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第5讲 三角函数的实际应用1一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75，距灯塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为_n mile/h.解析：如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，MN6834 n mile.又由M到N所用的时间为14104小时，此船的航行速度v n mile/h.答案：2在200米高的山顶上，测得山下一塔塔顶和塔底的俯角分别是30，60，则塔高为_米解析：如图所示，设AB为山高，CD为塔高，则AB200，ADM30，ACB60，所以BC，AMDMtan 30BCtan 30.所以CDABAM.答案：3.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y)若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为_解析：由题意知，函数的周期为T60，|.设函数解析式为ysin.初始位置为P0，t0时，y，sin ，可取，函数解析式可以是ysin.又由秒针顺时针转动可知，y的值从t0开始要先逐渐减小，故ysin.答案：ysin4已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作：yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米)1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经过长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb的图象(1)根据以上数据，求函数yAcos tb的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：(1)由表中数据知最小正周期T12.所以.由t0，y1.5，得Ab1.5.由t3，y1.0，得b1.0.联立，可得A0.5，b1，所以振幅A为，ycost1.(2)由cost11，得cost0.所以2kt2k，kZ，即12k3t12k3，kZ，因为0t24，所以k可取值0,1,2，得0t3或9t15或21t24.所以在规定时间上午8：00至晚上20：00之间有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.5(2019南京、盐城二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中APABBQ，PABQBA，且AB，PQ在点O的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米设OAB，.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？解：过O作OH垂直于AB，垂足为H(图略)在RtOHA中，OA20，OAH，所以AH20cos ，因此AB2AH40cos .由图可知，点P处观众离点O处最远在OAP中，由余弦定理可知OP2OA2AP22OAAPcos 400(40cos )21 600cos 400(6cos22sin cos 1)400(3cos 2sin 24)800sin1 600.因为，所以当2时，即时，(OP2)max8001 600，即(OP)max2020.因为202060，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米，答：对于任意，上述设计方案均能符合要求6(2019启东期末)如图，某公园内有一块矩形绿地区域ABCD，已知AB100米，BC80米，以AD，BC为直径的两个半圆内种花草，其他区域种植苗木现决定在绿地区域内修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路，其中直路MN与绿地区域边界AB平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米2a元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米3a元，修建的总造价为W元，设NBC.(1)求W关于的函数关系式；(2)如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价解：(1)连结NC，AM，设AD的中点为O，连结MO，过N作ENBC，垂足为E.由BC为直径知，BNC90，又BC80米，NBC，所以BN80cos 米，NEBN sin 80sin cos ，因为MNAB，AB100米，所以MNAB2NE100160sin cos 米，由于DOM2MAD2，OM40米所以40280米，因为直路的工程造价为每米2a元，弧形路的工程造价为每米3a元，所以总造价为W2a(BNMN)3a2a(80cos 100160sin cos )3a8040a(4cos 8sin cos 65).所以W关于的函数关系式为W40a(4cos 8sin cos 65).(2)设f()4cos 8sin cos 65,0.则f()4sin 8cos28sin2616sin24sin 22(4sin 1)(2sin 1)令f()0，得.列表如下：f()0f()极小值所以，当时，f()取得最小值此时，总造价W最少，最少总造价为(20040)a元答：(1)W关于的函数关系式为W40a(4cos 8sin cos 605)；(2)当时，修建的总造价最少，最少总造价为(20040)a元7.某避暑山庄拟对一半径为1百米的圆形地块(如图)进行改造，拟在该地块上修建一个等腰梯形的游泳池ABCD，其中ABCD，DAB60，圆心O在梯形内部，设DAO.当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳游泳池”(1)求梯形游泳池的面积S关于的函数关系式，并指明定义域；(2)求当该游泳池为“最佳游泳池”时tan 的值解：(1)如图，分别取AB，CD的中点E，F，连结EF，OD，由平面几何知识可得E，O，F三点共线，且EFAB，EFCD.易知AB2AE2cos(60)，DC2DF2cos(120)，EFOEOFsin(60)sin(120)cos ，且得3060.则梯形ABCD的面积S(ABCD)EF2cos(60)2cos(120)cos 3sin cos (百米2)，3060.(2)易知AD2cos ，由(1)可得梯形ABCD的周长lABCD2AD2sin 4cos (百米)设y，3060，则y.由y0得tan3.令tan 0 ，则当300时，y0，y单调递增，当060时，y0，y单调递减，所以当0，即tan 时，该游泳池为“最佳游泳池”- 6 -
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