大学高等数学函数(习题精讲)

第1章 函 数1.1 函数的概念与性质1. 绝对值与不等式（，）（1）； （2）（调和平均值几何平均值算术平均值）一般地，（3）；2. 函数概念与性质 对变量的每一种拟定值，变量按某拟定规则，均有且只有一拟定值与之相应，则称变量是变量的函数，记为，。注意：定义域和相应规则是函数相等的两要素。（1）无关性 （2）单调性 ；（3）奇偶性 注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域有关原点不对称，则不是奇/偶函数。（4）周期性 若，则称为的周期。（5）有界性 若，则称在上有界。常用有界函数：，；，；，3. 复合函数 设的定义域为，的值域为，且（空集），则称为的复合函数。4. 反函数 设注意：正反函数的图形对称于直线；严格单调函数必有反函数； ； 5. 初等函数由基本初等函数通过有限次的四则运算和有限次复合而成的，并能用一种解析式表达的函数称为初等函数。基本初等函数：幂函数（为实数）；指数函数（，）；对数函数（，）；三角函数，；反三角函数，. 分段函数与幂指函数分段函数一般不属于初等函数，由于一般在其定义域内不能用一种解析式表达；幂指函数一般不属于初等函数，由于它无法用初等函数复合而成；但若规定，则，是初等函数。1.2 典型例题解析例3 已知不等式，用区间表达不等式的解集分析 解此不等式应先去掉绝对值符号，由于，分别为，的零值点，于是将区间划分为，再考虑各社区间的取值范畴及端点，最后综合得出结论。解法1 解法2 1. 函数定义域的求法解题思路 （1）分式的分母，对数的真数，偶次方根下的体现式，反正弦、反余弦号内的体现式绝对值；（2）复合函数的定义域简朴函数的定义域所构成的不等式组的解集。例4 求下列函数的定义域（1）；解 （2）已知的定义域是，试求 的定义域解 的定义域： 的定义域： ；的定义域：当，时，定义域为空集；当，时，定义域为；故取交集定义域为2. 函数解析式的求法解题思路 （1）将已知变量凑成与内的中间变量一致的形式，运用函数的无关特性求解；（2）对内作变量代换，再运用无关特性与原方程联立求解。（3）由的体现式求的一般措施是令，从中解出，将其代入中可得例5 求下列函数解析式（2）已知，, 求；解 令代入原式得 ，则 （3）已知,求；解法1 令，则 解法2 将换成，得，和原式相加得令，则 例6 求下列函数解析式（1）已知，的定义域为，且，求解 令，且，则 （）（2）已知，求解 令， ，则 3. 运用定义拟定函数的有关特性解题思路 （1）若，则为奇函数；（2）若是的周期，则的周期为；若，分别是以，为周期的函数，则的周期为，的最小公倍数。（3）将函数取绝对值，由不等式的缩放法或求函数的最值拟定函数的有界性；（4）若，且，则可拟定单增性。例7 设，求，的奇偶性解 设，由于，分别令，得 即为奇函数，故为偶函数。例8 设在上有定义，证明：可表达为一种奇函数与一种偶函数的和，且表达法唯一分析 若，则有，由此引入辅助函数证 设，故为偶函数，为奇函数，且唯一性：设另有偶函数及奇函数使得，则 解得，即表达法唯一。例9 证明下列函数为周期函数，并求其最小正周期（1）解法1 由于的周期为，故所求周期为解法2 ，（2）解 例11 设在上有定义，证明：（1）若的图形有关直线对称，则；（2）若的图形有关直线，对称，则是周期的偶函数。分析（1）若的图形有关直线对称点为与，则， 反之，若，则有关直线对称证（1）必要性：，有，则充足性：若，有，则（2）由题设知，则故是以2为周期的偶函数例12 判断下列函数的有界性（1）解 由，有，则 例13 设（），证明：（1）若是的单减函数，则；（2）若是的单减函数，则；（3）（）证（1）由题设知， ，由于单减，有，则（2）由于单减，有，则， （3）令，则例14 求下列函数的反函数分析：求分段函数的反函数，要注意的不同取值范畴相应本来函数的值域（2）解 当时，的值域为 当时， 的值域为 故 例15 在底为，高为的三角形中内接一矩形，将矩形面积表达为其底的函数。解 设矩形高为，由三角形相似关系得，则例16 某商场以每件元的价格发售某种商品，若顾客一次购买件以上，则超过件的商品以每件元的价格发售，试将一次成交的销售收入表达到销售量的函数。解