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第三节空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础题组1.(2019贵州贵阳质检)四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.2.已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:A,B,C,D四点不共面,命题乙:直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,则直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.3.已知直线a,b分别在两个不同的平面,内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面,内,所以平面与必有公共点,从而平面与相交;反之,若平面与相交,则直线a与直线b可能相交、平行、异面.故选A.4.l1,l2,l3是空间中三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.l1l2,l2l3l1l3B.l1l2,l2l3l1l3C.l1l2l3l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面答案B对于A,直线l1与l3也可能相交或异面;对于C,直线l1、l2、l3为三棱柱三条侧棱所在直线时不共面;对于D,直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面.易知B正确.5.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面答案A连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C平面ACC1A1,因为MA1C,所以M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理,O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.6.如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,ABCD=O,且ABCD,SO=OB=2,P为SB的中点,则异面直线SA与PD所成角的正切值为()A.1B.2C.2D.22答案B连接OP,易知O为AB的中点,因为P为SB的中点,所以OPSA,且OP=12SA,所以DPO或其补角为异面直线SA与PD所成的角,在RtSOB中,SO=OB=2,所以OP=2.在等腰三角形PCD中,OPCD,OD=2,所以tanDPO=ODOP=22=2,故选B.7.(2019广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,有下列四个命题:AFGC;BD与GC成异面直线且夹角为60;BDMN;BG与平面ABCD所成的角为45.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B将平面展开图还原成正方体(如图所示).对于,由图形知AF与GC成异面垂直,故正确;对于,BD与GC显然成异面直线.连接EB,ED,则BMGC,所以MBD或其补角为异面直线BD与GC所成的角.在BDM中,易知MBD=60,所以异面直线BD与GC所成的角为60,故正确;对于,BD与MN成异面垂直,故错误;对于,连接BG,由题意得,GD平面ABCD,所以GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在RtBDG中,GBD不等于45,故错误.故选B.8.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与直线A1B1,EF,BC都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条答案D在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且只有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A1B1,EF,BC分别有交点P,M,N,如图,故有无数条直线与直线A1B1,EF,BC都相交.9.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有条.答案5解析依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条.10.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).答案解析由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行或异面,故错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故错;a平面,b平面,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故错.11.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、H分别是边AB、AD的中点,点F、G分别是边BC、CD上的点,且CFCB=CGCD=23,则下列说法正确的是.EF与GH平行;EF与GH异面;EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上;EF与GH的交点M一定在直线AC上.答案解析连接EH,FG(图略),依题意,可得EHBD,FGBD,故EHFG,所以E、F、G、H共面.因为EH=12BD,FG=23BD,故EHFG,所以四边形EFGH是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上,所以点M是平面ACB与平面ACD的交点,又AC是这两个平面的交线,所以点M一定在直线AC上.12.(2018广西南宁模拟)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱B1B,AD的中点,异面直线BF与D1E所成角的余弦值为.答案255解析如图,过点E作EMAB,过M点作MNAD,取MN的中点G,连接NE,GE,D1G,所以平面EMN平面ABCD,易知EGBF,所以异面直线BF与D1E所成的角为D1EG或其补角,不妨设正方体的棱长为2,则GE=5,D1G=2,D1E=3,在D1EG中,cosD1EG=D1E2+GE2-D1G22D1EGE=255.故填255.13.如图,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BCAD,BEFA,且BC=12AD,BE=12FA,点G,H分别为FA,FD的中点.(1)求证:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?解析(1)证明:点G,H分别为FA,FD的中点,GHAD,GH=12AD,GHBC,GH=BC,四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点共面.理由如下:易知直线FE与直线AB相交,设交点为P1,因为BEFA,BE=12FA,所以P1B=AB.同样,易知直线DC与AB也相交,设交点为P2,同理可得,P2B=AB.所以P1,P2重合,故FE,AB,DC交于一点,所以C,D,F,E四点共面.14.如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,点D是PC的中点.已知BAC=2,AB=2,AC=23,PA=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.解析(1)因为PA底面ABC,所以PA是三棱锥P-ABC的高.又SABC=12223=23,所以三棱锥P-ABC的体积V=13SABCPA=13232=433.(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则EDBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.易知PB=22,PC=4,BC=4,则在ADE中,DE=2,AE=2,AD=2,所以cosADE=22+22-(2)2222=34.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.B组提升题组1.(2016课标全国,11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A如图,过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同棱长的正方体,易知平面为平面AF1E,则m,n所成角为EAF1,因为EAF1为正三角形,所以sinEAF1=sin 60=32,故选A.2.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45,连接各边中点所得四边形的面积是.答案62解析如图,已知空间四边形ABCD,对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH为平行四边形,EFG或FGH为AC与BD所成的45角,故S四边形EFGH=34sin 45=62.3.下图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在原正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是.答案解析把正四面体的平面展开图还原,如图所示,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线.连接GM,易知GHM为正三角形,则GH与MN成60角.易知MNAF,且AFDE,则DEMN.4.(2018河北石家庄质检)已知空间四边形ABCD(如图所示),E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且CG=13BC,CH=13DC.求证:(1)E、F、G、H四点共面;(2)三直线FH、EG、AC共点.证明(1)连接EF、GH,E、F分别是AB、AD的中点,EFBD.又CG=13BC,CH=13DC,GHBD,EFGH,E、F、G、H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,设FHAC=M,M平面EFHG,M平面ABC.平面EFHG平面ABC=EG,MEG,FH、EG、AC共点.10
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