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九年级上册数学导学案姓名：班级：主备人：授课时间：课题：21.1 二次根式（1）课型：新课课时数：1 学习目标1、了解二次根式的意义；2、掌握二次根式的基本性质，并会用二次根式的性质进行简单的二次根式的化简；3、会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围。学习重点二次根式的概念及意义。学习难点二次根式的判断与字母取值范围的确定。学习过程备注一、自主学习感受新知【思考】用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？如图，要做一个两条直角边的长分别是7cm 和 4cm的三角尺，斜边的长应为cm；面积为S的正方形的边长为；要修建一个面积为6.28 m2的圆形喷水池,它的半径为m(取 3.14)；一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t，（单位：s）与开始下落的高度 h（单位：米）满足关系h=5t2。如果用含有h 的式子表示t,则 t=.在上面的问题中，结果分别是，它们都是表示分别表示 65，S，2，5h的.我们知道：一个正数有两个平方根，它们；0 的平方根是；在实数范围内，数没有平方根。因此，开平方时，被开方数只能是。【归纳】一般地，我们把形如的式子叫做 二次根式，“”称为二次根号【注意】二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是a的形式；2、被开方数必须是。二、自主交流探究新知【探究】当 x 是怎样的实数时，2x在实数范围内有意义？7cm4cm 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 22 页 -三、自主应用巩固新知【例 1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0）、0、42、-2、1xy、xy（x0，y?0）【例 2】当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？【例 3】已知 y=2x+2x+5，求xy的值若1a+1b=0，求 a2012+b2012的值【随堂练习】3 1 2 四、自主总结拓展新知五、课堂作业（同步训练对应练习）1、下 列 各 式 中，-222a，a，a(a0 时，a表示 a 的，因此，a0；当 a=0 时，a表示 0 的，因此，a=；就是说a（a0）总是一个数。若3x+3x有意义，则2x=_使式子2(5)x有意义的未知数x 有（）个A0 B1 C2 D无数二、自主交流探究新知【探究】根据算术平方根的意义填空：（4）2=_；（2）2=_；（9）2=_；（3）2=_；（13）2=_；（72）2=_；（0）2=_根据以上结果，你能发现什么规律？【归纳】二次根式的性质：（a）2=（a0）三、自主应用巩固新知【例 1】计算：（32）2（35）2（56）2（72）2【例 2】计算：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 22 页 -（1x）2（x0）（2a）2（221aa）2（24129xx）2【例 3】在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3【练习】5 1 四、自主总结拓展新知五、课堂作业（同步训练对应练习）1计算（1）（9）2（2）-（3）2（3）（126）2（4）（-323）2(5)(2 33 2)(233 2)2把下列非负数写成一个数的平方的形式:5 3.4 16x（x0）3已知1xy+3x=0，求 xy的值4在实数范围内分解下列因式:x2-2 x4-9 3x2-5 九年级上册数学导学案名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 22 页 -姓名：班级：主备人：授课时间：课题：21.1 二次根式（3）课型：新课课时数：1 学习目标1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简；2、经历探索a2=|a|的过程，培养分类的数学思想。学习重点二次根式的性质及运用。学习难点运用二次根式的性质进行二次根式的化简。学习过程备注一、自主学习感受新知形如的式子叫做二次根式；a（a0）是一个数；(a)2二、自主交流探究新知【探究】计算：2422.02)54(220观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当aa,0时计算：2)4(2)2.0(2)54(2)20(观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当aa,0时。计算：20；当aa,0时【归纳】二次根式的性质：0)(a_0)a(_0)a(_2aa三、自主应用巩固新知【例 1】化简：（1）9（2）2(4)（3）25（4）2(3)【例 2】求下列各式的值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 22 页 -2)45(2)32(2)21(2)14.3(【例 3】实数 a、b 在数轴上的位置如图：化简222)(baba代数式：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式。【练习】5 2 四、自主总结拓展新知五、课堂作业（同步训练对应练习）1、如果2)2(2xx，那么 x 的取值范围是。2、若 1x、0，y0)【练习】8 练习三、自主总结拓展新知四、课堂作业（同步训练对应练习）1、若32)3)(2(xxxx，则 x 的取值范围是。2、自由落体的公式为S=12gt2（g 为重力加速度，它的值为 10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_3、已知：)35(21a，)35(21b，求 a2-ab+b2的值。九年级上册数学导学案3a)0(a名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 22 页 -姓名：班级：主备人：授课时间：课题：21.2 二次根式的除法（1）课型：新课课时数：1 学习目标1、理解二次根式的除法法则，二次根式的除法运算和二次根式的化简，理解最简二次根式的概念。2、通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。学习重点二次根式的除法运算和化简。学习难点二次根式的除法运算公式的双向使用。学习过程备注一、自主学习感受新知【问题 1】二次根式乘法法则是什么？完成下列填空：1、)25.0()09.0(；2332。2、若1)1(2abab，则 a；b。二次根式可以进行乘法运算，能否进行二次根式的除法运算？【问题2】已知一个三角形的面积为21521cm，一条边长为5 cm，求这条边上的高？二、自主交流探究新知【探究】1、计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？（1）916=_，916=_；（2）1636=_，1636=_；2、用你发现的规律填空，并用计算器进行验算（1）34_43，（2）23_32【猜想】二次根式的除法法则：一般地，对二次根式的除法规定：ab=（a0，b0），这就是说：两个二次根式相除，用被开方数的商作商的被开方数。反过来，ab=（a0，b0）也成立。【注意】二次根式的乘法与除法公式中b 的取值范围不同，你知道为什么吗？三、自主应用巩固新知【例 1】计算：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 22 页 -（1）123（2）3128（3）11416（4）648解：【例 2】化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy解：（【说明】1、在上面的解法中，目的是去掉分母中的根号；2、在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式。【定义】最简二次根式：如果二次根式有如下两个特点：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。【练习】11 1 2【例 3】判断下列二次根式，哪些是最简二次根式？为什么？8；a1；5.2；22yx；22ba；342；23解：四、自主总结拓展新知五、课堂作业P12 2 3 （同步训练对应练习）九年级上册数学导学案名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 22 页 -姓名：班级：主备人：授课时间：课题：21.2 二次根式的除法（2）课型：新课课时数：1 学习目标1、使学生进一步理解二次根式的乘除运算法则，并能运用它们进行有关二次根式的计算与化简；2、使学生进一步掌握最简二次根式的特征，能将二次根式化为最简二次根式。学习重点二次根式的乘除运算。学习难点运用二次根式的性质进行二次根式的化简。学习过程备注一、自主学习感受新知1、计算：（1）35，（2）3 227，（3）82a2、计算：(1)5312；(2)2442x yx y；(3)238x y【思考】最简二次根式满足的条件？二、自主交流探究新知【探究】观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=1(21)212 1(21)(21)=2-1，132=1(32)3232(32)(32)=3-2，同理可得：143=4-3，,从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121+132+143+,120022001）（2002+1）的值【分析】由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 22 页 -三、自主应用巩固新知【例 1】如图，在RtABC中，C=90，AC=2.5cm，BC=6 cm，求 AB的长解：【例 2】已知 a 为实数，化简：3a-a1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，?请写出正确的解答过程：解：3a-a1a=aa-a21aa=（a-1）a解：【例 3】若 x、y 为实数，且y=224412xxx，求yxyx的值。【练习】11 3 四、自主总结拓展新知五、课堂作业（同步训练对应练习）九年级上册数学导学案BAC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 22 页 -姓名：班级：主备人：授课时间：课题：21.3 二次根式的加减（1）课型：新课课时数：1 学习目标1、能进行二次根式的加减运算，掌握其运算步骤。2、通过实际实际问题理解并掌握二次根式的加减法法则，通过与整式的加减法进行比较及动手练习掌握二次根式的加减法的运算技巧。3、通过二次根式的加减法与整式的加减法比较，感受知识之间的迁移与联系。学习重点二次根式的加减法。学习难点找出能合并的最简二次根式（同类二次根式）。学习过程备注一、自主学习感受新知【问题 1】计算下列各式（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3【问题 2】有一个三角形，它的两边长分别为cm20和cm80，如果该三角形的周长为cm59，你能求出第三边长吗？二、自主交流探究新知【探究 1】计算下列各式（1）22+32（2）28-38+58（3）7+27+39 7（4）33-23+2【总结】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并（二次根式的加减类似于合并同类项的运算）【探究 2】把下列各根式化简。【归纳】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.【练习】下列各式中，哪些是同类二次根式？311(8)45(7)32(6)21)5(50(4)18(3)48(2)12)1(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 22 页 -.1212,26,832,3,271,501,75,23bababab【归纳】进行二次根式加减运算时，首先要正确识别同类二次根式。关键是准确的化成二次根式，然后观察被开方数是否相同。三、自主应用巩固新知【例 1】计算：（1）7512（2）4580（3）a9a25解：【例 2】计算：（1）348-913+312（2）（48+20）+（12-5）解：【例 3】已知 4x2+y2-4 x-6 y+10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值解：【练习】16 1 2 四、自主总结拓展新知五、课堂作业（同步训练对应练习）九年级上册数学导学案名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 22 页 -姓名：班级：主备人：授课时间：课题：21.3 二次根式的加减（2）课型：新课课时数：1 学习目标1、进一步熟练掌握二次根式的加减运算，并能运用它解决实际问题。2、通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。学习重点二次根式的加减法。学习难点找出能合并的最简二次根式（同类二次根式）。学习过程备注一、自主学习感受新知【问题 1】下列运算错在哪里？如何改正？325322353533963653332【问题 2】计算28185.024832719122)81312()75.032()27331(32yyxyx二、自主交流探究新知【探究】如图所示的RtABC中，B=90，点 P从点 B开始沿 BA边以 1 厘米/?秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点 B开始沿 BC边以 2 厘米/秒的速度向点 C移动问：几秒后PBQ的面积为35 平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）三、自主应用巩固新知【例 1】要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？BACQP_ B名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 22 页 -【例 2】若最简根式343a bab与根式23226abbb是同类二次根式（或化简后能合并），求 a、b 的值【分析】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?事实上，根式23226abbb不是最简二次根式，因此把23226abbb化简成|b|226ab，才由同类二次根式的定义得3a-?b=?2，2a-b+6=4a+3b解：【练习】16 3 四、自主总结拓展新知五、课堂作业（同步训练对应练习）九年级上册数学导学案姓名：班级：主备人：授课时间：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 22 页 -课题：21.3 二次根式的加减（3）课型：新课课时数：1 学习目标1、熟练地进行二次根式的混合运算，乘法公式在二次根式运算中的运用；2、通过二次根式混合运算，进一步掌握二次根式的几种运算及其运算技巧；3、通过对二次根式混合运算的学习，并与四则混合运算及整式的混合运算进行比较，理解知识间的相互关系。学习重点二次根式的混合运算。学习难点二次根式运算的应用。学习过程备注一、自主学习感受新知请同学们完成下列各题:1计算（1）（2x+y）2 zx（2）（2x2y+3xy2）xy解：2计算（1）（2x+3y）（2x-3 y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2解：二、自主交流探究新知【探究】如果把上面的x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立整式运算中的x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式【例 1】计算:（1）（6+8）33（2）（46-32）22解：【例 2】计算:（1）（5+6）（3-5）（2）（10+7）（10-7）解：自主应用巩固新知【例 3】、计算：32313123)253)(253(22)632()632()777)(777(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 22 页 -解：【例 4】当x=15+7，y=15-7，求x2-xy+y2的值。解：【知识拓展】1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，?这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A2x与2yB3489a b与5892a bCmn与nDmn与mn2互为有理化因式：?互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-22xx与 x+1+22xx就是互为有理化因式；x与1x也是互为有理化因式练习：2+3的有理化因式是_；x-y的有理化因式是_-1x-1x的有理化因式是_3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、?分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的练习：把下列各式的分母有理化（1）151；（2）112 3；（3）262；（4）3 34 23 34 2四、自主总结拓展新知五、课堂作业（同步训练对应练习）九年级上册数学导学案姓名：班级：主备人：授课时间：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 22 页 -课题：二次根式小结与复习（1）课型：复习课课时数：2 学习目标1使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算学习重点含二次根式的式子的混合运算学习难点综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子学习过程备注知识点 1、二次根式的意义一般地，我们把形如a（a0）?的式子叫做 二次根式，“”称为 二次根号 二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是a的形式；2、被开方数必须是非负数。练习一1、式子,21),31(31,1,21,27,25,1,1,3xxaaaa21a中，是二次根式的是。2、当 a 时，1a是二次根式。3、若式子21xx有意义，则x 的取值范围是。4、使式子a23有意义且取得最小值的a 的取值是，a23的最小值是。知识点二、二次根式的性质)0()(2aaa|2aaaba3b(a0，b0)ab=ab（a0，b0）练习二1、化简：2)2(=2)32(=2)16.0(=2、若12)1(22xxxy，则 xy=。3、分解因式：x2-3=2x3-10 x=4、化简：23)1(xx=知识点三、最简二次根式满足下列条件的二次根式，称为最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。练习三1、在根式8,122,2,30,125,52xaxa中，最简二次根式是。2、若nmba5为最简二次根式，则m=，n=。3、化简：34=，12243nnba=，231=，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 22 页 -11)1(aa=。知识点四、二次根式的乘除法1、二次根式的乘法：a3bab(a0，b0)2、二次根式的除法：ab=ab（a0，b0）练习四计算1、632=2、2123432=3、xyyxx422=3、32223212459=知识点五、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并练习五1、下列二次根式中，能与2合并的是【】A、8B、12C、24D、402、若x+y=3+22，x-y=3-22，则22yx的值为。3、计算：1833161222)252(3)12276485()123)(123(九年级上册数学导学案名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 22 页 -姓名：班级：主备人：授课时间：课题：二次根式小结与复习（2）课型：复习课课时数：2 学习目标1使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算学习重点含二次根式的式子的混合运算学习难点综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子学习过程1、要使二次根式62x有意义，x 应满足的条件是。2、下列二次根式中属于最简二次根式的是【】A、12aB、21C、8D、273、下列计算正确的是【】A、562432 B、248C、3327D、3)3(24、估计202132的运算结果应在【】A、6 到 7 之间B、7 到 8 之间C、8 到 9 之间D、9 到 10 之间5、已知二次根式42a与2是同类二次根式，则a 的值可以是【】A、5 B、6 C、7 D、8 6、方程xx2)1(3的解是。7、把31aa根号外的因式移入根号内，得。8、已知 2x4，化简22)4()2(xx=。9、计算：6030，aba2283=。10、23的绝对值是，倒数是。11、观察下列各式：312311，413412，514513，,，请你将发现的规律用含自然数 n 的等式表示出来是。12、计算：20102009)154()154(2)2332()56)(56(3212124)31(213、已知 x=2-10，试求 x2-4 x+3 的值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 22 页 -14、有这样一类题目：将ba2化简，如果你能找到两个数m、n，使 m2+n2=a，并且 mm=b，则将 ab2变成 m2+n22mn=（m+n）2开方，从而使得ba2化简。例如：化简223解：223=22122)2(=2)21(=1+2仿照上例化简下列各式：32462515、观察下列等式：121=)12)(12(12=12231=)23)(23(23=23341=)34)(34(34=34解答下列问题：利用你观察到的规律化简：11321计算：（121+231+341+,+200820091）（)12009）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 22 页 -
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