第三讲-怎样分析两等量点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律

如何分析两等量点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律一、量等量异号点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律高中物理静电场部分，习题中往往要用到真空中两个等量异号点电荷的连线上场强E的变化规律和连线的中垂线上场强E的变化规律。来考察两个场强矢量叠加的问题。下面论述就此问题总结的两个规律的内容及其分析措施和过程。如图1所示，真空中两个等量异号点电荷的电量分别为、，连线为线段，为中垂线，垂足为。1.分析总结中垂线上E的变化规律。中垂线MN上各点场强的方向，可由电场线法或两点电荷在MN上各点产生的场强、图按量矢量合成的平行四边形定则进行合成，通过画图可得到MN上所有点合场强E的方向都与OB平行且由指向，那么的大小有什么变化规律呢？诸多资料上用电场线的疏密结合平行四边形定则，作出合场强的图形来定性的讨论总结的大小变化规律，得出以上结论。结论中垂线上点处的最大，沿射线OM、射线ON方向E都逐渐减小，至无穷远处E变为零。证明：如图1所示，中垂线上任意一点，令OC=y，AB=L，在和中，有 、在C点处的场强大小分别为和，且显然以、为邻边作的平行四边形是菱形，且对角线代表的此点的和场强/AB且。在中，有对上式进行讨论，因式中k、q、L是常量，因此有：（1） 当y=0时，有最大值，且，即中垂线上垂足O处的场强最大；（2） 当y变大时， 分母逐渐变大，那么的值因单调递减而逐渐变小；（3） 当y时，即中垂线上距离O点无穷远处的位置E变为0，几乎不存在电场。从上述分析可以证明结论1变化规律的对的性。图2分析总结AB两点连线上场强的变化规律此规律的总结如果仍用电场线理论和两场强矢量的叠加进行作图比较，归纳不出结论。但用类比的措施，把分子动理论中分子间互相作用的引力和斥力随距离变化的规律引用过来，就可以轻松精确地突破思维难关。如图所示，当分子间的距离时，分子间的引力和斥力相等，即。当时，分子间的引力和斥力都要随着距离的增大而减小，但斥力比引力要减小得快，总体体现为分子间的引力。当时，分子间的引力和斥力都要随着分子间的距离的减小而增大，但斥力比引力增长得快，总体体现为分子间的斥力。目迈进行类比：如图1所示，在中点O处，有由点电荷的场强公式，即可知与成反比，那么从O开始沿OA方向每移动一种小微元段，就有在D点产生的场强增大，在D点处产生的场强减小，但是增长得快，而减小得慢，即D点移动同样的距离，随增长量比的减小量大，D点的合场强一定要变大，即可得出从O点开始沿OA方向，OA上各点的场强要逐渐变大。同理从O点开始沿OB方向分析，每移动相似的距离段，减小得慢，增长得快，各点的合场强也是逐渐变大。由此可得到如下规律。结论2 在等量异号的两个点电荷间的连线上，两端点处场强最大，中点处场强最小。不管由A到B方向上的点，还是由B到A方向上的点，它们场强大小的变化规律总是先减小后增大。证明：如图1所示，在线段AB上任取一点D，令AD=x，则BD=L-x，在D点产生的场强为 在D点处产生的场强由于、方向相似，且在同一条直线上，在D点处的合场强为为了讨论随x的变化规律，现对函数求导，得下面对导函数进行讨论：图（1）当时，则在上，原函数为递减函数，就可以得出AO方向，线段AO上各点的场强具有随x的增大而减小的变化规律；（2） 当时，则在上原函数为递增函数，就可以得出OB方向，线段OB上各点的场强具有随x的增大而增大的变化规律；（3）当时，则原函数有最小值，即。这3种状况可通过图3的图像描述出来。由此证明了结论2的对的性。二、两等量同号点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律图1. 中垂线上电场强度的变化规律如图所示，A、B是带电量均为的固定点电荷，两者相距2L。试阐明，在AB连线的垂直平分线上的电场强度的变化规律。如图4所示，设=2L，由平行四边形定则可得令y= = = 0当时，E有最大值措施二：由于为定值。因此当且仅当时获得最大值，解得当时，E有最大值由以上推导可得出如下几点：（1） 当时，即在O点，合场强=0；（2） 当时，E存在最大值，其最大值为；最大值时C到O点的距离为。（3） 当时，合场强=0；（4） 在AB的垂直平分线上的电场强度是先增大，后减小，方向始终是垂直于AB连线且背离O点的方向。2.在连线上的电场强度分布状况：如图所示，在在线段AB上任取一点D，令AD=x，则BD=L-x，处点电荷在D点产生的场强为 B处点电荷在D点处产生的场强由于、方向相似，且在同一条直线上，取向右为正方向。则在D点处的合场强为 （1） 当x=0和x=2L时，最大。（2） 当时，逐渐减小，方向向右。（3） 当x=L时，=0.（4） 当，逐渐增大，方向向左。作业：请分析两等量点电荷的连线上及中垂线上电势的变化规律。