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第十四章勾股定理1勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形。3直角三角形三边的关系(1)直角三角形满足一般三角形三边之间的关系,即任意两边之和大于第三边,两边之和小于第三边;(2)直角三角形的斜边大于任意两边。(根据“垂线段最短”)(3)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。4直角三角形的判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形。(2)两内角互余的三角形是直角三角形。(3)如果三角形的三边长a、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形。(4)如果三角形一边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。(推理)5.常见的勾股数勾股数:是指某两个数的平方和等于第三个数的平方。如:、6.勾股树的应用常见的题型(一)直角三角形边的计算例题:1. 三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为( )A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8 2已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是() A5 B25CD5或3已知RtABC中,C=90,若a+b=14cm,c=10cm,则RtABC的面积是()A. 24cm2B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm24直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为()A121 B120 C90 D不能确定5. 放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40米/分,小红用15分钟到家,小颖20分钟到家,小红和小颖家的直线距离为( )A 600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定6.若一直角三角形两直角边的长为12和5,则斜边上的高为( )A6 B8 C D(二)直角三角形的判定例题1.在ABC中,a、b、c为A、B、C的对边,下列说法正确的是:若AC一B,则ABC为直角三角形;若,则ABC为直角三角形;若A:B:C1:2:3,则ABC为直角三角形;若a:b:c5:3:4,则ABC为直角三角形;若(ac)(ac)b2,则ABC为直角三角形;若(ac)22acb2,则ABC为直角三角形;若12,9,B15, 则ABC为直角三角形。上面的命题中正确的有()A4 B5 C6 D72. 下面几组数:7,8,9;12,9,15;m2 + n2, m2n2, 2mn(m,n均为正整数,mn);,.其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. B. C. D. 3. 三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )Aa:b:c=81617 B a2-b2=c2 Ca2=(b+c)(b-c) D a:b:c =13512 4. 三角形的三边长为,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形. (三)翻折问题例题:1、矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图18-1方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=_cm图18-12、如图3所示,有一块直角三角形纸片,两直角边分别为:AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( )A2cm B3cm C4cm D5cm(四)爬行例题:1如图,有一个圆柱,它的高等于16cm,底面半径等于4cm,在圆柱下底面的点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点相对的点处的食物,需要爬行的最短路程是 cm(取3)DABCDABC2已知长方体的长为3cm、宽为2cm、高为12cm,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?(五)图形变换 例题:如图2(1),是小红用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,如图2(2)是以c为直角边的等腰直角三角形,她想将它们拼成一个能证明勾股定理的图形,可以吗?(1)如果能,请你画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形?(2)用这个图形证明勾股定理(3)假设图2(1)中的图有若干个,你能运用(1)中所示的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(无需证明)(六)实际应用例题:1一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过1.5小时后,它们相距_海里2小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,你能帮助他把旗杆的高度求出来是_3.如图所示,某人到岛上去探宝,从A处登陆后先往东走4km,又往北走1.5km,遇到障碍后又往西走2km,再折回向北走到4.5km处往东一拐,仅走0.5km就找到宝藏。问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少?AB41.524.50.54如图,铁路上A、B两点相距为25km,C、D为两村庄,DAAB于A,CBAB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个货运站E,使得C、D两村到E站距离相等,问E站应建在离A多少千米处?(七)中考链接例题:1.如图1,一个梯子AB长2.5m,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m,梯子滑动后停在DE的位置上,如图2,测得BD长为0.5m,求梯子顶端A下落了多少米图1 图2 2.如图,甲乙两船从港口A同时出发,甲船以16海里/时速度向北偏东40航行,乙船向南偏东50航行,3小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里,问乙船的航速是多少? ACB3.如图,已知在中,ACB=90,分别以,为直径作半圆,面积分别记为,则+的值等于 CABS1S24.如图,等腰中,是底边上的高,若,则 cmACDB5.图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是( )A13 B26 C47 D945. 如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1) A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2) 若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间? 5
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