（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 理科附加题 第3讲 计数原理与二项式定理练习

第3讲 计数原理与二项式定理1记n的展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n6，求展开式中的常数项；(3)若b32b4，求n.解：(1)n的展开式中第m项为C(2x)nm1m12n1mCxn22m，所以bm2n1mC.(2)当n6时，n的展开式的通项为Tr1C(2x)6rr26rCx62r.依题意，62r0，得r3，故展开式中的常数项为T423C160.(3)由(1)及已知b32b4，得2n2C22n3C，从而CC，即n5.2已知数列an的通项公式为ann1.等式(x22x2)10b0b1(x1)b2(x1)2b20(x1)20，其中bi(i0,1,2，20)为实常数(1)求2n的值；(2)求nb2n的值解：法一：(1)令x1，得b01，令x0，得b0b1b2b202101 024，令x2，得b0b1b2b3b19b202101 024，所以2nb2b4b6b201 023.(2)对等式两边求导，得20(x1)(x22x2)9b12b2(x1)3b3(x1)220b20(x1)19，令x0，得b12b220b20202910 240，令x2，得b12b23b34b419b1920b20202910 240，所以b2n(2b24b46b620b20)5 120.所以nb2n(n1)b2nb2n2n5 1201 0236 143.法二：由二项式定理易知(x22x2)101(x1)210CC(x1)2C(x1)4C(x1)20b0b1(x1)b2(x1)2b20(x1)20，比较可知b2nC(n1,2，10)(1)2nCCC21011 023.(2)因为ann1, 所以nb2n(n1)CC，设TC0C1C2C10C，T也可以写成TC0C10101C9102C81010C，相加得2T10210，即T5210，所以nb2nC521021016 143.3(1)阅读以下案例，利用此案例的想法化简CCCCCCCC.【案例】考察恒等式(1x)5(1x)2(x1)3左右两边x2的系数因为右边(1x)2(x1)3(CCxCx2)(Cx3Cx2CxC)，所以右边x2的系数为CCCCCC，而左边x2的系数为C，所以CCCCCCC.(2)求证：(r1)2(C)2n2C(n1)C.解：(1)考察恒等式(1x)7(1x)3(x1)4左右两边x3的系数因为右边(1x)3(x1)4(CCxCx2Cx3)(Cx4Cx3Cx2CxC)，所以右边x3的系数为CCCCCCCC，而左边x3的系数为C，所以CCCCCCCCC.(2)证明：由rCrnnC，可得(r1)2(C)2(rC)2r(C)2(C)2n2(C)22nC(C)2.考察恒等式(1x)2n(1x)n(x1)n左右两边xn的系数因为右边(1x)n(x1)n(CCxCxn)(CxnCxn1C)，所以右边xn的系数为CCCCCC(C)2，而左边的xn的系数为C，所以(C)2C.同理可求得(C)2C.考察恒等式(1x)2n1(1x)n1(x1)n左右两边xn1的系数因为右边(1x)n1(x1)n(CCxCxn1)(CxnCxn1C)，所以右边xn1的系数为CCCCCCC，而左边的xn1的系数为C，所以CC，所以(r1)2(C)2n2Cn2C2nCCn2C2nCCn(CC)Cn(CC)CnCC(n1)C.4(2019苏北四市调研)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为345？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n，r为正整数，且nr3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列解：(1)杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k0,1,2，n组成如果第n行中有，那么3n7k3,4n9k5，解得k27，n62.即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为345.(2)证明：若有n，r(nr3)，使得C，C，C，C成等差数列，则2CCC，2CCC，即，.有，化简整理得，n2(4r5)n4r(r2)20，n2(4r9)n4(r1)(r3)20.两式相减得，n2r3，于是C，C，C，C成等差数列而由二项式系数的性质可知CCCC，这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立5已知Anx0|xk12k222kn2n，其中nN*，n2，ki1,1(i1，2，n)，记集合An的所有元素之和为Sn.(1)求S2，S3的值；(2)求Sn.解：(1)当n2时，A2x0|xk12k222x0|x2k14k22,6，所以S2268.当n3时，A3x0|xk12k222k323x0|x2k14k28k32,6,10,14所以S326101432.(2)若kn1，且k1k2kn11，n2，nN*，则x2222n12n2n20，此时xAn.所以kn必然等于1，且当k1k2kn11，n2，nN*时，x2222n12n2n20，此时xAn.所以当kn1，k1，k2，kn11,1，n2，nN*时，都有xAn.根据乘法原理知，使得ki1(i1,2,3，n1，n2，nN*)的x共有2n2个，使得ki1(i1,2,3，n1，n2，nN*)的x也共有2n2个，所以Sn中的所有ki2i(i1,2,3，n1，n2，nN*)项的和为0，又因为使得kn1的x共有2n1个，所以Sn2n12n22n1.- 6 -