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National Professional Teacher Team97年度攜手計畫現職教師教材教法暨教學策略研習國小高年級數學科補救教學報告人：信德國小張煥泉 National Professional Teacher Team張煥泉小檔案學歷：東山國小、信德國小、大成中學、新竹高中、花蓮師範學院-數理系、新竹教育大學-數學教育研究所經歷：信德國小教師、訓導組長、教導主任苗栗縣數學領域輔導團員、苗栗縣數學領域輔導團員副召集人教育部國民中小學數學領域教科書審定委員(第三階段9092；第二階段9096)教育部中央課程與教學輔導諮詢教師(9697)National Professional Teacher Team概 念 構 圖教學者學習者教學達成教學目標達成學習目標不會會追求理解的認知過程 National Professional Teacher Team解決一個數學問題的處理流程事實呈現什麼？經過了什麼過程？得到什麼結果？National Professional Teacher Team認識您的授課對象與其特性攜手計畫課後扶助的受輔學生受輔學生的普遍特性 1.先天未必不良 2.後天失調 3.學習意願低落 4.注意力不集中 5.記憶短暫 6.理解能力差 7.其他（特殊教育範疇）National Professional Teacher Team兒童學習數學的可能困難兒童學習數學的可能困難：（一）（一）語文能力語文能力缺陷使其在了解或表達數學常用詞彙、關鍵字及概念方面有困難；（二）（二）知覺能力知覺能力缺陷使其在辨識或閱讀數字與數學符號、分類能力有困難；（三）（三）注意力注意力缺陷使其在正確抄寫數字或數學符號與檢視運算細節時有困難；（四）（四）數學能力數學能力缺陷使其在依循計算步驟或推理方面有困難。National Professional Teacher Team兒童面臨數學的可能困境：兒童面臨數學的可能困境：（一）無法決定決定什麼問題問題需要解決；（二）無法過濾不相關字句以掌握題目掌握題目重點；（三）無法整合整合題目中的訊息訊息並決定解決方式；（四）無法監控監控自己的解題解題歷程；（五）無法覺察覺察外在回饋回饋並產生自我校正校正行為。National Professional Teacher Team七項使學生不喜歡學數學的主因：七項使學生不喜歡學數學的主因：1.1.忽視個別差異，經年累月給予所有學生忽視個別差異，經年累月給予所有學生一樣的課堂要求及作業；一樣的課堂要求及作業；2.2.只強調數學方法，未強調教學方法的教只強調數學方法，未強調教學方法的教學方式，數學課堂上多是一題解過一題，學方式，數學課堂上多是一題解過一題，一頁做過一頁；一頁做過一頁；3.3.數學作業多為紙筆式，未能採用多元化數學作業多為紙筆式，未能採用多元化的作業方式；的作業方式；4.4.堅持學生須採用某種方法解題而忽略了堅持學生須採用某種方法解題而忽略了其實數學可有多種解法；其實數學可有多種解法；National Professional Teacher Team5.5.在學生犯錯時給予額外的數學作業以示在學生犯錯時給予額外的數學作業以示懲罰；懲罰；6.6.採用訓練方式來教數學，學生往往面對採用訓練方式來教數學，學生往往面對同一類型題目時，須做非常多機械式的練同一類型題目時，須做非常多機械式的練習；習；7.7.在缺乏適時回饋的情形下，要求學生將在缺乏適時回饋的情形下，要求學生將所有做錯的題目，訂正到直到正確為止。所有做錯的題目，訂正到直到正確為止。七項使學生不喜歡學數學的主因：七項使學生不喜歡學數學的主因：National Professional Teacher Team學生自己造成的學習障礙 學習態度不佳，敷衍了事、馬虎應付、練習是做給老師看的，作業是向父母交代用的。只看表面線索而不深入探究內涵文義。例：甲有5元，甲比乙多3元，乙有多少元？錯誤的類推和遺忘某些條件導致錯誤的過程例：7+8=8+724=42 不願用心思考，事事依賴注意力無法持續。National Professional Teacher Team補救教學的策略補救教學的策略 一、補救和輔導並重：二、補足先備能力：三、教材簡化、淺化：四、熟練後推思考法和前推思考法：五、用具體的圖線表徵有助於解答：六、加強語文的閱讀能力，及發表能力：National Professional Teacher Team議論分紛(善變的分數規則)1+1=2的經驗 好容不易建立出 可是到了分數乘法 又不對了應該要 除法出現時 422211212121121212112121412211212111221121218.05.15/42/354235243 National Professional Teacher Team分數工具論vs 分數理解說 未能對分數概念進行掌握，僅從計算規則、程序性的角度進行思考的後果，易導議論分紛。規則變了又變，一再改變。加、減、乘、除都不一樣。基本功要紮實 進入工具分數意義要先理解運算概念要能掌握 National Professional Teacher Team誰對呢？1個披蕯平分給3個人，每人得到1/3個披蕯，此時用畫圖表徵的結果如下：中低年級老師認為1/3中的1是3塊披蕯中的1小塊。陳老師並不認同，他覺得1/3中的1是1個披蕯，因為1個披蕯平分給3個人是13=1/3，那個1應該是指1整個披蕯，而不是1小塊披蕯。部分整體 vs 除的結果 National Professional Teacher Teamn師：何謂1/7？n生：將一段平分為7份，取其中的1份。n師：何謂2/7？n生：將一段平分為7份，取其中的2份。部分全體Vs單位分數累加 National Professional Teacher Team1/7 +1/7 =()n眾生：1/7+1/7=2/14 National Professional Teacher Team孩子的想法n1/7 是1/7+1/7 是怎麼看就是2/14 怎麼會等於 National Professional Teacher Team分數 Vs 比(用分數代表比到底是什麼意思？)布題：某位棒球選手，在與日本隊比賽時出場4次，擊出 3支安打，他的打擊率為3/4。另一場與韓國比賽中，出場也是4次，擊出2支安打，這場打擊率為2/4。二場比賽總共的打擊率是多少？解：通常我們的作法為3/4+2/4=5/8。Q：為什麼此時我們不用分數的加法原理來算3/4+2/4=5/4。Q：學生是否會問為什麼又回到分子加分子，分母加分母？老師您要的到底是如何？National Professional Teacher Team學生的3/5代表什麼？5等分裡面的3等分部分整體概念3個1/5單位分量的累加數線上的一點抽象到整個3/5為一個數字，而非二個數字。二數相除的結果例如3個餅分給5個人，每人得到多少個餅？相當於比的問題某選手在比賽中擊出3支安打，總打擊數為5次，安打與總打數的比值3/5 National Professional Teacher Team分數概念發展脈絡之整理等分的概念平分的概念部分整體表示二數(或二量)的並置關係分數初步概念，尚未開始運算單位分量累加開始運算(假分數才可以出現)數線上一點尚有具體量可以看到，還未完全到抽象的數概念，引用距離的概念。兩數相除的結果分數意義的擴充相當於比的問題用分數來表示比值的結果有理數等值分數是初步概念分數的等價集(集合概念)National Professional Teacher Team值得深思的幾個點？老師們的補救教學如何進行？依教學進度作深度練習(練熟)在計算題上可能可以達成某種效果但是文字題(應用問題)時，卻時常遇到瓶頸。老師的資源和支援在哪裡？鼓勵孩子主動去學習。善用學生好發問的特性(讓學生當主角)鼓勵學生多發表、並給予肯定形成共識概念發散&概念收斂&概念提昇&精熟學習(可善用ICR或Flash檔)National Professional Teacher Team想和老師談談的幾個問題語文能力 vs 解文字題數學語言（符號）教學流程整數乘、除法教材分析國小常見問題舉隅單位量和單位數的困擾？除法的困難公分公分=平方公分 時間和時刻一樣嗎？National Professional Teacher Team單位量和單位數的困擾？單位量和單位數的困擾？一隻青蛙有4條腿，5隻青蛙共有幾條腿？45=()和54=()一樣嗎？學生若混淆兩者，老師有何教學方法？信德國小阿康老師的方法簡介：National Professional Teacher Team學生對除法的可能困難：四則運算中，除法的唸法和其他不一樣！除法的直式長得怪怪的！為何在算除法時要估商呢？引入除法教學時(包含除)，直式算則時的境境解釋(等分除)！除法為何要從高階處開始運算呢？餘數小於除數的問題。例如：4=1.10.6，求=？National Professional Teacher Team公分公分？公分公分？1.國小學生在量與實測的教材中，學習的量有哪些？2.直觀比較、直接比較、間接比較、個別單位、普遍單位和公式化等階段的不同！3.公分公分=平方公分、公分公分公分=立方公分、公克公克=？National Professional Teacher Team時間和時刻一樣嗎？時間怎麼描述？時刻呢？如何區分時間和時刻？撥鐘的重要性！時刻+時間的教學？National Professional Teacher Team解文字題解文字題 vs 語文能力語文能力學童不會算文字題，和語文能力有密切的關係嗎？看不懂題意或文字，當然不會算，看懂題意或文字，一定就會算嗎？大聲唸三次題目，對理解題意是否有幫助？National Professional Teacher Team看不懂題目的意思或不理解題意，是溝通溝通的問題，不是數學數學的問題。理解題意，但是不會算，這才是數學問題。溝通溝通問題與數學數學問題，是兩類不同的問題，不宜混為一談。National Professional Teacher Team數學語言（符號）教學流程：數學課程分數學課程分三階段引入三階段引入數學語言（符號）數學語言（符號）第一階段：引入數學符號之前 第二階段：引入數學符號 第三階段：引入數學符號以後 National Professional Teacher Team第一階段：引入數學符號之前第一階段：引入數學符號之前 教學的重點是：理解題意；有成功解題的經驗；逐漸形成解題活動類型。National Professional Teacher Team第二階段：引入數學符號第二階段：引入數學符號 教學的重點是：形成解題活動類型；掌握算式（摘要記錄）的意義；掌握算式填充題（問題記錄）的意義。National Professional Teacher Team第三階段：引入數學符號以後第三階段：引入數學符號以後 教學的重點是：提升解題效率；引入算則；精熟學習。National Professional Teacher Team整數乘法教材分析 人們為什麼會發明乘法？發明乘法對我們有那些幫助？3個蘋果和5個蘋果合起來，共有幾個蘋果？(題意和解題工具分別是什麼？)National Professional Teacher Team乘法問題知多少？-1/5 以問題盒蘋果有個，盒蘋果有多少個？為例，可以從哪些不同的角度來看問題？1、視為加法加法問題2、視為倍倍的問題3、視為比比的問題4、視為單位量轉換單位量轉換的問題 National Professional Teacher Team盒蘋果有個，盒蘋果有多少個？加法加法問題問題：？，使用加法當做解題的工具。National Professional Teacher Team盒蘋果有個，盒蘋果有多少個？倍倍的問題的問題：當相同數量相加的情境經常出現，為了提升解題效率，發展新的工具-乘法-來簡化或替代加法。的倍是多少個？。National Professional Teacher Team盒蘋果有個，盒蘋果有多少個？比比的問題的問題：將每盒都有3個蘋果視為一個單位一個單位，使用比比當做解題解題的工具工具。：。個盒盒個。National Professional Teacher Team盒蘋果有個，盒蘋果有多少個？單位量轉換單位量轉換問題問題：盒盒蘋果有多少個個？個合起來是多少個？National Professional Teacher Team單位量轉換：個蘋果 是一種情境：當人們選擇不同的單位量時，可以有不同描述個數的方式。(原單位是個，若以新單位盤、堆來描述時)National Professional Teacher Team個蘋果的描述1 以個個為單位量：個個（個）以堆堆（個）為單位量：堆堆（個）以盤盤（個）為單位量：盤盤（個）以個為單位量時，堆共有個，其中單位量是，單位數是，總量個是。National Professional Teacher Team個蘋果的描述2 以箱（個）為單位量：1/3 箱（1/3 個）以片（四分之一個）為單位量：片（個 1/4）以36個為單位量時，1/3箱共有個，其中單位量是36，單位數是 1/3，總量 1/3個36 是。National Professional Teacher Team整數除法教材分析 人們為什麼會發明除法？發明除法對我們有那些幫助？除法概念上常見問題有哪些？除法算則上常見問題有哪些？National Professional Teacher Team三個階段引入除法運算 第一階段：引入除法算式之前 教學的重點是：理解題意；有成功解題的經驗；逐漸形成解題活動類型。第二階段：引入除法算式 教學的重點是：形成解題活動類型；掌握除法算式（摘要記錄）的意義；掌握除法算式填充題（問題記錄）的意義。第三階段：引入除法算式以後 教學的重點是：提升解題效率；引入除法算則。National Professional Teacher Team除法問題的語意 就問題語意的觀點，除法問題可以區分為等等分除分除問題及包含除包含除問題：包含除問題（已知總量及單位量，單位數未知，例如：個蘋果，個蘋果裝一盤，儘量裝完，可以裝成多少盤，剩下幾個蘋果？）等分除問題（已知總量及單位數，單位量未知，例如：個蘋果，平分裝成盤，儘量裝完，一盤可以裝多少個蘋果，剩下幾個蘋果？）National Professional Teacher Team第一階段：引入除法算式前 包含除問題：可能有那些解題策略？如何記錄（過程記錄）？以包含除問題個蘋果，個蘋果裝一盤，儘量裝完，可以裝成多少盤，剩下幾個蘋果？解題策略？如何記錄（過程記錄）？累加策略 累減策略 National Professional Teacher Team第一階段：引入除法算式前 等分除問題：以等分除問題個蘋果，平分裝成盤，儘量裝完，一盤可以裝幾個蘋果？剩下多少個蘋果？為例，學童可能有那些解題策略？如何記錄（過程記錄）？一次一盤分個策略 嘗試錯誤策略 National Professional Teacher Team第二階段：引入除法算式(1)開放解題開放解題，等分除與包含除是兩種不同的問題類型，會有不同的解題策略。(2)限制解題策略限制解題策略，限制包含除問題使用連減策略，等分除問題使用一人一次分個策略，透過都可以使用減法算式來記錄的特徵，幫助學童將等分除與包含除問題視為相同的解題活動類型。National Professional Teacher Team第二階段：引入除法算式(3)引入引入包含除問題的算式記錄算式記錄（摘要記錄）(4)引入引入等分除問題的算式記錄算式記錄（透過一次一盤分個策略，將等分除問題轉換成包含除問題，借用包含除問題的摘要記錄來記錄等分除問題）。National Professional Teacher Team包含除及等分除問題算式的意義 包含除問題：.解題活動 蘋果 蘋果 盤 蘋果 摘要記錄 蘋果 蘋果 盤 蘋果 兩者的意義一致（原型）等分除問題：.解題活動 蘋果 蘋果 盤 蘋果 摘要記錄 蘋果 盤 蘋果 蘋果 兩者的意義不一致，教師宜澄清：個蘋果和盤互換關係。盤和個蘋果互換關係。National Professional Teacher Team第三階段：引入除法算式後（強調解題效率）包含除的解題策略：連減策略 先乘後減策略 有效率（十進結構）的先乘後減策略 被除數及除數同時換單位策略 等分除的解題策略：轉換為包含除策略 被除數為多單位結構策略 National Professional Teacher Team除法架構範圍和注意（重點）事項1 逐步處理讓學生將題意視為一樣為止 等分除與包含除語意題目的解題方式不同，需都處理且透過轉換成同一種運作類型（限制解題策略、使用相同過程記錄）。National Professional Teacher Team除法架構範圍和注意（重點）事項2 引入算式前 過程記錄連續減（加）同一數量，可用乘法的簡約紀錄表示。形成解題類型從題意、過程紀錄掌握在計數：a個中每b個分一次，可分c次（剩下d個）National Professional Teacher Team除法架構範圍和注意（重點）事項3 引入算式 儘量分完、完全分完的語意影響記錄 abcd引入 算式記錄了什麼？（題目做法和答案）可先引入無餘數再引入餘數，將沒有餘數視為餘數是0，再得到紀錄共識或直接引入有餘數的紀錄方式 ab()()引入 算式填充題的格式 未計算出答案時記錄題目做法，注意在未解題前並不知餘數是否為零，不可省略()。較小數量除法、除法記錄逐漸熟練 National Professional Teacher Team除法架構範圍和注意（重點）事項4 引入算式後(策略發展)一次一次分多次分過程記錄：減法記錄先乘後減逐步先乘後減減少先乘後減次數（使用多單位結構）直式紀錄直式計算成人算則被除數與除數同時轉換單位的策略 National Professional Teacher Team National Professional Teacher Team National Professional Teacher Team9、静夜四无邻，荒居旧业贫。22.7.1522.7.15Friday,July 15,202210、雨中黄叶树，灯下白头人。9:04:559:04:559:047/15/2022 9:04:55 AM11、以我独沈久，愧君相见频。22.7.159:04:559:04Jul-2215-Jul-2212、故人江海别，几度隔山川。9:04:559:04:559:04Friday,July 15,202213、乍见翻疑梦，相悲各问年。22.7.1522.7.159:04:559:04:55July 15,202214、他乡生白发，旧国见青山。2022年7月15日星期五上午9时4分55秒9:04:5522.7.1515、比不了得就不比，得不到的就不要。2022年7月上午9时4分22.7.159:04July 15,202216、行动出成果，工作出财富。2022年7月15日星期五9时04分55秒9:04:5515 July 202217、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。上午9时4分55秒上午9时4分9:04:5522.7.159、没有失败，只有暂时停止成功！。22.7.1522.7.15Friday,July 15,202210、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。9:04:559:04:559:047/15/2022 9:04:55 AM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。22.7.159:04:559:04Jul-2215-Jul-2212、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。9:04:559:04:559:04Friday,July 15,202213、不知香积寺，数里入云峰。22.7.1522.7.159:04:559:04:55July 15,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2022年7月15日星期五上午9时4分55秒9:04:5522.7.1515、楚塞三湘接，荆门九派通。2022年7月上午9时4分22.7.159:04July 15,202216、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2022年7月15日星期五9时04分55秒9:04:5515 July 202217、空山新雨后，天气晚来秋。上午9时4分55秒上午9时4分9:04:5522.7.159、杨柳散和风，青山澹吾虑。22.7.1522.7.15Friday,July 15,202210、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。9:04:559:04:559:047/15/2022 9:04:55 AM11、越是没有本领的就越加自命不凡。22.7.159:04:559:04Jul-2215-Jul-2212、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。9:04:559:04:559:04Friday,July 15,202213、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。22.7.1522.7.159:04:559:04:55July 15,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2022年7月15日星期五上午9时4分55秒9:04:5522.7.1515、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。2022年7月上午9时4分22.7.159:04July 15,202216、业余生活要有意义，不要越轨。2022年7月15日星期五9时04分55秒9:04:5515 July 202217、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。上午9时4分55秒上午9时4分9:04:5522.7.15MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit,eleifend nulla ac,fringilla purus.Nulla iaculis tempor felis amet,consectetur adipiscing elit.Fusce id urna blanditut cursus.感 谢 您 的 下 载 观 看感 谢 您 的 下 载 观 看专家告诉
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