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专题跟踪检测（十七） 概率、随机变量及其分布列一、全练保分考法保大分1(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.B.C. D.解析：选C不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C45种情况，而和为30的有723,1119,1317这3种情况，所求概率为.故选C.2(2018武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2bx10有实数解的概率是()A. B.C. D.解析：选C投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为a和b的组合有36种，若方程ax2bx10有实数解，则b24a0，b24a.当b1时，没有a符合条件；当b2时，a可取1；当b3时，a可取1,2；当b4时，a可取1,2,3,4；当b5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b6时，a可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax2bx10有实数解的概率P.3(2018合肥质检)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在98,104内的产品估计有()附：若X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.A3 413件B4 772件C6 826件 D8 186件解析：选D由题意知100，2，则P(98X104)P(X)P(2X2)0.818 6，所以质量在98,104内的产品估计有10 0000.818 68 186件4.(2019届高三洛阳联考)如图，圆O：x2y22内的正弦曲线ysin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A. B.C. D.解析：选B由题意知圆O的面积为3，正弦曲线ysin x，x，与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得区域M的面积S2sin xdx2cos x4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P，故选B.5(2018潍坊模拟)某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进行3个轮次的投篮；每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A3 B.C2 D.解析：选B每个轮次甲不能通过的概率为，通过的概率为1，因为甲3个轮次通过的次数X服从二项分布B，所以X的数学期望为3.6.(2018潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是()A. B.C. D.解析：选C设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC1，则BGCG，BGC120，在BCG中，由余弦定理得1BG2BG22BG2cos 120，得BG，所以SBCGBGBGsin 120，因为S六边形ABCDEFSBOC611sin 606，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1.7(2018福州模拟)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是_解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为a，b，c，则并排贴的情况有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6种，其中b，c相邻的情况有abc，acb，bca，cba，共4种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率P.答案：8(2018唐山模拟)向圆(x2)2(y)24内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为_解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为22，所以向圆(x2)2(y)24内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P.答案：9从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是_解析：设事件A为“抽到的两张都是假钞”，事件B为“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率为P(A|B)，因为P(AB)P(A)，P(B)，所以P(A|B).答案：10.(2018唐山模拟)某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值和标准差；(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(，2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数参考数据：5.66，5.68，5.70.正态总体N(，2)在区间(2，2)内取值的概率约为0.954.解：(1)(78101517192123)15，2(8)2(7)2(5)2022242628232.25.所以5.68.所以估计甲每场比赛中得分的均值为15，标准差为5.68.(2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率P(X26)1P(2X2)(10.954)0.023，设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y，则YB(82,0.023)Y的均值E(Y)820.0231.886.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为1.886.11某化妆品公司从国外进口美容型和疗效型两种化妆品，分别经过本公司的两条生产线分装后进行销售，两种化妆品的标准质量都是100克/瓶，误差不超过5克/瓶即视为合格产品，否则视为不合格产品现随机抽取两种产品各60瓶进行检测，检测结果统计如下：质量/克90,95)95,100)100,105)105,110美容型化妆品/瓶5222310疗效型化妆品/瓶5211915(1)根据上述检测结果，若从这两种化妆品中各任取一瓶，以频率作为概率，分别计算这两瓶化妆品为合格产品的概率；(2)对于一瓶美容型化妆品，若是合格产品，则可获得的利润为a(单位：百元)，若不是合格产品，则亏损a2(单位：百元)；对于一瓶疗效型化妆品，若是合格产品，则可获得的利润为a(单位：百元)，若不是合格产品，则亏损2a2(单位：百元)那么当a为何值时，该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大？解：(1)由表可知，任取一瓶美容型化妆品，其为合格产品的概率为；任取一瓶疗效型化妆品，其为合格产品的概率为.(2)记X为任意一瓶美容型化妆品和一瓶疗效型化妆品所获得的利润之和，则X的所有可能取值为a，a2a2，aa2，3a2，则P，P(Xa2a2)，P，P(X3a2)，所以随机变量X的分布列为Xaa2a2aa23a2P所以E(X)a(a2a2)(3a2)a2a(a2)2，所以当a2时，E(X)取得最大值，即当a为2时，该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大12(2019届高三贵阳模拟)从A地到B地共有两条路径L1和L2，经过这两条路径所用的时间互不影响，且经过L1和L2所用时间的频率分布直方图分别如图(1)和(2)现甲选择L1或L2在40分钟内从A地到B地，乙选择L1或L2在50分钟内从A地到B地(1)求图(1)中a的值；并回答，为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对(1)中的选择方案，求X的分布列和数学期望解：(1)由图(1)可得(0.010.023a)101，解得a0.03，用Ai表示甲选择Li(i1,2)在40分钟内从A地到B地，用Bi表示乙选择Li(i1,2)在50分钟内从A地到B地，则P(A1)(0.010.020.03)100.6，P(A2)(0.010.04)100.5，因为P(A1)P(A2)，所以甲应选择L1.又P(B1)(0.010.020.030.02)100.8，P(B2)(0.010.040.04)100.9，因为P(B2)P(B1)，所以乙应选择L2.(2)用M，N分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙两人在各自允许的时间内赶到B地，由(1)知P(M)0.6，P(N)0.9，X的可能取值为0,1,2.由题意知，M，N相互独立，P(X0)0.40.10.04，P(X1)0.40.90.60.10.42，P(X2)0.60.90.54，X的分布列为X012P0.040.420.54E(X)00.0410.4220.541.5.13(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1,1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验二、加练大题考法少失分1.(2018郑州质检)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示，(1)若甲单位数据的平均数是122，求x的值；(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为1，2，令12，求的分布列和数学期望解：(1)由题意知，105107113115119126(120x)132134141122，解得x8.(2)由题得1的所有可能取值为0,1,2，2的所有可能取值为0,1,2，因为12，所以随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).所以的分布列为01234P所以E()01234.2(2018福州模拟)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：等级水平一水平二水平三水平四男生/名48126女生/名6842(1)根据表中统计的数据填写下面22列联表，并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？实践操作能力较弱实践操作能力较强总计男生/名女生/名总计(2)现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习能力测试，记抽到水平一的男生的人数为，求的分布列和数学期望下面的临界值表供参考：P(K2k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828参考公式：K2，其中nabcd.解：(1)补充22列联表如下：实践操作能力较弱实践操作能力较强总计男生/名121830女生/名14620总计262450K24.3273.841.有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关(2)的可能取值为0,1,2,3,4.P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).的分布列为01234PE()01234.3(2018开封模拟)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，判断哪个工厂的产品更具可购买性？并说明理由注：产品的“性价比”产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；“性价比”大的产品更具可购买性解：(1)E(X1)6，50.46a7b80.16，即6a7b3.2.又0.4ab0.11，即ab0.5.联立解得a0.3，b0.2.(2)由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，其性价比为1，乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，其性价比为1.2，又1.21，乙厂的产品更具可购买性4(2019届高三洛阳联考)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司6个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2019年2月份(即x8时)的市场占有率；(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车现有采购成本分别为1 000元/辆和1 200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆使用年限各不相同考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用年限频数表如下：使用年限车型1年2年3年4年总计A20353510100B10304020100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用年限都是整数，且以频率作为每辆单车使用年限的概率如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为x，其中，.解：(1)由数据计算可得3.5，16.iyi111213316415520621371，12223242526291，2，1623.59.月度市场占有率y与月份代码x之间的线性回归方程为2x9.当x8时，28925.故M公司2019年2月份的市场占有率预计为25%.(2)由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1，每辆A款车产生利润的期望值为E(X)(5001 000)0.2(1 0001 000)0.35(1 5001 000)0.35(2 0001 000)0.1175(元)由频率估计概率，每辆B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2，每辆B款车产生利润的期望值为E(Y)(5001 200)0.1(1 0001 200)0.3(1 5001 200)0.4(2 0001 200)0.2150(元)E(X)E(Y)，应该采购A款单车12
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