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考点规范练42直线与圆锥曲线一、基础巩固1.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为()A.2B.728C.22D.5262.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为12时,直线l在y轴上的截距的取值范围是()A.34,+B.34,+C.(2,+)D.(-,-1)3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.134.已知椭圆ax2+by2=1(a0,b0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ba的值为()A.32B.233C.932D.23275.已知斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.455C.4105D.81056.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.107.已知过抛物线y=14x2的焦点F的直线l分别与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则ABDC=.8.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点A(0,-1),且离心率为22.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于P,Q(均异于点A)两点,证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.9.在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH|ON|;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.二、能力提升10.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)11.设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆x24+y2=m(m1)上两点A,B满足AP=2PB,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.13.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.三、高考预测14.(2018北京,理19)已知抛物线C:y2=2px(p0)经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,QM=QO,QN=QO,求证:1+1为定值.考点规范练42直线与圆锥曲线1.B解析设抛物线上一点的坐标为(x,y),则d=|x-y-2|2=|-x2+x-2|2=-x-122-742,所以当x=12时,dmin=728.2.A解析设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=12x+b.过点A,B的直线可设为y=-2x+m,联立方程y=2x2,y=-2x+m,得2x2+2x-m=0,从而有x1+x2=-1,=4+8m0,m-12.又AB的中点-12,m+1在直线l上,即m+1=-14+b,得m=b-54.将m=b-54代入4+8m0,得b34,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是34,+.3.A解析以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2abb2+a2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而e=ca=63.故选A.4.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则ax12+by12=1,ax22+by22=1,两式相减得ax12-ax22=-(by12-by22),即b(y1-y2)(y1+y2)a(x1-x2)(x1+x2)=-1,ba(-1)32=-1,ba=233,故选B.5.C解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t.由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-85t2-44(t2-1)5=4255-t2,当t=0时,|AB|max=4105.6.A解析由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线l1方程为y=k1(x-1),与抛物线方程联立,得y2=4x,y=k1(x-1),消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k22+4k22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8216k12k22+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.7.-1解析不妨设直线AB的方程为y=1,联立y=1,y=14x2,解得x=2,则A(-2,1),D(2,1),因为B(-1,1),C(1,1),所以AB=(1,0),DC=(-1,0),所以ABDC=-1.8.(1)解由题意知ca=22,b=1,又a2=b2+c2,得a=2,所以椭圆E的方程为x22+y2=1.(2)证明设直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k2),将其代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由题意知0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1x20,则x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1x2=2k(k-2)1+2k2.所以直线AP与AQ的斜率之和为kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+(2-k)1x1+1x2=2k+(2-k)x1+x2x1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2.故直线AP与AQ的斜率之和为定值2.9.解(1)由已知得M(0,t),Pt22p,t.又N为M关于点P的对称点,故Nt2p,t,ON的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此H2t2p,2t.所以N为OH的中点,即|OH|ON|=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=p2tx,即x=2tp(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.10.D解析如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则y12=4x1,y22=4x2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率k存在,即x1x2时,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=2y0.由CMAB,得kCM=y0x0-5=-y02,即x0=3.因为点M在抛物线内部,所以y024x0=12,又x1x2,所以y1+y20,即0y0212.因为点M在圆上,所以(x0-5)2+y02=r2,即r2=y02+4.所以4r216,即2r4,故选D.11.(27,8)解析由题意知a=1,b=3,c=2,则e=ca=2.设P(x,y)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性不妨设P在右支上,由F1PF2为锐角三角形,可知1x|F1F2|2,即(2x+1)2+(2x-1)242,解得x72,所以72x0,解得k0或0k1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k-3.所以直线l斜率的取值范围是(-,-3)(-3,0)(0,1).(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知x1+x2=-2k-4k2,x1x2=1k2.直线PA的方程为y-2=y1-2x1-1(x-1).令x=0,得点M的纵坐标为yM=-y1+2x1-1+2=-kx1+1x1-1+2.同理得点N的纵坐标为yN=-kx2+1x2-1+2.由QM=QO,QN=QO,得=1-yM,=1-yN.所以1+1=11-yM+11-yN=x1-1(k-1)x1+x2-1(k-1)x2=1k-12x1x2-(x1+x2)x1x2=1k-12k2+2k-4k21k2=2.所以1+1为定值.9
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