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第一章 概 述 第一节 数学是什么 1 一、数学的“定义” 恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与 空间形式的一门科学。 随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结 构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎 不能包含在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义” 。 但是，要给数学下个定义，并不那么容易。至今难 以有关于“数学”的、大家取得共识的“定义”。 2 1古今数学家的说法 （美）R柯朗（数学是什么）：“数学，作 为人类智慧的一种表达形式，反映生动活 泼的意念，深入细致的思考，以及完美和 谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析 和推理，共性和个性。” 3 （法）E波莱尔： “数学是我们确切知道我们在说 什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学 。” （英）罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题的类 ”， 而最前面的命题p是否对，却无法判断。 因 此“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不 知道我们说的是否对的一门学科。” 4 1）哲学说 2）符号说 3）科学说 4）工具说 5）逻辑说 6）创新说 7）直觉说 8）集合说 9）结构说（关系说 ） 10）模型说 11）活动说 12）精神说 13）审美说 14）艺术说 15）万物皆数说 2数学的15个“定义” 5 15个“定义” 来自 6 1）哲学说 2）符号说 3）科学说 4）工具说 5）逻辑说 6）创新说 7）直觉说 8）集合说 9）结构说（关系说 ） 10）模型说 11）活动说 12）精神说 13）审美说 14）艺术说 15）万物皆数说 2数学的15个“定义” 7 只 讲解“哲学说”，其他只作一句话的解释，并请查资料。 哲学说 亚里士多德：“新的思想家把数学和 哲学看作是相同的。” 来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。 几何原本：点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度 牛顿在自然哲学之数学原理的序言中说，他是把这本书“作为 哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来 ”。 8 哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛 的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研 究对象不同，研究方法也不同。 两者虽有相似之处， 但数学不是哲学的一部分， 哲学也不是数学的一部 分。 现在有人说“哲学从一门学科中退出， 意味着这 门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门 学科的成熟。” 9 符号说：是说数学是一种高级语言，是符 号的世界。 科学说：是说数学是精密的科学，“数学 是科学的皇后”。 工具说：是说“数学是其它所有知识工具 的源泉”。 逻辑说：是说数学推理依靠逻辑，“数学 为其证明所具有的逻辑性而骄傲。” 10 创新说：是说数学是一种创新，如发现无 理数，提出微积分，创立非欧几何。 直觉说：是说数学的基础是人的直觉，数 学主要是由那些直觉能力强的人们推进的 。 集合说：是说数学各个分支的内容都可以 用集合论的语言表述。 结构说（关系说）：是强调数学语言、 符号的结构方面及联系方面，“数学是一种 关系学”。 11 模型说：是说数学就是研究各种形式的模 型，如微积分是物体运动的模型，概率论 是偶然与必然现象的模型，欧氏几何是现 实空间的模型，非欧几何是非欧空间的模 型。 活动说：是说“数学是人类最重要的活动 之一”。 精神说：是说“数学不仅是一种技巧，更 是一种精神，特别是理性的精神。” 12 审美说：是说“数学家无论是选择题材还 是判断能否成功的标准，主要是美学的原 则。” 艺术说：是说“数学是一门艺术。” 万物皆数说：是说数的规律是世界的根 本规律，一切都可以归结为整数与整数比 。 13 方延明：数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模 型的结构的一门科学。 徐利治：数学是“实在世界的最一般的量与空间形式的 科学，同时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多 样性的量与空间形式的科学”。 回到恩格斯的定义： 数学是研究（现实世界中的）数量关系与空间形 式的一门科学。 14 思： 请你在学习“数学文化”课的过程 中，始终带着下面的问题在学完 “数学文化”课后，给出一个你自己对 “数学”的定义。 15 二、数学的特点 抽象性 精确性 应用的广泛性 16 1抽象性 第一，数学的研究对象本身就是抽象的； 第二，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形 式而舍弃了其他一切； 第三，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们 所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象； 第四，核心数学主要处理抽象概念和它们的相互 关系。 17 2精确性 数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结 论的确定无疑性。 汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代 人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上 增添一层新楼。” 作为对照的三个例子： 电子管电路 半导体电路 集成电路 地心说日心说开普勒三定律 高温超导的上界（朱经武） 30K90K120K 240K 18 关于“晶体的结构有多少种”的讨论 曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了 各不相同的结论。 数学家介入以后，运用“群”的理论，得到了明确 的答案：晶体的结构只能有240种。 而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使 得之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论 已经确定无疑。 19 3应用的广泛性 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧 ，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。 例子：哈雷彗星的发现； 海王星的发现； 电磁波的发现。 20 哈雷彗星的发现 古时人们认为彗星的出现是不祥之兆，直到17世纪，英国天文学家 哈雷开始计算彗星轨道时，发现1682年、1607年和1531年出现的彗星 有相似的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在 1758年底或1759年初再次出现。1759年，这颗彗星果然出现了。虽然 哈雷已在此前的1742年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为“哈雷彗星 ”。 哈雷彗星的回归周期为76年，最近一次的回归是在1986年；下一 次回归是在2062年。 21 海王星的发现 这个太阳系最远的行星（之一）， 是1846年在数学计算的基础上发现 的。天文学家分析了天王星运动的 不规律性，推断出这是由其他行星 的引力而产生的。勒未累计算出它 应处的位置，观察员在指定位置发现 了该行星。 航海家2号拍摄, 1989.8. 22 电磁波的发现 英国物理学家麦克斯韦概括了由实 验建立起来的电磁现象规律，把这些 规律表述为“方程的形式”，用纯粹数 学的方法推导出可能存在着电磁波并 且这些电磁波应该以光速传播者。据 此，他提出了光的电磁理论。此外， 他的结论还推动了人们去寻找纯电起 源的电磁波。 24年后，德国物理学家赫兹在振 荡放电实验中证实了电磁波的存在， 不久，意大利的马可尼和俄国人波波 夫又在此基础上独立地发明了无线电 报。从此，电磁波走进了千家万户。 23 三、数学与其它领域的联系 1.数学与教育 数学对于受教育者，不仅仅是学会一门课程 、一门知识、更重要的是学习数学的思想、方法、 精神；把数学作为成才的基本素质要求。 24 1）波利亚：“让我们教猜想吧！” 波利亚还说：“在数学家证明一个定理之前，必 须猜想到这个定理；在他完成证明的细节之前，必须 先猜想出证明的主导思想。” 事实上，教育并不总是在让学生认知，教育在很 大程度上是让学生欣赏，只有这样，才有最佳的教育 效益。 25 2）作为数学教授的大学校长： 丁石孙北京大学 苏步青复旦大学 谷超豪中国科大 潘承洞山东大学 齐民友武汉大学 伍卓群吉林大学 侯自新南开大学 李岳生中山大学 曹策问郑州大学 杨思明湘潭大学 展 涛 山东大学 黄达人中山大学 吴传喜湖北大学 周明儒徐州师大 王梓坤北师大 陆善镇北师大 王建磐华东师大 史宁中东北师大 路 钢华中师大 邱玉辉西南师大 王国俊陕西师大 庾建设广州大学 房灵敏西藏大学 26 大学校长是综合素质比较好的学者； 众多大学校长都是数学教授，这也说明数 学教育对人的综合素质的提高，影响很大。 有些人把它叫做 有趣的中国现象 27 2）作为数学教授的大学校长： 丁石孙北京大学 苏步青复旦大学 谷超豪中国科大 潘承洞山东大学 齐民友武汉大学 伍卓群吉林大学 侯自新南开大学 李岳生中山大学 曹策问郑州大学 杨思明湘潭大学 展 涛 山东大学 黄达人中山大学 吴传喜湖北大学 周明儒徐州师大 王梓坤北师大 陆善镇北师大 王建磐华东师大 史宁中东北师大 路 钢华中师大 邱玉辉西南师大 王国俊陕西师大 庾建设广州大学 房灵敏西藏大学 28 丁石孙：北京大学校长 丁石孙：北京大学校长 （1984-1989年） 全国人大常委会副委员长， 民盟中央名誉主席。汉族， 1927年9月生，江苏镇江人， 民盟成员、中共党员，1950 年参加工作，清华大学数学 系毕业，大学学历，教授。 专长:代数、数论。 29 苏步青，复旦大学校长 苏步青：复旦大学校长 （1978-1983年） 1902年生于浙江，2003年卒 于上海。中国科学院院士。 他是国际公认的几何学权威 ，我国微分几何学派的创始 人。早在20年代，他的仿射 不变的四次（三阶）的代数 锥面，被命名为苏锥面。他 的仿射微分几何的高水平工 作，至今在国际数学界仍享 有很高的评价。 30 谷超豪，中国科技大学校长 谷超豪：中国科技大学校长 简历： 1926年生于浙江温州。1948年 毕业于浙江大学数学系，1953 年起在复旦大学任教，1957年 赴前苏联莫斯科大学进修，获 科学博士学位。历任复旦大学 副校长和中国科技大学校长。 1980年当选为中国科学院数学 物理学部委员。专长偏微分方 程、微分几何和数学物理 。 31 潘承洞，山东大学校长 潘承洞：山东大学校长 （1986年-？） 1934出生，江苏省苏州市人 。1997年12月27日在济南病逝 。中国科学院院士。1981年与 其胞弟潘承彪合作编著的哥 德巴赫猜想一书，为世界上 第一本全面系统地论述哥德巴 赫猜想研究工作的专著；1982 年与王元、陈景润共同以哥德 巴赫猜想的研究成果获国家自 然科学一等奖。 32 齐民友，武汉大学校长 齐民友：武汉大学校长（1988-1992年） 1930年出生，1952年毕业于武汉大学数学系，并从事偏微分方 程 理论的研究。武汉大学博士导师。 曾任国务院学位委曾任国务院学位委 员会数学组成员。中国数员会数学组成员。中国数 学会副理事长，湖北省数学会副理事长，湖北省数 学会理事长。学会理事长。19841984年起任年起任 武汉大学副校长，武汉大学副校长，19881988年年 任武汉大学校长。任武汉大学校长。 33 李岳生，中山大学校长 李岳生：中山大学校长 （1984-1991年） 1930年1月生，中山大学教 授，博士生导师。曾任中山大 学校长、计算机科学系主任、 数学研究所所长；国务院学位 委员会第二、三届学科评议组 成员，从事常微分方程、计算 数学、微分方程数值解法、样 条函数与变分方法等方面的研 究。 34 曹策问，郑州大学校长 曹策问：郑州大学校长 简历： 1940年2月出生，湖南长沙人 。1957年9月进入北京大学数 学力学系数学专业学习；1963 年9月在北京大学数学力学系 读研究生；1979年3月任郑州 大学数学系教师，1986年任教 授；1987年2月任郑州大学副 校长；1994年起任校长； 2003年1月任政协河南省第九 届委员会副主席。专长：可积 动力系统。 35 展涛，山东大学校长 展涛，男，回族，1963年4月 出生，山东兖州人，中共党员， 理学博士，教授，博士生导师。 1979年9月入山东大学数学系学习 ，先后获得学士、硕士、博士学 位；1987年留校任教，先后被评 聘为讲师、副教授、教授；1991 年1月至1992年12月获德国洪堡 基金会奖励基金，赴德国弗莱堡 大学从事合作研究；1993年4月任 山东大学数学系副主任；1995年3 月任山东大学副校长；1996年12 月任山东大学党委 常委、副校长；2000年7月任 山东大学党委常委、校长。36 黄达人，中山大学校长 黄达人，男，1945年4月生 ，浙江象山人。1962年至 1968年就读于浙江大学数学系 。1978年至1981年在浙江大 学数学系读研究生，毕业后留 校任教。1985年至1986年作 为访问学者在美国南卡罗来纳 大学数学系进修访问一年。 1988年任浙江大学数学系教授 。曾任浙江大学数学系副主任 、范岁久医学图像实验室主任 、教务处长、副教务长等职。 1992年至1998年任浙江大学 副校长。1998年11月调任中山 大学常务副校长。1999年8月 至今任中山大学校长。 学术研究领域为函数逼近论 、小波分析、信号和图像处理 。 37 吴传喜，湖北大学 吴传喜1961年7月 出生。教授，博导。北 京大学数学系毕业，获 理学博士学位。2000 年1月担任湖北大学校 长。研究方向：现代微 分几何 38 周明儒，徐州师范大学 39 王梓坤，北京师范大学校长 王梓坤：北京师范大学校 长 （1984-1989年） 1929年4月生,江西吉安县人。 1952年毕业于武汉大学数学系。 1955年考入苏联莫斯科大学数学 力学系做研究生，师从于数学大 师 A.N. Kolmogorov和 R. L. Dobrushin, 1952年起先后任南 开大学讲师、教授。1984年以来 任北京师范大学教授。1984年至 1989年任北京师范大学校长。 1991年当选为中国科学院院士。 王梓坤是我国概率论研究的先驱 和主要领导者之一。 40 王建磐，华东师范大学校长 王建磐：华东师范大学校长 简历： 1949年1月2日生于福建古田县。数学教 授、博士生导师。1967年高中毕业后曾 插队农村，当过中学民办教师和县剧团 编剧。1978年靠自学考取华东师范大学 数学系研究生，1981年获理学硕士学位 并留校工作，1982年考取本校在职博士 研究生并于当年获得理学博士学位，是 我国首批18位自己培养的博士之一。 1991年聘为教授。1997年起任华东师范 大学校长。主要研究领域为代数群与量 子群，在代数群的模表示和量子群的表 示理论上均有重要建树。 41 史宁中，东北师范大学校长 史宁中：东北师范大学校长 （1998年- ） 1975年毕业于东北师范大学数学 系。1982年至1989年赴日本九州大 学理学部学习，先后获得硕士、博 士学位，是我国改革开放后首批公 费留学的博士生。1989年回国后， 任教于东北师范大学数学系。1992 年起任教授。1993年被评为博士生 导师。1997年当选国务院学位委员 会学科评议组成员。主要从事数理 统计研究，研究方向涉及多元分析 、伞型半序约束、 列联表、凸分 析等 。 42 路 钢，华中师范大学 43 侯自新，南开大学校长（1995年-2006年） 侯自新教授曾任南开大学数学 系主任、校长助理、副校长、研 究生院院长、中国数学学会副理 事长、天津市学位委员会副主任 ，九届全国人民代表大会代表， 天津市十四届人民代表大会常务 委员会委员。现任十届全国人民 代表大会代表、中国高等院校数 学研究与高等人才培养中心主任 、中国老教授协会副会长、天津 市教育发展基金会副理事长。 侯自新教授多年从事李群、 李代数及齐性空间微分几何等方 面的研究与教学工作。 44 2.数学与文学 1）用数学方法对作品和语言进行写作风格分析 、 词汇相关程度和句型频谱分析 例：红楼梦前80回与后40回的作者是否相同？ 1980年6月，在美国威斯康辛大学召开的国际首届红楼梦研讨会上，来自威 斯康辛大学的华裔学者陈炳藻先生宣读了一篇从词汇上的统计论红楼梦的作者 问题的博士论文，引起了国际红学界的关注和兴趣。1986年，陈炳藻教授公开发表 了电脑在文学上的应用：红楼梦与儿女英雄传两书作者的专著。利用计 算机对红楼梦前八十回和后四十回的用字进行了测定，并从数理统计的观点出发 ，探讨红楼梦前后用字的相关程度。他将红楼梦的一百二十回分为三组，每 组四十回。并将儿女英雄传作为第四组进行比较，从每组中任意取出八万字，分 别挑出名词，动词，形容词，副词，虚词这五种词汇，运用数理语言学，通过计算机 程序对这些词进行编排，统计，比较和处理，进而找出各组相关程度。结果发现红 楼梦前八十回与后四十回的词汇相关程度达到78.57%，而红楼梦与儿女英雄 传的词汇相关程度是32.14%。由此他推断出红楼梦的作者为同一个人所写的结 论。这个结论是否被红学界所结受，还存在一定的争论。但是这种方法却给很多人留 下了深刻的印象。 静静的顿河的作者是肖洛霍夫。 45 2）语言学好比一个公理化系统 （语法好比法则和定理） 3）语音学（关于语调）的研究 计算机模拟人的语调，并绘出直观的三维图像， 是南开大学中文系与计算机系合作的一个成果，曾 获得国家级教学成果二等奖。 其中大量用到数学。 46 3.数学与史学 1）史衡学 数学的介入，使史学的研究成果更加客观、严 谨，较多地排除了人为因素。 2）考古对数学史研究的推进 1986年上海陆家咀发现元朝玉挂，谈祥柏教授 研究后发现，它是一个四阶完全幻方。过去以为 只有印度历史上才有这种“完全幻方”。 47 4.数学与哲学 1）数学中“无限”的概念、“连续”的概念，一经出现， 便成了哲学研究的对象。 2）“哲学从一门学科中退出， 意味着这门学科的建立 ；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。” B.Demollins:“没有数学，我们无法看透哲学的深度 ，没有哲学，人们也无法看透数学的深度，而若没有两 者，人们就什么也看不透。” 3）哲学系的“逻辑学”专业与数学系的“数理逻辑”专业 。 48 5.数学与经济 1）普遍运用数学，建立经济模型 2）获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背景的人 占一半以上。 6.数学与社会学 1）定量社会学、实证社会学已经形成了一套逻辑严密的研究模式 2） “社会科学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及 的阶段。” 49 7.数学与工程技术 1）“1991年的海湾战争就是信息战争、数学战争” 2）数学与工程技术的相互渗透，非常广泛、深刻。 2000年 是联合国宣布的“世界数学年”， 联 合国教科文组织指出：“纯粹数学与应用数 学是 理解世界及其发展的一把主要钥匙。” 50 51 趣味题一：抓堆和抓三堆 1. 抓堆： 有一堆谷粒（例如100粒）， 甲、乙轮流抓，每次可抓15粒，甲先抓，规 定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？ 为什么？ 52 游戏实录 100 53 从简单的问题入手 有一堆谷粒（例如10粒），甲、乙 轮流抓，每次可抓15粒，甲先抓，规 定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如 何抓？为什么？ 54 游戏实录 10 55 数学思想： 问题一般化； 问题特殊化； 归纳总结，找出规律； 证明规律，得到结论。 56 问题一般化 抓堆： 有一堆谷粒（例如 n 粒），甲 、乙轮流抓，每次可抓15粒，甲先抓，规定 谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为 什么？ 问题特殊化 n = 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 ，13， 57 “抓堆”游戏的结论 把“6的倍数”留给对方，自己可以取胜。 （“反面说法”） 在 n = 100 时，甲抓 4 粒可以取胜。 58 数学文化： 问题一般化； 问题特殊化； 归纳抽象，找出规律； 证明规律，得到结论。 59 2. 抓三堆： 有三堆谷粒（例如100粒、200 粒、 300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一 堆 中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓 ，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何 抓？为什么？ 60 从简单的情形入手 有三堆谷粒（例如4粒、5粒、 6粒） ，甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓， 最少抓1粒，可抓任意多粒。 甲先抓，规定“谁抓到最后一把谁赢” 。问：甲应该如何抓？为什么？ 61 游戏实录 4 ， 5 ， 6 ， 62 数学文化： 问题一般化； 问题特殊化； 归纳抽象，找出规律； 证明规律，得到结论。 63 抓三堆：有三堆谷粒（例如100粒、200粒、 300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓 ，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁 抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么 ？ 解： 问题一般化 记号：将三堆谷粒的状况记为（a , b , c）, 例如（100 , 200 , 300）。 这样，谁抓为（0 , 0 , 0），谁赢。 64 分析： 问题特殊化 1）只有一堆时，即状况为（a , 0 , 0）,此时 先抓者必胜。 65 2）只有两堆时，即状况为（a , b , 0） （1）若b = a , 即状况为（a , a , 0）,此时后抓者必胜。因为 对方先抓后，结果或剩一堆，成为（a , 0 , 0）的状况， 一把可抓完；或剩两堆，你抓后，又成为新的（d , d , 0 ） 的状况，且d a ,即状况为（a , b , 0）, 此时先抓 者必胜。因为先抓者可以把第二堆抓掉b a个，使状况 转化为（a , a , 0）, 成为新的“状况（1）”。 66 3）三堆都有，且其中两堆相等，即状况为 （a , a , c）,此时先抓者必胜。因为先抓者可以 把 第三堆全抓完，使状况转化为（a , a , 0）,成为 新 的“状况 2)（1）”。 4）三堆都有，且其中任意两堆都不相等， 即状况为（a , b , c）, 且不妨设a b c ,此时 情况比较复杂。 67 为了下面表述得清楚，我们把前面的 一个结论用“反面说法”，总结为 “把两堆相等的状况留给对方，自己可 以取胜。” 然后再讨论 a、b、c 的不同情况。以其 中最小的a为“主要线索”分情况讨论。 68 （1）a 1 时，即状况为（1 , b , c）。 下面再 对 b 分情况讨论。 （2）a 2 时，即状况为（2 , b , c）。 下面再 对 b 分情况讨论。 （3）a 3 时，即状况为（3 , b , c）。 下面再 对 b 分情况讨论。 （4）a 4 时，即状况为（4 , b , c）。 下面再 对 b 分情况讨论。 等等，等等。 69 往下的讨论，留作 “课下思考题” 70 注意其中的数学文化： 问题一般化； 问题特殊化； 归纳抽象，找出规律； 证明规律，得到结论。 71 本节结束 谢谢 72