勾股定理的应用1

第十四章勾股定理1勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。3直角三角形三边的关系（1）直角三角形满足一般三角形三边之间的关系，即任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边；（2）直角三角形的斜边大于任意两边。（根据“垂线段最短”）（3）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。4直角三角形的判定（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。（2）两内角互余的三角形是直角三角形。（3）如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。（4）如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（推理）5.常见的勾股数勾股数：是指某两个数的平方和等于第三个数的平方。如：、6.勾股树的应用常见的题型（一）直角三角形边的计算例题：1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8 2已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（） A5 B25CD5或3已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（）A. 24cm2B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm24直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A121 B120 C90 D不能确定5. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）A 600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定6.若一直角三角形两直角边的长为12和5，则斜边上的高为（ ）A6 B8 C D（二）直角三角形的判定例题1.在ABC中，a、b、c为A、B、C的对边，下列说法正确的是：若AC一B，则ABC为直角三角形；若，则ABC为直角三角形；若A：B：C1：2：3，则ABC为直角三角形；若a：b：c5：3：4，则ABC为直角三角形；若（ac）（ac）b2，则ABC为直角三角形；若(ac)22acb2，则ABC为直角三角形；若12,9,B15, 则ABC为直角三角形。上面的命题中正确的有（）A4 B5 C6 D72. 下面几组数:7,8,9；12,9,15；m2 + n2, m2n2, 2mn（m，n均为正整数,mn）；,.其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. B. C. D. 3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）Aa:b:c=81617 B a2-b2=c2 Ca2=(b+c)(b-c) D a:b:c =13512 4. 三角形的三边长为,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形. （三）翻折问题例题：1、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图18-1方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_cm图18-12、如图3所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A2cm B3cm C4cm D5cm（四）爬行例题：1如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，需要爬行的最短路程是 cm（取3）DABCDABC2已知长方体的长为3cm、宽为2cm、高为12cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?（五）图形变换 例题：如图2（1），是小红用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，如图2（2）是以c为直角边的等腰直角三角形，她想将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，可以吗？（1）如果能，请你画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？（2）用这个图形证明勾股定理（3）假设图2（1）中的图有若干个，你能运用（1）中所示的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）（六）实际应用例题：1一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距_海里2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是_3.如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏。问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？AB41.524.50.54如图，铁路上A、B两点相距为25km，C、D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个货运站E，使得C、D两村到E站距离相等，问E站应建在离A多少千米处？（七）中考链接例题：1.如图1，一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少米图1 图2 2.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40航行，乙船向南偏东50航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？ ACB3.如图，已知在中，ACB=90，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 CABS1S24.如图，等腰中，是底边上的高，若，则 cmACDB5.图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )A13 B26 C47 D945. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.（1） A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2） 若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 5