 其中，为评定u的标准差；为评定u的相对标准差。三、测量不确定度的合成1、 展伸不确定度Y=yU, U=ku，k是包含因子，u是合成标准不确定度，一，k由t分布的临界值决CC_定, k=t(v), 般情况下可取k=23p2、不确定度的报告用合成标准不确定度表示测量不确定度时，应给出合成标准不确定度u及其自由度v；C用展伸不确定度表示测量不确定度时，应给出展伸不确定度U、合成标准不确定度u、自由度V、置信概率CP和包含因子k；3、结果表示例:假设报告的而被测量Y是标称值为100g的标准砝码，其测量的估计值y=100.02147g,对应的合成标准 不确定度uc=0.35mg，自由度v=9，则测量结果可表示为：a、y=100.02147g， uc=0.35mg， v=9b、Y=100.02147(35)g， v=9c、Y=100.02147(0.00035)g， v=9d、Y=(100.021470.00035)g， v=9报告中合成标准不确定度或展伸不确定度的有效数字不超过2位，不确定度的数值与被测量的估计值末位 对齐第五章最小二乘法处理（P109例5-1）一、最小二乘原理最可信赖值应在使残余误差平方和最小的条件下求得 等精度测量时，最小不等精度测量时，加权残余误差平方和最小误差方程,设有列向量 ， ， ，其中：是n个直接测量结果；是t个待求的被测量的估计量；是n个直接测量结果的残余误差；是n个误差方程的n t个系数。可得线性测量参数的等精度测量时，残余误差平方和最小这一条件的=最小不等精度测量时，最小二乘原理的最小或=最小二、正规方程1、等精度线性测量参数最小二乘处理的正规方程又，正规方程可表示为，即，令 则正规方程又可写为，若A的秩等于t,则矩阵C是满秩的，即，那么必定有唯一解为，。解题步骤：列误差方程式；列出正规方程；解出待求估计量（解方程组或矩阵求解）;精度估计。2、不等精度线性测量参数最小二乘处理的正规方程又，正规方程可表示为，即则 令，则,。三、精度估计测量数据的精度估计1、 等精度测量数据的精度估计2、 不等精度测量数居的精度估计四、组合测量的最小二乘处理步骤：1）列出误差方程；2）矩阵形式求解的最佳估计值；3）代入误差方程求得测量数据的标准差；4） 求不定乘数 dij； 5）求出估计量的标准差。；估计量对应的方差为其中不定乘数dij是矩阵C-1中的各元素，即第六章回归分析（P139例6-1,2）1、一元线性回归方程其中2、一元线性回归方程的方差分析和显著性检验（1）方差分析其中，回归平方和：残余平方和：如果总的离差平方和S是由N项组成，其自由度 就是N-1，即，在一元线性回归问题中，故。（2）显著性检验（F检验法），对一元线性回归， 检验时，需查出F分布表中对三种不同显著水平a的数值，设记为，将F值与这三个数比较：1） 若，则认为回归是高度显著的（或称在0.01 水平上显著）；2） 若，则称回归是显著的（或称在0.05水平上显著）；3） 若，一般认为回归不显著的，此时y对x的线性关系不密切。（3）残余方差与残余标准差残余方差：残余标准差： 残余标准差 越小，回归直线的精度越高。（4）方差分析表来源自由度方差Fa *回归1残余N-2总和N-1