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第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ.2.弧度制(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号 rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.(2)角的弧度数公式:在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为 rad,则|=lr.(3)角度制和弧度制的互化:180= rad,1=180 rad0.017 45 rad,1 rad=(180)57.30=5718.(4)扇形的弧长公式:l=|r,扇形的面积公式:S=12lr=12|r2.3.任意角的三角函数(1)定义设是一个任意角,R,它的终边OP与单位圆交于点P(x,y),那么sin =y,cos =x,tan =yx(x0).(2)三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)任意角的三角函数的定义(推广)设P(x,y)是角终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sin =yr,cos =xr,tan =yx(x0).1.扇环的面积公式S=12(l+l)(r-r).其中l,l是扇环的两条弧长,r,r是两条弧所在圆的半径,且rr.2.面积(周长)一定的扇形,周长最小(面积最大)时,扇形的弧长l与半径r满足l=2r,即扇形圆心角等于2 rad.3.若角(0,2),则sin tan .1.(必修第一册P171练习T3改编)角-860的终边所在的象限是(C)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:-860=-2360-140,-860和-140的终边相同,故-860的终边在第三象限.故选C.2.下列与94的终边相同的角的表达式中正确的是(C)A.2k-45(kZ)B.k360+94(kZ)C.k360-315(kZ)D.k+54(kZ)解析:与94的终边相同的角可以写成2k+94(kZ),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有C正确.故选C.3.若角同时满足sin 0且tan 0,则角的终边一定落在(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由sin 0,可知的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合;由tan 0,可知的终边可能位于第二或第四象限.故的终边只能位于第四象限.故选D.4.已知角的终边与单位圆的交点为M(12,y),则sin 等于(B)A.32B.32C.22D.22解析:由题意知r2=(12)2+y2=1,所以y=32.由三角函数的定义知sin =y=32.故选B.5.角-225=弧度,这个角在第象限.答案:-54二6.已知半径为120 mm的圆上,有一条弧长是144 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为 rad.解析:由题意知=lr=144120 rad=1.2 rad.答案:1.2 象限角及终边相同的角1.若角是第二象限角,则2是(C)A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角解析:因为是第二象限角,所以2+2k+2k,kZ,所以4+k22+k,kZ.当k为偶数时,2是第一象限角;当k为奇数时,2是第三象限角.综上,2是第一或第三象限角.故选C.2.-2 021角是第象限角,与-2 021角终边相同的最小正角是,最大负角是.解析:因为-2 021=-6360+139,所以-2 021角的终边与139角的终边相同.所以-2 021角是第二象限角,与-2 021角终边相同的最小正角是139.又139-360=-221,故与-2 021角终边相同的最大负角是-221.答案:二139-2213.终边在直线y=3x上,且在-2,2)内的角的集合为.解析:如图,在平面直角坐标系中画出直线y=3x,可以发现它与x轴的夹角是3,在0,2)内,终边在直线y=3x上的角有两个:3,43;在-2,0)内满足条件的角有两个:-23,-53,故满足条件的角构成的集合为(53,-23,3,43).答案:(-53,-23,3,43)4.已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角的集合用弧度制可表示为.解析:在0,2)内,终边落在阴影部分角的集合为(4,56),所以所求角的集合为2k+42k+56,kZ.答案:2k+42k+56,kZ1.象限角的判定有两种方法:(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k360+(0360,kZ)的形式,即找出与已知角终边相同的角,再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角.2.由所在象限判定2所在象限,应先确定2的范围,并对整数k的奇、偶情况进行讨论.3.表示区间角的三个步骤:(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的-360360范围内的角和,写出最简区间.(3)起始、终止边界对应角,再加上360的整数倍,即得区间角集合. 弧长公式与扇形的弧长和面积公式 已知一扇形的圆心角为,半径为R,弧长为l.若=3,R=10 cm,求扇形的面积.解:由已知得=3,R=10,所以S扇形=12R2=123102=503(cm2).典例迁移1 若本例条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解:l=R=310=103(cm),S弓形=S扇形-S三角形=12lR-12R2sin 3=1210310-1210232=50-7533(cm2).典例迁移2 若本例条件改为:“若扇形周长为20 cm”,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?解:由已知得,l+2R=20,即l=20-2R(0R0,所以4m264m2+9=125,即m=12.故选B.利用三角函数定义求三角函数值的方法(1)已知角终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.三角函数值的符号判定 (2021山西四校联考)已知sin 20,且|cos |=-cos ,则点P(tan ,sin )在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由|cos |=-cos 可知cos 0,由sin 2=2sin cos 0可知cos 0,所以tan 0,cos =-10.针对训练 1.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,若A(x,3)是角终边上一点且cos =-1010,则x等于()A.-33B.33 C.1 D.-1解析:cos =-10100及A(x,3)是角终边上一点x0,由三角函数的定义,得xx2+9=-1010,解得x=-1.故选D.2.若sin tan 0,且costan0,则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由sin tan 0可知sin ,tan 异号,则为第二或第三象限角;由costan0可知cos ,tan 异号,则为第三或第四象限角.综上可知,为第三象限角.故选C. 若=k180+45(kZ),则在()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限解析:当k=2n(nZ)时,=2n180+45=n360+45,为第一象限角.当k=2n+1(nZ)时,=(2n+1)180+45=n360+225,为第三象限角.所以为第一或第三象限角.故选A. 已知扇形的周长是4 cm,则扇形面积最大时,扇形的圆心角的弧度数是()A.2B.1C.12D.3解析:设此扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为,则2r+l=4,即l=4-2r(0rcos x成立的x的取值范围为(D)A.( 4,2)(,54)B.( 4,)C.( 4,)(54,32)D.( 4,54)解析:如图所示,找出在(0,2)内,使sin x=cos x成立的x的值,sin 4=cos 4=22,sin 54=cos 54=-22.满足题中条件的角x(4,54).故选D.6.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,角以Ox为始边,终边经过点P(-1,m)(m0),则下列各式的值一定为负的是(CD)A.sin +cos B.sin -cos C.sin cos D.sintan解析:由已知得r=|OP|=m2+1,则sin =mm2+10,cos =-1m2+10,tan =-m0,sin cos 0,sintan=cos 0.故选CD.7.已知扇形的圆心角为6,面积为3,则扇形的弧长等于.解析:设扇形的半径为r,弧长为l,则lr=6,12lr=3,解得l=3,r=2.答案:38.若=1 560,角与角终边相同,且-3602,即A2-B,又A,B(0,2),所以sin Acos B,所以sin A-cos B0,同理cos A-sin C0,所以为第四象限角,所以sin 0,tan 0,所以sin|sin|+cos|cos|+tan|tan|=-1+1-1=-1.故选B.10.顶点在原点,始边在x轴的正半轴上的角,的终边与单位圆交于A,B两点,若=30,=60,则弦AB的长为.解析:由三角函数的定义得A(cos 30,sin 30),B(cos 60,sin 60),即A(32,12),B(12,32).所以|AB|=(12-32)2+(32-12)2=2(32-12)=6-22.答案:6-2211.若两个圆心角相同的扇形的面积之比为14,则这两个扇形的周长之比为.解析:设两个扇形的圆心角的弧度数为,半径分别为r,R(其中rR),则12r212R2=14,所以rR=12,两个扇形的周长之比为2r+r2R+R=12.答案:1212.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin =13,则sin =.解析:由已知可得,sin =sin(2k+-)=sin(-)=sin =13(kZ).答案:1313.分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B,C为圆心,1为半径作圆弧AC,BD交于点E,则曲边三角形ABE的周长为.解析:如图,连接BE,EC.因为两圆半径都是1,正方形边长也是1,所以BCE为正三角形,圆心角EBC,ECB都是3,lBE=31=3,EBA=2-3=6,lAE=61=6,所以曲边三角形ABE的周长是1+3+6=1+2.答案:1+214.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l向右,Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是.解析:因为直线l与圆O相切,所以OAAP,设AQ的长为l,所以S扇形AOQ=12lr=12lOA,SAOP=12OAAP,因为l=AP,所以S扇形AOQ=SAOP,即S扇形AOQ-S扇形AOB=SAOP-S扇形AOB,所以S1=S2.答案:S1=S215.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过角,黑蚂蚁每秒爬过角(其中0180), 如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,则=,=.解析:根据题意可知14,14均为360的整数倍,故可设14=m360,mZ,14=n360,nZ, 从而可知=m7180,=n7180,m,nZ.又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,则2,2在第二象限.又0180,从而可得0 22360,因此2,2均为钝角,即90 22180.于是4590,4590.所以45m718090,45n718090 ,即74m72,74n72.又因为,所以mn,从而可得m=2,n=3.即=3607,=5407.答案:36075407
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