（名师导学）2020版高考数学总复习 第九章 直线、平面、简单几何体和空间向量 第55讲 空间点、直线、平面之间的位置关系练习 理（含解析）新人教A版

第55讲空间点、直线、平面之间的位置关系夯实基础【p126】【学习目标】1掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系2掌握点、线、面关系的文字语言、符号语言、图形语言的密切联系及相互转化3掌握空间两条直线的位置关系的证明，并能够判定两条直线的异面关系，会求两条异面直线所成的角【基础检测】1若a，b，c，abM，则()AMc BMc CMc DM【解析】因为abM，所以Ma，Mb，又a，b，所以M，M，即M是平面，的公共点，因为c，所以Mc.【答案】A2下列说法错误的是()A两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行【解析】对于D：一个等腰三角形的底边放在桌面上，两个腰与桌面所成的角相等，但两腰所在直线不平行【答案】D3在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E是棱C1D1的中点，则异面直线B1D1与CE所成角的余弦值是()A.B.C.D.【解析】取B1C1的中点为F，连接EF，CF，点E、F分别为C1D1与B1C1的中点，EFB1D1，CEF(或其补角)就是异面直线B1D1与CE所成角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，所以在CEF中，EFa，CFCEa，根据余弦定理可得：cosCEF.【答案】D4在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AC1与BB1所成的角为30，则AA1()A.B3 C.D.【解析】如图所示，连结AC，由于BB1CC1，故AC1C为直线AC1与BB1所成的角，即AC1C30，在RtACC1中，CC1，由长方体的几何特征可得AA1CC1.【答案】D5以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3【解析】显然是正确的，可用反证法证明；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故正确的个数为1.【答案】B【知识要点】1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)确定平面的条件：_不共线的三点_可确定一个平面一条直线和_其外_一点可确定一个平面两条_相交或平行_直线可确定一个平面(4)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线2空间两直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_锐角(或直角)_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：_3平行公理平行于同_一条直线的_两条直线互相平行典例剖析【p126】考点1平面的基本性质及应用如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点【解析】(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点【点评】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据考点2空间两条直线的位置关系(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交【解析】若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交【答案】D(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行【解析】连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1.CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1，MNCC1，MNAC，MNBD.又A1B1与B1D1相交，MN与A1B1不平行，故选D.【答案】D(3)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)【解析】图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面【答案】【点评】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决考点3异面直线所成的角(1)如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_【解析】如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.M为AD的中点，MKAN，KMC为异面直线AN，CM所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N为BC的中点，由勾股定理求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK.在CKM中，由余弦定理，得cosKMC.【答案】(2)空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小【解析】如图，取AC的中点G，连接EG、FG，则EG綊AB，FG綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.【点评】(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线、平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解方法总结【p127】1证明点共线、线共点、点或线共面等问题的方法：(1)证明若干点共线，通常证明这些点都是某两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上；或选择其两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上(2)证明若干条直线共点与证明若干点共线的方法类似，转化化归为证明“点在直线上”(证明两条直线的交点在第三条直线上)(3)证明若干元素(点或直线)共面，常用方法是：(法一)根据公理2或推论确定一个平面，然后再证其他元素也在这个平面内；(法二)根据公理2或其推论确定两个平面，然后再证明这两个平面重合2求异面直线所成的角，常用平移法，即平移异面直线中的一条(或两条)构造异面直线所成的角，然后通过解三角形求解注意：(1)当用平移转化法繁琐或无法平移时，可考虑两条异面直线是否垂直；(2)两条异面直线所成的角是锐角或直角3证明两直线是异面直线的常用方法是“判定定理”和“反证法”，其中“反证法”最常用走进高考【p127】1(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A.B.C.D.【解析】法一：如图，补上一相同的长方体CDEFC1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1DE1，则B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，所以DE12，DB1，B1E1，在B1DE1中，由余弦定理，得cosB1DE1，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.法二：如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1，于是DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.法三：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以(1，0，)，(1，1，)，则由向量夹角公式，得cos，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.【答案】C考点集训【p244】A组题1下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是()【解析】如图所示，A，B，C，D，E，F为相应棱上的中点，则截面ABCDEF为选项A和选项B中的点所在的平面，由三角形中线的性质可知：PQAB，SRAB，则PQSR，据此可知选项C中的P，Q，R，S四点共面，选项D中很明显P，Q，R三点共面，点S不在平面PQR内【答案】D2已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面D相交、平行或异面【解析】依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面【答案】D3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.B.C.D.【解析】过点N作AM的平行线交AB于点E，则AE3EB，连接EC，设AB4，在NEC中有EN，EC，NC，由余弦定理得cosENC，直线AM和CN所成的角的余弦值是.【答案】D4如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB与CD的位置关系为()A平行B相交成60角C异面成60角D异面且垂直【解析】由图可知还原立体图象为：所以可知AB，CD异面，因为CE平行AB，所以DCE为所求角，因为三角形CDE为等边三角形，故DCE60.【答案】C5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成角的取值范围是()A0 B0C0 D0【解析】如图，A1BCD1，所以异面直线CP，BA1所成的角为D1CP，当点P在线段AD1上运动时，求D1CP的取值范围，点P不能与D1重合，与点A重合时，D1CP最大，最大为，D1CP的取值范围是，所以异面直线CP，BA1所成角的取值范围是.【答案】D6平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与异面直线AB和CC1都可以共面的棱的条数为_【解析】如图，与异面直线AB和CC1都共面的棱共有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，共5条【答案】57如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，PAPBPCPDAB2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为_【解析】取PD的中点记为F点，BC的中点记为G点，连接FG，EF，GD，因为EFBC，且EFBC，BGBC，故得到四边形EFGB为平行四边形，故GFD或其补角为所求角，根据题干得到，三角形PAB为等边三角形，BF为其高线，长度为，FG，DG，FD1，根据余弦定理得到cosGFD，因为异面直线夹角为直角或锐角，故取正值，为.【答案】8如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AEEBCFFB21，CGGD31，过E，F，G的平面交AD于点H.(1)求AHHD；(2)求证：EH，FG，BD三线共点【解析】(1)2，EFAC，EF平面ACD，而EF平面EFGH，平面EFGH平面ACDGH，EFGH，ACGH.3.AHHD31.(2)EFGH，且，EFGH，四边形EFGH为梯形令EHFGP，则PEH，而EH平面ABD，又PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH，FG，BD三线共点B组题1以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】中显然是正确的；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；构造长方体或正方体(如图)，显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确【答案】B2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条【解析】法一：如图所示在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点所以这样的直线有无数条法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交【答案】无数3如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，ACB90，CACBCC1，D是CC1的中点，则直线AC1与BD所成角的余弦值为_【解析】记AC中点为E，并连接BE，D是CC1的中点，则DEAC1，直线AC1与BD所成角即为DE与BD所成角，设CACBCC12，CD1，BD，DE，BE，cos .【答案】4如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，ABAC1，BAC，高等于3，点M1，M2，N1，N2为所在线段的三等分点(1)求此三棱柱的体积和三棱锥A1AM1N2的体积；(2)求异面直线A1N2，AM1所成的角的大小【解析】(1)SABC，VABCA1B1C1.又SAM1A1，C1到平面ABB1A1的距离等于1，即N2到平面ABB1A1的距离等于1，VA1AM1N2VN2AM1A1，三棱柱ABCA1B1C1的体积等于，三棱锥A1AM1N2的体积等于.(2)取线段AA1的三等分点P1，P2，连P1M2，P1C.A1N2P1C，AM1P1M2，M2P1C的大小等于异面直线A1N2，AM1所成的角或其补角的大小P1M2AM1，P1C，M2C.cosM2P1C.异面直线A1N2，AM1所成的角的大小等于.备课札记16